إصلاح فرض مراقبة — التاسعة أساسي

تمرين عدد 1 (3 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدّمة.

الإصلاح

1) إذا كانت \( A=\left\{x\in\mathbb{R}_{-}\ /\ |x|<3\right\} \) فإنّ: \( A=\left]-3;3\right[ \) — \( A=\left]-3;0\right[ \) — \( A=\left]-3;0\right] \)

القاعدة: \( |x|\lt k \) مع \( k \) موجب تعني \( -k\lt x\lt k \). والرمز \( \mathbb{R}_{-} \) يعني الأعداد السالبة أو المنعدمة: الصفر محتوى فيها.

الشرط \( |x|<3 \) يعطي \( -3<x<3 \).

والشرط \( x\in\mathbb{R}_{-} \) يعطي \( x\le 0 \).

ونأخذ ما يحقّق الشرطين معا: \( -3<x\le 0 \).

الإجابة الأولى تنسى شرط السلبية، والثانية تستثني الصفر بلا سبب: الرمز \( \mathbb{R}_{-} \) بلا نجمة يحتوي الصفر.

الجواب الصحيح: \( \left]-3;0\right] \)

2) تقاطع المجموعتين \( A=\left]1-2\sqrt{3}\,;\,+\infty\right[ \) و \( B=\left\{x\in\mathbb{R}\ /\ x\le -2\right\} \) هو: \( A\cap B=\varnothing \) — \( A\cap B=\left]1-2\sqrt{3}\,;\,-2\right] \) — \( A\cap B=\left[-2\,;\,1-2\sqrt{3}\right[ \)

القاعدة: قبل كتابة تقاطع مجالين يجب ترتيب أطرافهما. ولمقارنة عددين موجبين نقارن مربّعيهما.

نرتّب أوّلا \( 1-2\sqrt{3} \) و \( -2 \).

نقارن \( 2\sqrt{3} \) بـ 3: \( \left(2\sqrt{3}\right)^2=4\times 3=12 \) و \( 3^2=9 \)، وبما أنّ \( 12>9 \) والعددان موجبان فإنّ \( 2\sqrt{3}>3 \).

ومنه \( 1-2\sqrt{3}<1-3=-2 \).

إذن المجالان يتقاطعان: \( A \) يبدأ قبل \( -2 \) و \( B \) ينتهي عند \( -2 \).

التقاطع يبدأ عند الطرف الأيسر الأكبر وهو \( 1-2\sqrt{3} \) مفتوحا، وينتهي عند الطرف الأيمن الأصغر وهو \( -2 \) مغلقا.

الجواب الصحيح: \( \left]1-2\sqrt{3}\,;\,-2\right] \)

3) \( ABC \) مثلث متقايس الأضلاع قيس طول ضلعه \( 6\,cm \)، و \( H \) منتصف \( \left[BC\right] \)، و \( K \) المسقط العمودي لـ \( H \) على \( \left(AC\right) \). البعد \( HK \) يساوي: \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,cm \) — \( 3\sqrt{3}\,cm \) — \( \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\,cm \)

القاعدة: في مثلث قائم، جداء ضلعي القائمة يساوي جداء الوتر في الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة.

في مثلث متقايس الأضلاع، الارتفاع هو أيضا متوسّط: إذن \( \left(AH\right)\perp\left(BC\right) \) و \( HC=\dfrac{6}{2}=3 \).

نحسب \( AH \) بفيتاغور في المثلث \( AHC \) القائم في \( H \): \( AH^2=AC^2-HC^2=36-9=27 \).

ومنه \( AH=\sqrt{27}=3\sqrt{3} \).

والقطعة \( \left[HK\right] \) هي الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة \( H \) في المثلث \( AHC \) ووتره \( \left[AC\right] \).

إذن \( AH\times HC=AC\times HK \)، ومنه \( HK=\dfrac{3\sqrt{3}\times 3}{6}=\dfrac{9\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

الإجابة \( 3\sqrt{3} \) هي \( AH \) نفسه: خلط بين الارتفاع الكبير والصغير.

