إصلاح فرض مراقبة عدد 4 — التاسعة أساسي

تمرين عدد 1 (3 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدّمة.

الإصلاح

1) المجموعة \( \mathbb{R}_{+} \) هي مجموعة حلول المتراجحة: \( x\left(\sqrt{10}-2\sqrt{3}\right)\le 0 \) — \( x\left(\sqrt{10}-2\sqrt{3}\right)\ge 0 \) — \( x\left(\sqrt{10}-2\sqrt{3}\right)>0 \)

القاعدة: لمقارنة عددين موجبين نقارن مربّعيهما. وجداء عددين سالب أو منعدم إذا كانا مختلفي الإشارة أو أحدهما منعدم.

نقارن \( \sqrt{10} \) و \( 2\sqrt{3} \) بالتربيع: \( \left(\sqrt{10}\right)^2=10 \) و \( \left(2\sqrt{3}\right)^2=4\times 3=12 \).

وبما أنّ \( 10<12 \) والعددان موجبان فإنّ \( \sqrt{10}<2\sqrt{3} \).

ومنه \( \sqrt{10}-2\sqrt{3}<0 \): العامل الثابت سالب تماما.

فالجداء \( x\left(\sqrt{10}-2\sqrt{3}\right) \) يكون سالبا أو منعدما إذا كان \( x\ge 0 \)، أي \( x\in\mathbb{R}_{+} \).

أمّا المتراجحة الثانية فتعطي \( x\le 0 \) أي \( \mathbb{R}_{-} \)، والثالثة تعطي \( x<0 \) أي \( \mathbb{R}_{-}^{*} \).

الجواب الصحيح: \( x\left(\sqrt{10}-2\sqrt{3}\right)\le 0 \)

2) \( ABCDEFGH \) متوازي المستطيلات حيث \( AB=AD=2 \) و \( EC=4 \). فإنّ: \( AE=3\sqrt{2} \) — \( AE=2\sqrt{2} \) — \( AE=2\sqrt{3} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور مرّتين — مرّة في القاعدة للحصول على قطرها، ومرّة في المثلث القائم الذي يحتوي القطر الفراغي.

القاعدة \( ABCD \) مستطيل ضلعاه \( AB=2 \) و \( AD=2 \)، فبفيتاغور: \( AC^2=AB^2+AD^2=4+4=8 \).

ومتوازي المستطيلات قائم، إذن \( \left(AE\right) \) عمودي على مستوي القاعدة، ومنه \( \left(AE\right)\perp\left(AC\right) \).

فالمثلث \( AEC \) قائم في \( A \)، وبفيتاغور: \( EC^2=AE^2+AC^2 \).

نعوّض: \( 16=AE^2+8 \)، ومنه \( AE^2=8 \).

إذن \( AE=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{2} \)

3) \( ABCDEFGH \) مكعّب قيس طول حرفه \( a \) حيث \( a\in\mathbb{R}_{+}^{*} \)، و \( O \) مركز وجهه \( ABCD \). فإنّ: \( OE=a\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) — \( OE=a\dfrac{\sqrt{6}}{2} \) — \( OE=a\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

القاعدة: قطر مربّع ضلعه \( a \) يساوي \( a\sqrt{2} \)، ومركزه منتصف القطر. ثمّ فيتاغور في المثلث القائم.

الوجه \( ABCD \) مربّع ضلعه \( a \)، فقطره \( AC=a\sqrt{2} \).

والنقطة \( O \) مركزه، أي منتصف \( \left[AC\right] \): \( OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \).

والمكعّب قائم، إذن \( \left(AE\right) \) عمودي على مستوي الوجه \( ABCD \)، ومنه \( \left(AE\right)\perp\left(AO\right) \).

فالمثلث \( OAE \) قائم في \( A \)، وبفيتاغور: \( OE^2=OA^2+AE^2=\dfrac{2a^2}{4}+a^2=\dfrac{a^2}{2}+a^2 \).

ونجمع: \( OE^2=\dfrac{3a^2}{2}=\dfrac{6a^2}{4} \).

ومنه \( OE=\dfrac{a\sqrt{6}}{2} \) لأنّ \( a \) موجب تماما.

الجواب الصحيح: \( a\dfrac{\sqrt{6}}{2} \)

قارن \( \sqrt{10} \) و \( 2\sqrt{3} \) بالتربيع: ما هي إشارة الفرق؟

احسب قطر القاعدة \( AC \) أوّلا.

