إصلاح فرض مراقبة عدد 6 — التاسعة أساسي

تمرين عدد 1 (3 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات الثلاثة المقترحة.

الإصلاح

1) مجموعة حلول المتراجحة \( \dfrac{4x}{\sqrt{5}-3}\ge\sqrt{5}+3 \) هي: \( \left[-1;1\right] \) — \( \left]-\infty;-1\right] \) — \( \left[1;+\infty\right[ \)

القاعدة: الضرب في عدد سالب يقلب اتجاه المتفاوتة. ونستعمل \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \).

نقارن \( \sqrt{5} \) بـ 3: \( \left(\sqrt{5}\right)^2=5 \) و \( 3^2=9 \)، وبما أنّ \( 5<9 \) والعددان موجبان فإنّ \( \sqrt{5}<3 \).

إذن \( \sqrt{5}-3<0 \).

نضرب الطرفين في \( \sqrt{5}-3 \) فينقلب الاتجاه: \( 4x\le\left(\sqrt{5}+3\right)\left(\sqrt{5}-3\right) \).

ونحسب بفرق مربّعين: \( \left(\sqrt{5}+3\right)\left(\sqrt{5}-3\right)=5-9=-4 \).

فتصبح \( 4x\le -4 \)، ومنه \( x\le -1 \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty;-1\right] \)

2) سجّل لاعب كرة سلّة خلال 8 مباريات النقاط: 24 · 28 · 27 · 27 · 27 · 25 · 25 · 25. موسط هذه السلسلة هو: 27 — 26 — 25

القاعدة: الموسط هو قيمة الفاصلة التي يبلغ عندها التواتر التراكمي الصاعد نصف العدد الجملي. ولا يُحسب أبدا بترتيب \( \dfrac{N+1}{2} \).

نرتّب السلسلة تصاعديا: 24 · 25 · 25 · 25 · 27 · 27 · 27 · 28.

ونبني التكرارات التراكمية الصاعدة: عند 24 نجد 1، وعند 25 نجد 4، وعند 27 نجد 7، وعند 28 نجد 8.

عدد القيم \( N=8 \)، فنصفه \( \dfrac{8}{2}=4 \).

وأوّل قيمة يبلغ عندها التكرار التراكمي العدد 4 هي 25.

انتبه: العدد 26 هو المُعدّل وليس الموسط. فعلا \( \dfrac{24+28+3\times 27+3\times 25}{8}=\dfrac{208}{8}=26 \) — وهذا بالضبط الفخّ.

الجواب الصحيح: \( 25 \)

3) \( ABCEFG \) موشور قائم قاعدته المثلث \( ABC \) القائم في \( A \)، و \( M \) نقطة من \( \left[CG\right] \). إذن \( AMB \) مثلث: قائم في \( M \) — قائم في \( B \) — قائم في \( A \)

القاعدة: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي، وعندئذ يكون عموديا على كلّ مستقيم منه.

الموشور قائم، إذن الحرف \( \left[CG\right] \) عمودي على مستوي القاعدة \( \left(ABC\right) \).

وبنفس السبب \( \left(AE\right)\perp\left(ABC\right) \)، ومنه \( \left(AB\right)\perp\left(AE\right) \).

والمثلث \( ABC \) قائم في \( A \)، إذن \( \left(AB\right)\perp\left(AC\right) \).

فالمستقيم \( \left(AB\right) \) عمودي على مستقيمين متقاطعين في \( A \) من المستوي \( \left(ACGE\right) \)، إذن \( \left(AB\right)\perp\left(ACGE\right) \).

والنقطة \( M \) على \( \left[CG\right] \) المحتوى في هذا المستوي، إذن \( \left(AB\right)\perp\left(AM\right) \).

الجواب الصحيح: قائم في \( A \)

ما هي إشارة \( \sqrt{5}-3 \)؟

رتّب السلسلة وابن التكرارات التراكمية: الموسط ليس المعدّل.

على أيّ مستوٍ يكون \( \left(AB\right) \) عموديا؟

تمرين عدد 2 (5 نقاط)

نعتبر العبارتين \( A=\left(2x+1\right)^2-25 \) و \( B=4x^2-8 \) حيث \( x \) عدد حقيقي.

الإصلاح

1) انشر واختصر العبارة \( A \)

القاعدة: المتطابقة \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \).

ننشر المربّع: \( \left(2x+1\right)^2=4x^2+4x+1 \).

ونطرح 25: \( A=4x^2+4x+1-25 \).

ونختصر: \( A=4x^2+4x-24 \).