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)

هل الصفر ينتمي إلى \( \mathbb{R}_{-} \)؟

قارن أوّلا \( 1-2\sqrt{3} \) بـ \( -2 \).

احسب \( AH \) أوّلا، ثمّ استعمل علاقة الارتفاع في المثلث \( AHC \).

تمرين عدد 2 (5 نقاط)

نعتبر العبارة \( E=x^2-5x+6 \). و \( ABC \) مثلث قائم في \( A \) حيث \( AB=5 \) و \( AC=3 \)، و \( M\in\left[AC\right] \) و \( N\in\left[AB\right] \) بحيث \( BN=CM=x \) و \( 0<x<3 \).

الإصلاح

1)أ) بيّن أنّ \( E+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \)

القاعدة: المتطابقة \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \).

ننشر الطرف الأيمن: \( \left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2=x^2-2\times x\times\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}=x^2-5x+\dfrac{25}{4} \).

ونحسب الطرف الأيسر: \( E+\dfrac{1}{4}=x^2-5x+6+\dfrac{1}{4} \).

ونوحّد: \( 6+\dfrac{1}{4}=\dfrac{24}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4} \).

فالطرفان متساويان: \( E+\dfrac{1}{4}=x^2-5x+\dfrac{25}{4} \).

الجواب الصحيح: \( x^2-5x+\dfrac{25}{4} \)

1)ب) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( E=0 \)

القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) ثمّ جداء منعدم.

من السؤال السابق: \( E=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \).

وهو فرق مربّعين: \( E=\left(x-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right) \).

فالمعادلة تصبح \( \left(x-3\right)\left(x-2\right)=0 \).

ومنه \( x=3 \) أو \( x=2 \).

الجواب الصحيح: \( \left\{2\,;\,3\right\} \)

1)ج) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( \sqrt{E+\dfrac{1}{4}}\le\dfrac{1}{2} \)

القاعدة: \( \sqrt{a^2}=|a| \). و \( |X|\le k \) مع \( k \) موجب تعني \( -k\le X\le k \).

من السؤال 1)أ: \( \sqrt{E+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2}=\left|x-\dfrac{5}{2}\right| \).

فتصبح المتراجحة \( \left|x-\dfrac{5}{2}\right|\le\dfrac{1}{2} \).

ومعناها \( -\dfrac{1}{2}\le x-\dfrac{5}{2}\le\dfrac{1}{2} \).

نضيف \( \dfrac{5}{2} \) إلى الأطراف الثلاثة: \( 2\le x\le 3 \).

الجواب الصحيح: \( \left[2\,;\,3\right] \)

2)أ) بيّن أنّ مساحة المثلث \( CMN \) هي \( S=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x \)

القاعدة: مساحة مثلث هي نصف جداء قاعدة في الارتفاع الموافق لها.

النقطة \( M \) على \( \left[AC\right] \) و \( CM=x \)، إذن القاعدة \( CM=x \).

والارتفاع الموافق هو بعد \( N \) عن المستقيم \( \left(AC\right) \).

وبما أنّ المثلث قائم في \( A \) فإنّ \( \left(AB\right)\perp\left(AC\right) \)، وهذا البعد هو \( AN \).

ولدينا \( AN=AB-BN=5-x \).

إذن \( S=\dfrac{CM\times AN}{2}=\dfrac{x\left(5-x\right)}{2}=\dfrac{5x-x^2}{2} \).

ونفصل: \( \dfrac{5x-x^2}{2}=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x \).

الجواب الصحيح: \( -\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x \)

2)ب) أحسب مساحة المثلث \( BCN \) إذا علمت أنّ \( S \) مساوية لـ \( \dfrac{2}{5} \) مساحة المثلث \( ABC \)

القاعدة: نترجم الشرط إلى معادلة، ونعود إلى التفكيك الذي وجدناه، ولا ننسى شرط المجال.

نحسب مساحة \( ABC \): \( \dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{5\times 3}{2}=\dfrac{15}{2} \).