\( O \) منتصف قطر المربّع: كم يساوي \( OA \)؟

تمرين عدد 2 (5 نقاط)

نعتبر العبارتين \( E=\left(2x-3\right)^2-4 \) و \( F=\left(x-4\right)^2+3\left(x-3\right)\left(x-1\right) \) حيث \( x\in\mathbb{R} \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( E=\left(2x-5\right)\left(2x-1\right) \)

القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) مع \( a=2x-3 \) و \( b=2 \).

نكتب 4 مربّعا: \( E=\left(2x-3\right)^2-2^2 \).

وهو فرق مربّعين: \( E=\left(2x-3-2\right)\left(2x-3+2\right) \).

ونبسّط القوسين: \( E=\left(2x-5\right)\left(2x-1\right) \).

الجواب الصحيح: \( \left(2x-5\right)\left(2x-1\right) \)

2) بيّن أنّ \( F=\left(5-2x\right)^2 \)

القاعدة: ننشر كلّ حدّ ثمّ نجمع الأمثال، ونتعرّف على المتطابقة \( a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \).

ننشر المربّع: \( \left(x-4\right)^2=x^2-8x+16 \).

وننشر الجداء: \( \left(x-3\right)\left(x-1\right)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3 \).

ونضربه في 3: \( 3\left(x^2-4x+3\right)=3x^2-12x+9 \).

ونجمع: \( F=x^2-8x+16+3x^2-12x+9=4x^2-20x+25 \).

ونتعرّف على المتطابقة: \( 4x^2=\left(2x\right)^2 \) و \( 25=5^2 \) و \( 2\times 2x\times 5=20x \).

إذن \( F=\left(2x-5\right)^2 \)، وهو نفسه \( \left(5-2x\right)^2 \) لأنّ مربّعي عددين متقابلين متساويان.

الجواب الصحيح: \( \left(5-2x\right)^2 \)

3) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( E+F=0 \)

القاعدة: نستعمل الشكلين المفكّكين ونخرج العامل المشترك؛ ثمّ جداء منعدم.

نستعمل ما سبق: \( E+F=\left(2x-5\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-5\right)^2 \).

العامل المشترك هو \( \left(2x-5\right) \): \( E+F=\left(2x-5\right)\left[\left(2x-1\right)+\left(2x-5\right)\right] \).

ونبسّط داخل القوس: \( 2x-1+2x-5=4x-6 \).

فتصبح المعادلة \( \left(2x-5\right)\left(4x-6\right)=0 \).

إذن \( 2x-5=0 \) أو \( 4x-6=0 \).

ومنه \( x=\dfrac{5}{2} \) أو \( x=\dfrac{3}{2} \).

الجواب الصحيح: \( \left\{\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\right\} \)

4) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( \sqrt{F}>3 \)

القاعدة: \( \sqrt{a^2}=|a| \). و \( |X|\gt k \) مع \( k \) موجب تعني \( X\gt k \) أو \( X\lt -k \).

من السؤال 2: \( \sqrt{F}=\sqrt{\left(5-2x\right)^2}=\left|5-2x\right| \).

فتصبح المتراجحة \( \left|5-2x\right|>3 \).

الحالة الأولى: \( 5-2x>3 \)، أي \( -2x>-2 \)؛ ونقسم على \( -2 \) فينقلب الاتجاه: \( x<1 \).

الحالة الثانية: \( 5-2x<-3 \)، أي \( -2x<-8 \)؛ وبنفس الطريقة: \( x>4 \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,1\right[\cup\left]4\,;\,+\infty\right[ \)

\( 4=2^2 \): هل ترى فرق مربّعين؟

انشر كلّ شيء ثمّ ابحث عن متطابقة.

ما هو العامل المشترك بين \( E \) و \( F \)؟

\( \sqrt{F} \) ليست \( 5-2x \) بل قيمتها المطلقة.

تمرين عدد 3 (7 نقاط)

\( SABCD \) هرم منتظم قمّته \( S \) و \( O \) مركز قاعدته المربّعة \( ABCD \) و \( \left[SO\right] \) ارتفاعه، حيث \( AB=3\sqrt{2} \) و \( SB=2\times SO \). و \( K \) المسقط العمودي للنقطة \( O \) على \( \left[SB\right] \).

الإصلاح

1)أ) أحسب البعد \( OB \)

القاعدة: قطر مربّع ضلعه \( c \) يساوي \( c\sqrt{2} \)، ومركز المربّع منتصف كلّ من قطريه.

القاعدة \( ABCD \) مربّع ضلعه \( 3\sqrt{2} \).

فقطره \( BD=3\sqrt{2}\times\sqrt{2}=3\times 2=6 \).

والنقطة \( O \) مركز المربّع، أي منتصف \( \left[BD\right] \).

إذن \( OB=\dfrac{6}{2}=3 \).