الجواب الصحيح: \( 4x^2+4x-24 \)

2)أ) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( A\le B \)

القاعدة: ننقل كلّ شيء إلى طرف واحد؛ وهنا يختفي الحدّ من الدرجة الثانية فتبقى متراجحة من الدرجة الأولى.

نكتب المتراجحة: \( 4x^2+4x-24\le 4x^2-8 \).

نطرح \( 4x^2 \) من الطرفين: \( 4x-24\le -8 \).

نضيف 24: \( 4x\le 16 \).

ونقسم على 4 وهو موجب: \( x\le 4 \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,4\right] \)

2)ب) استنتج مقارنة لـ \( A \) و \( B \) في حالة \( x=4\sqrt{2} \)

القاعدة: لمقارنة عددين موجبين نقارن مربّعيهما.

نقارن \( 4\sqrt{2} \) بـ 4: \( \left(4\sqrt{2}\right)^2=32 \) و \( 4^2=16 \).

وبما أنّ \( 32>16 \) والعددان موجبان فإنّ \( 4\sqrt{2}>4 \).

فالعدد \( 4\sqrt{2} \) لا يحقّق الشرط \( x\le 4 \) الذي وجدناه.

إذن المتراجحة \( A\le B \) غير محقّقة، ومعناه \( A>B \).

الجواب الصحيح: \( A>B \)

3) بيّن أنّ \( A=\left(6+2x\right)\left(2x-4\right) \)

القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) مع \( a=2x+1 \) و \( b=5 \).

نكتب 25 مربّعا: \( A=\left(2x+1\right)^2-5^2 \).

وهو فرق مربّعين: \( A=\left(2x+1-5\right)\left(2x+1+5\right) \).

ونبسّط القوسين: \( A=\left(2x-4\right)\left(2x+6\right) \).

الجواب الصحيح: \( \left(6+2x\right)\left(2x-4\right) \)

4)أ) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( \left(2x+1\right)^2=25 \)

القاعدة: ننقل إلى طرف واحد لنحصل على \( A=0 \)، ثمّ جداء منعدم.

ننقل 25: \( \left(2x+1\right)^2-25=0 \)، أي \( A=0 \).

ونستعمل التفكيك: \( \left(2x-4\right)\left(2x+6\right)=0 \).

إذن \( 2x-4=0 \) أو \( 2x+6=0 \).

ومنه \( x=2 \) أو \( x=-3 \).

الجواب الصحيح: \( \left\{-3\,;\,2\right\} \)

4)ب) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( \sqrt{A+25}\ge 1 \)

القاعدة: \( \sqrt{a^2}=|a| \). و \( |X|\ge k \) مع \( k \) موجب تعني \( X\ge k \) أو \( X\le -k \).

لدينا \( A+25=\left(2x+1\right)^2 \) حسب تعريف \( A \).

إذن \( \sqrt{A+25}=\sqrt{\left(2x+1\right)^2}=\left|2x+1\right| \).

فتصبح المتراجحة \( \left|2x+1\right|\ge 1 \).

الحالة الأولى: \( 2x+1\ge 1 \)، أي \( 2x\ge 0 \) ومنه \( x\ge 0 \).

الحالة الثانية: \( 2x+1\le -1 \)، أي \( 2x\le -2 \) ومنه \( x\le -1 \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,-1\right]\cup\left[0\,;\,+\infty\right[ \)

انشر \( \left(2x+1\right)^2 \) ثمّ اطرح 25.

لاحظ أنّ \( 4x^2 \) يختفي من الطرفين.

قارن \( 4\sqrt{2} \) بـ 4 بالتربيع.

\( 25=5^2 \): هل ترى فرق مربّعين؟

انقل 25 لتتعرّف على \( A \).

ما هي العبارة \( A+25 \)؟ ولا تنس أنّ \( \sqrt{a^2}=|a| \).

تمرين عدد 3 (6 نقاط)

يمثّل الجدول كمية الماء بالمتر المكعّب التي تستهلكها 150 عائلة. الفئات: \( \left[30;50\right[ \) عدد العائلات 36، \( \left[50;70\right[ \) عدد العائلات \( a \)، \( \left[70;90\right[ \) عدد العائلات 39، \( \left[90;110\right[ \) عدد العائلات \( b \). ويُعطى التواتر التراكمي الصاعد: 68 % عند نهاية الفئة الثانية و 100 % عند نهاية الفئة الأخيرة.

الفئة	[30;50[	[50;70[	[70;90[	[90;110[
مركز الفئة	40	60	80	100
عدد العائلات	36	66	39	9
التكرار التراكمي الصاعد	36	102	141	150
التواتر التراكمي الصاعد	24 %	68 %	94 %	100 %

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( a=66 \) و \( b=9 \)

القاعدة: التواتر التراكمي الصاعد هو التكرار التراكمي مقسوما على العدد الجملي. ومجموع التكرارات يساوي العدد الجملي.