فالشرط يعطي \( S=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{15}{2}=3 \).

أي \( -\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{5}{2}x=3 \). نضرب في \( -2 \): \( x^2-5x=-6 \).

ومنه \( x^2-5x+6=0 \)، وهي المعادلة \( E=0 \) من السؤال 1)ب.

إذن \( x=2 \) أو \( x=3 \). والشرط \( 0<x<3 \) يرفض 3، فيبقى \( x=2 \).

ونحسب مساحة \( BCN \): قاعدتها \( BN=x=2 \) والارتفاع الموافق هو \( AC=3 \) لأنّ \( \left(AC\right)\perp\left(AB\right) \).

فالمساحة \( \dfrac{BN\times AC}{2}=\dfrac{2\times 3}{2}=3 \).

الجواب الصحيح: \( 3 \)

انشر \( \left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \) وقارن.

اكتب \( E \) في شكل فرق مربّعين انطلاقا من السؤال السابق.

\( \sqrt{a^2} \) ليست \( a \) بل \( |a| \).

ما هو الارتفاع الموافق للقاعدة \( \left[CM\right] \)؟

ترجم الشرط إلى معادلة: ستتعرّف عليها.

تمرين عدد 3 (4 نقاط)

نعتبر المجالين \( I=\left]-\dfrac{5}{2}\,;\,-1\right] \) و \( J=\left]-2\,;\,-1\right[ \).

الإصلاح

1)أ) مثّل المجالين ثمّ حدّد \( I\cap J \)

القاعدة: إذا كان كلّ عنصر من مجال ينتمي إلى الآخر فهو محتوى فيه، وعندئذ التقاطع هو الأصغر.

نقارن الطرفين الأيسرين: \( -2>-\dfrac{5}{2} \) لأنّ \( -2=-\dfrac{4}{2} \).

ونقارن الطرفين الأيمنين: \( J \) مفتوح في \( -1 \) و \( I \) مغلق فيه.

إذن كلّ عنصر من \( J \) ينتمي إلى \( I \): \( J\subset I \).

وعندئذ التقاطع هو \( J \) نفسه.

الجواب الصحيح: \( \left]-2\,;\,-1\right[ \)

1)ب) حدّد \( I\cup J \)

القاعدة: إذا كان \( J\subset I \) فإنّ الاتّحاد هو الأكبر، أي \( I \).

رأينا أنّ \( J\subset I \).

فكلّ عنصر من الاتّحاد ينتمي إلى \( I \)، والعكس صحيح.

إذن الاتّحاد هو \( I \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\dfrac{5}{2}\,;\,-1\right] \)

2) ليكن \( x\in I \) و \( y\in J \). أوجد حصرا للعبارة \( F=\left(xy-3\right)^2 \)

القاعدة: جداء عددين سالبين موجب، ولحصره نمرّ بالقيم المطلقة. ومربّع عدد محصور بين \( -k \) و \( k \) محصور بين 0 و \( k^2 \).

لدينا \( -\dfrac{5}{2}<x\le -1 \) و \( -2<y<-1 \): العددان سالبان، فجداؤهما موجب.

نمرّ بالقيم المطلقة: \( 1\le |x|<\dfrac{5}{2} \) و \( 1<|y|<2 \).

ونضرب الحصرين (كلّ الأطراف موجبة): \( 1<|x|\times|y|<5 \).

وبما أنّ الجداء موجب فإنّ \( xy=|x|\times|y| \)، إذن \( 1<xy<5 \).

نطرح 3 من الأطراف الثلاثة: \( -2<xy-3<2 \).

ونربّع: المربّع منعدم إذا كان \( xy=3 \) وهو ممكن (مثلا \( x=-2 \) و \( y=-\dfrac{3}{2} \))، ولا يبلغ 4 أبدا.

الجواب الصحيح: \( 0\le F<4 \)

قارن الطرفين الأيسرين ثمّ الأيمنين: هل أحد المجالين محتوى في الآخر؟

إذا كان \( J\subset I \) فما هو الاتّحاد؟

العددان سالبان: مرّ بالقيم المطلقة قبل الضرب.