الجواب الصحيح: \( 3 \)

1)ب) بيّن أنّ المثلث \( SBO \) قائم في \( O \)

القاعدة: ارتفاع هرم منتظم عمودي على مستوي القاعدة، فهو عمودي على كلّ مستقيم محتوى فيه.

القطعة \( \left[SO\right] \) هي ارتفاع الهرم، إذن \( \left(SO\right)\perp\left(ABCD\right) \).

والنقطتان \( O \) و \( B \) في مستوي القاعدة، إذن \( \left(OB\right) \) محتوى في \( \left(ABCD\right) \).

ومنه \( \left(SO\right)\perp\left(OB\right) \).

فالمثلث \( SBO \) قائم في \( O \).

الجواب الصحيح: المثلث \( SBO \) قائم في \( O \)

1)ج) بيّن أنّ \( SO=\sqrt{3} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم، مع تعويض الشرط \( SB=2\times SO \).

المثلث \( SBO \) قائم في \( O \) ووتره \( \left[SB\right] \)، فبفيتاغور: \( SB^2=SO^2+OB^2 \).

ونعوّض \( SB=2\times SO \): \( \left(2SO\right)^2=SO^2+3^2 \).

أي \( 4SO^2=SO^2+9 \).

ومنه \( 3SO^2=9 \)، أي \( SO^2=3 \).

وبما أنّ \( SO \) بعد موجب فإنّ \( SO=\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( \sqrt{3} \)

2) أحسب البعد \( OK \)

القاعدة: في مثلث قائم، جداء ضلعي القائمة يساوي جداء الوتر في الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة.

نحسب أوّلا الوتر: \( SB=2\times SO=2\sqrt{3} \).

والقطعة \( \left[OK\right] \) هي الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة \( O \) في المثلث \( SBO \).

إذن \( SO\times OB=SB\times OK \).

ونعوّض: \( \sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}\times OK \).

ومنه \( OK=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3}{2} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3}{2} \)

3)أ) بيّن أنّ \( \left(AC\right)\perp\left(SBD\right) \)

القاعدة: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.

في المربّع \( ABCD \) القطران متعامدان، إذن \( \left(AC\right)\perp\left(BD\right) \).

وارتفاع الهرم \( \left(SO\right) \) عمودي على مستوي القاعدة، ومنه \( \left(SO\right)\perp\left(AC\right) \).

فالمستقيم \( \left(AC\right) \) عمودي على \( \left(BD\right) \) وعلى \( \left(SO\right) \).

وهذان المستقيمان متقاطعان في \( O \) ومحتويان في المستوي \( \left(SBD\right) \): فـ \( \left(BD\right) \) قطر القاعدة و \( S \) قمّة الهرم.

إذن \( \left(AC\right)\perp\left(SBD\right) \).

الجواب الصحيح: \( \left(AC\right)\perp\left(SBD\right) \)

3)ب) أحسب البعد \( CK \)

القاعدة: مستقيم عمودي على مستوٍ يكون عموديا على كلّ مستقيم من هذا المستوي يمرّ من نقطة تقاطعهما. ثمّ فيتاغور.

رأينا أنّ \( \left(AC\right)\perp\left(SBD\right) \)، ونقطة التقاطع هي \( O \).

والنقطة \( K \) على \( \left[SB\right] \) المحتوى في المستوي \( \left(SBD\right) \)، إذن \( \left(OK\right) \) محتوى في هذا المستوي.

ومنه \( \left(OC\right)\perp\left(OK\right) \): المثلث \( OKC \) قائم في \( O \).

ولدينا \( OC=OB=3 \) لأنّهما نصفا قطري المربّع، و \( OK=\dfrac{3}{2} \).

وبفيتاغور: \( CK^2=OC^2+OK^2=9+\dfrac{9}{4}=\dfrac{36}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{45}{4} \).

ومنه \( CK=\dfrac{\sqrt{45}}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \)

احسب قطر المربّع أوّلا.

على أيّ مستوٍ يكون ارتفاع الهرم عموديا؟

عوّض \( SB=2\times SO \) في فيتاغور.

\( \left[OK\right] \) ارتفاع صادر من الزاوية القائمة.

ابحث عن مستقيمين متقاطعين من \( \left(SBD\right) \) يكون \( \left(AC\right) \) عموديا عليهما.

ما نوع المثلث \( OKC \)؟

تمرين عدد 4 (5 نقاط)

يمثّل الجدول توزيع 50 سيارة حسب سرعتها بـ \( km/h \). الفئات: \( \left[30;50\right[ \) و \( \left[50;70\right[ \) عدد سياراتها 10 و \( \left[70;90\right[ \) و \( \left[90;110\right[ \). ويُعطى: التكرار التراكمي الصاعد عند نهاية الفئة الثالثة يساوي 45، والتواتر التراكمي الصاعد عند نهاية الفئة الأولى يساوي 30 %.