التواتر التراكمي عند نهاية الفئة الثانية هو 68 %، والعدد الجملي 150.

إذن التكرار التراكمي هناك هو \( \dfrac{68}{100}\times 150=102 \).

وهذا التكرار هو مجموع الفئتين الأوليين: \( 36+a=102 \)، ومنه \( a=66 \).

ومجموع كلّ التكرارات هو 150: \( 36+66+39+b=150 \).

أي \( 141+b=150 \)، ومنه \( b=9 \).

الجواب الصحيح: \( 9 \)

2) أكمل تعمير الجدول الإحصائي

القاعدة: مركز فئة هو نصف مجموع طرفيها. والتكرار التراكمي الصاعد يُبنى بالجمع المتتالي.

مراكز الفئات: \( \dfrac{30+50}{2}=40 \) و \( \dfrac{50+70}{2}=60 \) و \( \dfrac{70+90}{2}=80 \) و \( \dfrac{90+110}{2}=100 \).

التكرارات التراكمية الصاعدة: 36 ثمّ \( 36+66=102 \) ثمّ \( 102+39=141 \) ثمّ \( 141+9=150 \).

والتواترات التراكمية: \( \dfrac{36}{150}=24\,\% \) و 68 % و \( \dfrac{141}{150}=94\,\% \) و 100 %.

الجواب الصحيح: انظر الجدول أعلاه

3) ما هو مدى ومنوال هذه السلسلة الإحصائية

القاعدة: المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة. والمنوال في سلسلة بفئات هو الفئة ذات التكرار الأكبر.

أصغر قيمة ممكنة هي 30 وأكبرها 110.

إذن المدى \( =110-30=80 \).

ونقارن التكرارات: 36 و 66 و 39 و 9، وأكبرها 66.

فالفئة المنوالية هي \( \left[50;70\right[ \).

الجواب الصحيح: \( 80 \)

4) أحسب معدّل استهلاك الماء لدى هذه العائلات

القاعدة: المعدّل في سلسلة بفئات هو مجموع (مركز الفئة × تكرارها) مقسوما على العدد الجملي.

نحسب الجداءات: \( 40\times 36=1440 \) و \( 60\times 66=3960 \) و \( 80\times 39=3120 \) و \( 100\times 9=900 \).

ونجمع: \( 1440+3960+3120+900=9420 \).

ونقسم على العدد الجملي: \( \dfrac{9420}{150}=62{,}8 \).

الجواب الصحيح: \( 62{,}8 \)

5) أرسم مضلّع التكرارات التراكمية الصاعدة ثمّ استنتج قيمة تقريبية لموسط هذه السلسلة

القاعدة: الموسط هو فاصلة النقطة التي ترتيبها نصف العدد الجملي على مضلّع التكرارات التراكمية الصاعدة. ولا يُقرأ أبدا من ترتيب قيمة.

نضع النقاط \( \left(30;0\right) \) و \( \left(50;36\right) \) و \( \left(70;102\right) \) و \( \left(90;141\right) \) و \( \left(110;150\right) \) ونصلها.

نصف العدد الجملي هو \( \dfrac{150}{2}=75 \).

نرسم المستقيم الأفقي \( y=75 \): يقطع المضلّع في الجزء الواصل بين \( \left(50;36\right) \) و \( \left(70;102\right) \).

وبقاعدة التناسب على هذا الجزء: \( \dfrac{75-36}{102-36}=\dfrac{39}{66} \).

فالفاصلة \( =50+\dfrac{39}{66}\times 20\approx 50+11{,}8=61{,}8 \).

الجواب الصحيح: \( 61{,}8 \)

احسب 68 % من 150.

مركز الفئة هو نصف مجموع طرفيها.

المدى يستعمل الطرفين المتطرّفين، والمنوال يستعمل أكبر تكرار.

استعمل مراكز الفئات، لا أطرافها.

ارسم المستقيم \( y=75 \) واقرأ الفاصلة.

تمرين عدد 4 (6 نقاط)

\( ABCDEFGH \) متوازي مستطيلات قاعدته مربّع \( ABCD \) مركزه \( I \)، و \( J \) منتصف \( \left[CE\right] \)، حيث \( AB=4\sqrt{2} \) و \( AE=8 \).

الإصلاح

1)أ) أحسب \( EC \)

القاعدة: قطر مربّع ضلعه \( c \) يساوي \( c\sqrt{2} \). ومبرهنة فيتاغور في المثلث القائم.