تمرين عدد 4 (8 نقاط)

\( ABCD \) مستطيل مركزه \( O \)، و \( I \) المسقط العمودي لـ \( B \) على \( \left(AC\right) \) حيث \( IA=2IC \) و \( IB=2\sqrt{2} \). المستقيم المارّ من \( D \) والموازي لـ \( \left(AC\right) \) يقطع \( \left(BC\right) \) في \( E \)، و \( \left(BI\right)\cap\left(AE\right)=\left\{F\right\} \)، والمستقيم \( \left(OF\right) \) يقطع \( \left(DE\right) \) في \( J \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( IC=2 \) و \( BC=2\sqrt{3} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور، مطبّقة في كلّ مثلث قائم على حدة. وفي مستطيل، الزاوية في كلّ رأس قائمة.

نضع \( IC=t \)، فيكون \( IA=2t \) و \( AC=IA+IC=3t \).

فيتاغور في المثلث \( ABI \) القائم في \( I \): \( AB^2=IB^2+IA^2=8+4t^2 \).

وفيتاغور في المثلث \( CBI \) القائم في \( I \): \( BC^2=IB^2+IC^2=8+t^2 \).

والمثلث \( ABC \) قائم في \( B \) لأنّ \( ABCD \) مستطيل، إذن \( AB^2+BC^2=AC^2 \).

فنعوّض: \( 8+4t^2+8+t^2=9t^2 \)، أي \( 16=4t^2 \) ومنه \( t^2=4 \) و \( t=2 \).

إذن \( IC=2 \) و \( IA=4 \) و \( AC=6 \).

ونحسب: \( BC^2=8+4=12 \)، ومنه \( BC=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{3} \)

2)أ) بيّن أنّ \( C \) منتصف \( \left[BE\right] \)

القاعدة: رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية هو متوازي أضلاع، وأضلاعه المتقابلة متقايسة.

بالإنشاء \( \left(DE\right)\parallel\left(AC\right) \).

وفي المستطيل \( \left(AD\right)\parallel\left(BC\right) \)، والنقطة \( E \) على \( \left(BC\right) \)، إذن \( \left(AD\right)\parallel\left(CE\right) \).

فالرباعي \( ACED \) له ضلعان متقابلان متوازيان مثنى مثنى: هو متوازي أضلاع.

ومنه \( CE=AD \). وفي المستطيل \( AD=BC \)، إذن \( CE=BC \).

والنقطة \( C \) بين \( B \) و \( E \) على المستقيم \( \left(BC\right) \).

إذن \( C \) منتصف \( \left[BE\right] \)، و \( BE=2BC=4\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( 4\sqrt{3} \)

2)ب) أحسب \( BF \)

القاعدة: قاعدة طاليس، ثمّ: في مثلث قائم، المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.

لتكن \( G \) منتصف \( \left[AE\right] \). في المثلث \( ABE \)، النقطتان \( C \) و \( G \) منتصفا \( \left[BE\right] \) و \( \left[AE\right] \).

فبمبرهنة المنتصفين: \( \left(CG\right)\parallel\left(AB\right) \) و \( CG=\dfrac{AB}{2} \).

ليكن \( P \) نقطة تقاطع \( \left(BG\right) \) و \( \left(AC\right) \). بما أنّ \( \left(AB\right)\parallel\left(CG\right) \) فبقاعدة طاليس: \( \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB}{CG}=2 \).

إذن \( PA=2PC \). والنقطة \( I \) على \( \left[AC\right] \) وتحقّق \( IA=2IC \) أيضا: فـ \( P=I \).

ومعناه أنّ \( B \) و \( I \) و \( G \) على استقامة واحدة، فـ \( G \) هي نقطة تقاطع \( \left(BI\right) \) و \( \left(AE\right) \)، أي \( G=F \).

إذن \( F \) منتصف \( \left[AE\right] \).