السرعة	[30;50[	[50;70[	[70;90[	[90;110[
عدد السيارات	15	10	20	5
التكرار التراكمي الصاعد	15	25	45	50
التواتر التراكمي الصاعد	30 %	50 %	90 %	100 %

الإصلاح

ملاحظة على ترتيب الأسئلة: السؤال 2 يطلب المنوال قبل السؤال 3 الذي يطلب تعمير الجدول، والحال أنّ المنوال لا يُعرف إلاّ بعد معرفة التكرارات. لذلك نعمّر الجدول أوّلا، ثمّ نجيب عن الأسئلة بترتيبها.

1) أنقل هذا الجدول ثمّ أتمم تعميره

القاعدة: التواتر التراكمي هو التكرار التراكمي مقسوما على العدد الجملي. ونستنتج تكرار فئة بطرح التكرار التراكمي السابق.

التواتر التراكمي عند نهاية الفئة الأولى هو 30 %، والعدد الجملي 50.

إذن التكرار التراكمي هناك \( =\dfrac{30}{100}\times 50=15 \)، وهو تكرار الفئة \( \left[30;50\right[ \) نفسها.

تكرار \( \left[50;70\right[ \) معلوم وهو 10، فالتكرار التراكمي يصبح \( 15+10=25 \).

والتكرار التراكمي عند نهاية الفئة الثالثة معلوم وهو 45، إذن تكرار \( \left[70;90\right[ \) هو \( 45-25=20 \).

ومجموع التكرارات 50، إذن تكرار \( \left[90;110\right[ \) هو \( 50-45=5 \).

والتواترات التراكمية: 30 % ثمّ \( \dfrac{25}{50}=50\,\% \) ثمّ \( \dfrac{45}{50}=90\,\% \) ثمّ 100 %.

الجواب الصحيح: \( 15 \) و \( 10 \) و \( 20 \) و \( 5 \)

2) ما هو نوع هذه السلسلة؟ وما هو نوع ميزتها؟

القاعدة: الميزة كمّية إذا كانت عددا، ومتّصلة إذا أخذت كلّ القيم داخل مجال، ومجمّعة في فئات.

الميزة المدروسة هي السرعة بـ \( km/h \)، وهي عدد: فالميزة كمّية.

والسرعة يمكن أن تأخذ أيّ قيمة داخل الفئة، لا قيما معزولة: فهي كمّية متّصلة.

ولذلك جُمّعت المعطيات في فئات، لا في قيم مفردة.

الجواب الصحيح: سلسلة إحصائية ذات ميزة كمّية متّصلة مجمّعة في فئات

3) ما هو مدى ومنوال هذه السلسلة؟

القاعدة: المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة. والمنوال في سلسلة بفئات هو الفئة ذات التكرار الأكبر.

أصغر قيمة ممكنة هي 30 وأكبرها 110.

إذن المدى \( =110-30=80 \).

ونقارن التكرارات التي وجدناها: 15 و 10 و 20 و 5.

وأكبرها 20، وهو تكرار الفئة \( \left[70;90\right[ \).

الجواب الصحيح: \( 80 \)

4) أرسم مضلّع التكرارات التراكمية الصاعدة واستنتج موسط هذه السلسلة

القاعدة: الموسط هو فاصلة النقطة التي ترتيبها نصف العدد الجملي على مضلّع التكرارات التراكمية الصاعدة. ولا يُقرأ أبدا من ترتيب قيمة.

نضع النقاط \( \left(30;0\right) \) و \( \left(50;15\right) \) و \( \left(70;25\right) \) و \( \left(90;45\right) \) و \( \left(110;50\right) \) ونصلها.

نصف العدد الجملي هو \( \dfrac{50}{2}=25 \).

نرسم المستقيم الأفقي \( y=25 \) ونقرأ فاصلة نقطة التقاطع.

والتكرار التراكمي يبلغ 25 بالضبط عند الفاصلة 70، فلا حاجة إلى أيّ تقريب.

الجواب الصحيح: \( 70 \)

احسب 30 % من 50: ما الذي تمثّله؟

هل السرعة عدد؟ وهل تأخذ قيما معزولة أم كلّ قيم المجال؟

المدى يستعمل الطرفين المتطرّفين، والمنوال أكبر تكرار.

ارسم المستقيم \( y=25 \) واقرأ الفاصلة: القراءة هنا مضبوطة.