القاعدة \( ABCD \) مربّع ضلعه \( 4\sqrt{2} \)، فقطره \( AC=4\sqrt{2}\times\sqrt{2}=4\times 2=8 \).

ومتوازي المستطيلات قائم، إذن \( \left(AE\right)\perp\left(ABCD\right) \)، ومنه \( \left(AE\right)\perp\left(AC\right) \).

فالمثلث \( AEC \) قائم في \( A \)، وبفيتاغور: \( EC^2=AE^2+AC^2=64+64=128 \).

ومنه \( EC=\sqrt{128}=\sqrt{64\times 2}=8\sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: \( 8\sqrt{2} \)

1)ب) أحسب \( IJ \)

القاعدة: مبرهنة المنتصفين — القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث تساوي نصف الضلع الثالث.

النقطة \( I \) مركز المربّع، أي منتصف القطر \( \left[AC\right] \).

والنقطة \( J \) منتصف \( \left[CE\right] \) بالتعريف.

ففي المثلث \( CAE \)، النقطتان \( I \) و \( J \) منتصفا الضلعين \( \left[CA\right] \) و \( \left[CE\right] \).

إذن \( IJ=\dfrac{AE}{2}=\dfrac{8}{2}=4 \).

الجواب الصحيح: \( 4 \)

2) بيّن أنّ \( \left(AE\right) \) عمودي على \( \left(AI\right) \)

القاعدة: إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم محتوى في هذا المستوي.

متوازي المستطيلات قائم، إذن الحرف \( \left[AE\right] \) عمودي على مستوي القاعدة \( \left(ABCD\right) \).

والنقطة \( I \) مركز المربّع \( ABCD \)، فهي في مستوي القاعدة.

والنقطة \( A \) أيضا في هذا المستوي، إذن المستقيم \( \left(AI\right) \) محتوى في \( \left(ABCD\right) \).

ومنه \( \left(AE\right)\perp\left(AI\right) \).

الجواب الصحيح: \( \left(AE\right)\perp\left(AI\right) \)

3) لتكن \( M \) منتصف \( \left[DH\right] \). بيّن أنّ \( IDMJ \) مستطيل

القاعدة: رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع؛ ومتوازي أضلاع له زاوية قائمة هو مستطيل.

القطعتان \( \left[IJ\right] \) و \( \left[DM\right] \) موازيتان للحرف \( \left[AE\right] \): الأولى بمبرهنة المنتصفين في \( CAE \)، والثانية لأنّ \( \left[DH\right] \) حرف جانبي و \( M \) منتصفه.

وطولاهما: \( IJ=\dfrac{AE}{2}=4 \) و \( DM=\dfrac{DH}{2}=\dfrac{8}{2}=4 \).

فالضلعان \( \left[IJ\right] \) و \( \left[DM\right] \) متوازيان ومتقايسان: الرباعي \( IDMJ \) متوازي أضلاع.

والحرف \( \left[DM\right] \) عمودي على مستوي القاعدة، والمستقيم \( \left(DI\right) \) محتوى فيه.

إذن الزاوية في \( D \) قائمة، ومتوازي أضلاع له زاوية قائمة هو مستطيل.

الجواب الصحيح: \( IDMJ \) مستطيل

4) بيّن أنّ \( \left(IJ\right)\perp\left(ABD\right) \)

القاعدة: إذا كان مستقيم موازيا لمستقيم عمودي على مستوٍ فهو بدوره عمودي على هذا المستوي.

رأينا أنّ \( \left(IJ\right)\parallel\left(AE\right) \) بمبرهنة المنتصفين في المثلث \( CAE \).

والنقاط \( A \) و \( B \) و \( D \) من القاعدة، إذن المستوي \( \left(ABD\right) \) هو مستوي القاعدة \( \left(ABCD\right) \).

ومتوازي المستطيلات قائم، إذن \( \left(AE\right)\perp\left(ABCD\right) \).

وبما أنّ \( \left(IJ\right) \) يوازي \( \left(AE\right) \) فإنّه عمودي على نفس المستوي.

الجواب الصحيح: \( \left(IJ\right)\perp\left(ABD\right) \)

احسب قطر المربّع أوّلا.

في أيّ مثلث تكون \( I \) و \( J \) منتصفي ضلعين؟

أين يقع المستقيم \( \left(AI\right) \)؟

قارن \( \left[IJ\right] \) و \( \left[DM\right] \): طولا واتّجاها.

ما هو المستوي \( \left(ABD\right) \) في الحقيقة؟