🧠 مراجعة شاملة - الكسور في ℚ 🎯

ثلاثة أقسام — الخريطة الذهنية، الجمع والطرح، الضرب والقسمة

🧠 الخريطة الذهنية ➕ الجمع والطرح ✖️ الضرب والقسمة

🧠 خريطة ذهنية - الكسور

المفاهيم الأساسية والعمليات
📐

تعريف الكسر

اضغط للكشف عن المحتوى

📐 تعريف الكسر

💡 ما هو الكسر؟

\(\dfrac{a}{b}\) حيث \(a \in \mathbb{Z}\) و \(b \in \mathbb{N}^*\)

البسط (a): العدد فوق الخط

المقام (b): العدد تحت الخط (≠ 0)

مثال 1:
\(\dfrac{3}{4}\) → البسط = 3، المقام = 4
مثال 2:
\(\dfrac{-5}{7}\) → البسط = -5، المقام = 7
✂️

تبسيط الكسور

اضغط للكشف عن الطريقة

✂️ تبسيط الكسور

📌 القاعدة

\(\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}\)

نقسم البسط والمقام على نفس العدد (≠ 0)

مثال 1:
\(\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}\)
مثال 2:
\(\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{3}{5}\)
➕➖

الجمع والطرح

اضغط للكشف عن القواعد

➕➖ الجمع والطرح

📌 نفس المقام

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}\)

نجمع البسوط ونحتفظ بالمقام

مثال 1:
\(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{2+3}{5} = \dfrac{5}{5} = 1\)

📌 مقامات مختلفة

نوحد المقامات أولاً باستخدام PPCM

مثال 2:
\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
⚖️

مقارنة الكسور

اضغط للكشف عن الطرق

⚖️ مقارنة الكسور

📌 الطريقة 1: نفس المقام

نقارن البسوط فقط

\(\dfrac{5}{7} > \dfrac{3}{7}\) لأن 5 > 3

📌 الطريقة 2: مقامات مختلفة

نوحد المقامات ثم نقارن

مثال:
\(\dfrac{2}{3}\) و \(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{8}{12}\) و \(\dfrac{9}{12}\)
إذن: \(\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}\)
🔢

الأعداد العشرية

اضغط للكشف عن التحويل

🔢 الأعداد العشرية

📌 من كسر إلى عشري

\(\dfrac{a}{b} = a \div b\)

نقسم البسط على المقام

مثال 1: \(\dfrac{3}{4} = 0.75\)
مثال 2: \(\dfrac{1}{2} = 0.5\)

📌 من عشري إلى كسر

نضع العدد على قوة من 10

مثال: \(0.25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}\)
🎯

تطبيقات
وتمارين

اضغط للكشف عن الأمثلة

🎯 تطبيقات وتمارين

تطبيق 1: مسائل الحياة
أكل أحمد \(\frac{3}{8}\) من البيتزا
أكل محمد \(\frac{1}{4}\) من البيتزا
\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\)
تطبيق 2: المسافات
قطع سعيد \(\frac{2}{5}\) من الطريق
\(1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\)
تطبيق 3: الزمن
\(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{4}\) ساعة
\(\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\) ساعة
⚠️ تحذيرات مهمة:
• المقام لا يساوي صفر أبداً
• توحيد المقامات قبل الجمع/الطرح
• التبسيط في النهاية دائماً

📊 الجمع والطرح في ℚ

قواعد الجمع والطرح مع أمثلة مفصّلة
➕

جمع كسور
بنفس المقام

اضغط للكشف عن القاعدة

جمع كسور بنفس المقام

📌 القاعدة

\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\)

نجمع البسطين ونحتفظ بالمقام

مثال 1:
\(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}\)
مثال 2:
\(\dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{9}{9} = 1\)
مثال 3: مع أعداد سالبة
\(\dfrac{-4}{11} + \dfrac{7}{11} = \dfrac{3}{11}\)
➕🔄

جمع كسور
بمقامات مختلفة

اضغط للكشف عن الطريقة

جمع كسور بمقامات مختلفة

📌 الخطوات

1️⃣ نوحد المقامات (PPCM)

2️⃣ نحول الكسور

3️⃣ نجمع البسطين

مثال: \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\)

الخطوة 1: PPCM(3,4) = 12
الخطوة 2:
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\)، \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\)
الخطوة 3:
\(\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}\)
➕🔢

جمع عدد صحيح
مع كسر

اضغط للكشف عن الطريقة

جمع عدد صحيح مع كسر

📌 القاعدة

نكتب العدد الصحيح على شكل كسر مقامه 1

\(a + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}\)
مثال 1:
\(3 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5}\)
مثال 2:
\(-2 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{-8}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{-5}{4}\)
➖

طرح كسور
بنفس المقام

اضغط للكشف عن القاعدة

طرح كسور بنفس المقام

📌 القاعدة

\(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
مثال 1:
\(\dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5}\)
مثال 2:
\(\dfrac{9}{11} - \dfrac{2}{11} = \dfrac{7}{11}\)
مثال 3: مع أعداد سالبة
\(\dfrac{5}{8} - \dfrac{-3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1\)
➖🔄

طرح كسور
بمقامات مختلفة

اضغط للكشف عن الطريقة

طرح كسور بمقامات مختلفة

📌 الخطوات

1️⃣ نوحد المقامات (PPCM)

2️⃣ نحول الكسور

3️⃣ نطرح البسطين

مثال: \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\)