ونحسب \( AB \): \( AB^2=IB^2+IA^2=8+16=24 \)، ومنه \( AB=2\sqrt{6} \).

والمثلث \( ABE \) قائم في \( B \)، فبفيتاغور: \( AE^2=AB^2+BE^2=24+48=72 \) ومنه \( AE=6\sqrt{2} \).

و \( \left[BF\right] \) هو المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة، إذن \( BF=\dfrac{AE}{2}=3\sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: \( 3\sqrt{2} \)

2)ج) بيّن أنّ \( F \) منتصف \( \left[DC\right] \) ثمّ أحسب \( OF \)

القاعدة: قطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصف كلّ منهما. ومبرهنة المنتصفين: القطعة التي تصل منتصفي ضلعين تساوي نصف الضلع الثالث.

رأينا في 2)أ أنّ \( ACED \) متوازي أضلاع، وقطراه هما \( \left[AE\right] \) و \( \left[CD\right] \).

فهما يتقاطعان في منتصف كلّ منهما.

ومنتصف \( \left[AE\right] \) هو \( F \) حسب السؤال السابق، إذن \( F \) هو أيضا منتصف \( \left[DC\right] \).

أمّا \( OF \): النقطة \( O \) مركز المستطيل، أي منتصف القطر \( \left[AC\right] \).

ففي المثلث \( ACD \)، النقطتان \( O \) و \( F \) منتصفا \( \left[AC\right] \) و \( \left[CD\right] \).

وبمبرهنة المنتصفين: \( OF=\dfrac{AD}{2} \).

ولدينا \( AD=BC=2\sqrt{3} \)، إذن \( OF=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( \sqrt{3} \)

3) المستقيم \( \left(OF\right) \) يقطع \( \left(DE\right) \) في \( J \). بيّن أنّ الرباعي \( CODJ \) معيّن ثمّ أحسب مساحته

القاعدة: رباعي قطراه متعامدان ويتقاطعان في منتصف كلّ منهما هو معيّن، ومساحته نصف جداء قطريه.

قطرا الرباعي \( CODJ \) هما \( \left[CD\right] \) و \( \left[OJ\right] \).

رأينا أنّ \( F \) منتصف \( \left[CD\right] \)، و \( F \) على \( \left(OJ\right) \) بالإنشاء.

وفي المثلث \( ACD \)، \( \left(OF\right) \) تصل منتصفي \( \left[AC\right] \) و \( \left[CD\right] \)، إذن \( \left(OF\right)\parallel\left(AD\right) \).

وفي المستطيل \( \left(AD\right)\perp\left(DC\right) \)، إذن \( \left(OJ\right)\perp\left(CD\right) \): القطران متعامدان.

وبنفس المبرهنة في المثلث \( CDE \): \( F \) منتصف \( \left[CD\right] \) و \( \left(FJ\right)\parallel\left(CE\right) \)، إذن \( J \) منتصف \( \left[DE\right] \) و \( FJ=\dfrac{CE}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \).

فـ \( FJ=OF=\sqrt{3} \): النقطة \( F \) منتصف \( \left[OJ\right] \) أيضا، و \( OJ=2\sqrt{3} \).

إذن القطران يتقاطعان في منتصف كلّ منهما وهما متعامدان: الرباعي معيّن.

ونحسب \( CD=AB=2\sqrt{6} \)، والمساحة \( \dfrac{CD\times OJ}{2}=\dfrac{2\sqrt{6}\times 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: \( 6\sqrt{2} \)

ضع \( IC=t \) واكتب فيتاغور ثلاث مرّات.

ما نوع الرباعي \( ACED \)؟ انظر إلى ضلعيه المتقابلين.

\( IA=2IC \) ليس رقما فقط: إنّه نسبة طاليس. أدخل منتصف \( \left[AE\right] \).

ما هما قطرا متوازي الأضلاع \( ACED \)؟

استعمل مبرهنة المنتصفين مرّتين: في \( ACD \) ثمّ في \( CDE \).