الخطوة 1: PPCM(6,4) = 12
الخطوة 2:
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\)، \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\)
الخطوة 3:
\(\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
🎯

تبسيط النتائج

اضغط للكشف عن الطريقة

تبسيط النتائج

📌 متى نبسط؟

نقسم البسط والمقام على PGCD

مثال 1:
\(\dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\) (لا يمكن التبسيط)
مثال 2:
\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6}\)
PGCD(2,6) = 2 → \(\dfrac{1}{3}\)
مثال 3:
\(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12}\)
PGCD(14,12) = 2 → \(\dfrac{7}{6}\)
⚡

عمليات مركبة

اضغط للكشف عن الأمثلة

عمليات مركبة

مثال 1:
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}\) = PPCM = 6
\(= \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
مثال 2:
\(2 + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{9}{4}\)
مثال 3:
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\) = PPCM = 12
\(= \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{11}{12}\)
🏆

تمارين متنوعة

اضغط للكشف عن التمارين

تمارين متنوعة

تمرين 1: \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} = 1\)
تمرين 2: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\)
تمرين 3: \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{2}\)
تمرين 4: \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)
تمرين 5: \(3 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{13}{5}\)

✖️ الضرب والقسمة في ℚ

قواعد الضرب والقسمة مع التبسيط المتقاطع
✖️

ضرب كسرين

اضغط للكشف عن القاعدة

ضرب كسرين

📌 القاعدة الذهبية

\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام

مثال 1:
\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}\)
مثال 2:
\(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\)
✖️🔢

ضرب كسر
في عدد صحيح

اضغط للكشف عن الطريقة

ضرب كسر في عدد صحيح

📌 طريقتان

\(a \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times b}{c}\)
مثال 1:
\(5 \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{7}\)
مثال 2:
\(-3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-6}{5}\)
➕➖

قواعد الإشارات
في الضرب

اضغط للكشف عن القواعد

قواعد الإشارات في الضرب

📌 نفس قواعد ℤ

\((+) \times (+) = (+)\) \((+) \times (-) = (-)\)
\((-) \times (+) = (-)\) \((-) \times (-) = (+)\)
مثال 1: \(\dfrac{-2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{-10}{21}\)
مثال 2: \(\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{-2}{5} = \dfrac{3}{10}\)
مثال 3: \(-2 \times \dfrac{-3}{5} = \dfrac{6}{5}\)
➗

قسمة كسرين

اضغط للكشف عن القاعدة

قسمة كسرين

📌 القاعدة الذهبية

قسمة كسر = ضرب في مقلوبه
\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\)
مثال 1:
\(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{2} = \dfrac{21}{10}\)
مثال 2:
\(\dfrac{4}{9} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3}\)
➗🔢

قسمة كسر
على عدد صحيح

اضغط للكشف عن الطريقة

قسمة كسر على عدد صحيح

📌 الطريقة

\(\dfrac{a}{b} \div c = \dfrac{a}{b \times c}\)
مثال 1: \(\dfrac{5}{7} \div 3 = \dfrac{5}{21}\)
مثال 2: \(\dfrac{8}{9} \div 4 = \dfrac{2}{9}\)
مثال 3: \(\dfrac{-6}{5} \div 2 = \dfrac{-3}{5}\)
🔢➗

قسمة عدد صحيح
على كسر

اضغط للكشف عن الطريقة

قسمة عدد صحيح على كسر

📌 الطريقة

\(a \div \dfrac{b}{c} = a \times \dfrac{c}{b}\)
مثال 1: \(6 \div \dfrac{2}{3} = 6 \times \dfrac{3}{2} = 9\)
مثال 2: \(5 \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{20}{3}\)
مثال 3: \(-8 \div \dfrac{2}{5} = -20\)
🎯

التبسيط
قبل الضرب

اضغط للكشف عن الطريقة

التبسيط قبل الضرب

📌 التبسيط المتقاطع

بسط الكسر الأول مع مقام الكسر الثاني والعكس

مثال 1:
\(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}\)
÷4: \(\dfrac{1}{9} \times \dfrac{3}{2}\)، ÷3: \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\)
مثال 2:
\(\dfrac{5}{12} \times \dfrac{8}{15}\)
÷5 ثم ÷4: \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}\)
🏆

تمارين متنوعة

اضغط للكشف عن التمارين

تمارين متنوعة

تمرين 1: \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{6}\)
تمرين 2: \(7 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{5}\)
تمرين 3: \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{8}\)
تمرين 4: \(\dfrac{8}{9} \div 4 = \dfrac{2}{9}\)
تمرين 5: \(6 \div \dfrac{3}{5} = 10\)
⚡

عمليات مركبة

اضغط للكشف عن الأمثلة

عمليات مركبة

مثال 1:
\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{60}{60} = 1\)
مثال 2:
\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{36}{60} = \dfrac{3}{5}\)
مثال 3:
\(\left(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4}\right) \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{20} \times 2 = \dfrac{3}{5}\)
⚠️

تحذيرات هامة

اضغط للكشف عن التحذيرات

تحذيرات هامة

⚠️ القسمة على الصفر ممنوعة!
\(\dfrac{a}{0}\) غير معرف

❌ أخطاء شائعة

✗ \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a+c}{b+d}\)

✗ يجب توحيد المقامات أولاً!

✅ تذكر دائماً

• التبسيط في النهاية

• التحقق من الإشارات

• لا قسمة على صفر

👆 اضغط على أي بطاقة لقلبها  |  Esc لإغلاق كل البطاقات