إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

تمرين عدد 1

أنقل رقم السؤال والإجابة الصحيحة الوحيدة الموافقة.

الإصلاح

1) نعتبر المجموعة \( A=\left\{x\in\mathbb{R}^{*}_{+}\ /\ |x|\le\sqrt{2}\right\} \). إذن: \( A=\left[0\,;\,\sqrt{2}\right] \) — \( A=\left]0\,;\,\sqrt{2}\right] \) — \( A=\left[-\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}\right] \)

القاعدة: \( |x|\le k \) مع \( k \) موجب تعني \( -k\le x\le k \). والرمز \( \mathbb{R}^{*}_{+} \) يعني الأعداد الموجبة تماما، أي أنّ الصفر مستثنى.

الشرط \( |x|\le\sqrt{2} \) يعطي \( -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2} \).

لكنّ \( x \) في \( \mathbb{R}^{*}_{+} \)، أي \( x>0 \): فنحتفظ فقط بالجزء الموجب.

إذن \( 0<x\le\sqrt{2} \): الصفر مستثنى والطرف \( \sqrt{2} \) محتوى.

الإجابة \( \left[0\,;\,\sqrt{2}\right] \) خاطئة لأنّها تُدخل الصفر، والثالثة تُدخل أعدادا سالبة.

الجواب الصحيح: \( \left]0\,;\,\sqrt{2}\right] \)

2) مجموعة حلول المعادلة \( \sqrt{3}\,x-1=x+1 \) في \( \mathbb{R} \) هي: \( S_{\mathbb{R}}=\varnothing \) — \( S_{\mathbb{R}}=\left\{0\right\} \) — \( S_{\mathbb{R}}=\left\{\sqrt{3}+1\right\} \)

القاعدة: لجعل المقام ناطقا نضرب البسط والمقام في المرافق، ونستعمل \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \).

نجمع الحدود التي فيها \( x \) في طرف: \( \sqrt{3}\,x-x=1+1 \).

ونخرج \( x \) عاملا مشتركا: \( x\left(\sqrt{3}-1\right)=2 \).

وبما أنّ \( \sqrt{3}-1\neq 0 \) نقسم: \( x=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1} \).

نضرب في المرافق: \( x=\dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\sqrt{3}+1 \).

الجواب الصحيح: \( \left\{\sqrt{3}+1\right\} \)

3) \( ABC \) مثلث قائم في \( A \) و \( \left[AH\right] \) الارتفاع الصادر من \( A \) حيث \( AH=x+3 \) و \( CH=1 \) و \( BH=4 \) و \( x>-3 \). فإنّ: \( x=-5 \) — \( x=1 \) — \( x=-1 \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في كلّ مثلث قائم على حدة. \( H \) بين \( B \) و \( C \) إذن \( BC=BH+HC \).

نحسب الوتر: \( BC=BH+HC=4+1=5 \).

فيتاغور في المثلث \( ABH \) القائم في \( H \): \( AB^2=AH^2+BH^2=\left(x+3\right)^2+16 \).

وفيتاغور في المثلث \( ACH \) القائم في \( H \): \( AC^2=AH^2+CH^2=\left(x+3\right)^2+1 \).

والمثلث \( ABC \) قائم في \( A \)، إذن \( AB^2+AC^2=BC^2 \).

فنعوّض: \( 2\left(x+3\right)^2+17=25 \)، ومنه \( 2\left(x+3\right)^2=8 \) أي \( \left(x+3\right)^2=4 \).

إذن \( x+3=2 \) أو \( x+3=-2 \)، أي \( x=-1 \) أو \( x=-5 \).

والشرط \( x>-3 \) يرفض \( -5 \)؛ ولو قبلناه لكان \( AH=-2 \) وهو بعد سالب، وهذا مستحيل.

الجواب الصحيح: \( -1 \)

4) ليكن \( x \) عددا حقيقيا مخالفا للصفر حيث \( -\dfrac{1}{3}\le x\le\dfrac{1}{3} \). إذن: \( \dfrac{1}{x}\in\left]0;3\right] \) — \( \dfrac{1}{x}\in\left]-\infty;-3\right]\cup\left[3;+\infty\right[ \) — \( \dfrac{1}{x}\in\left[-3;3\right] \)

القاعدة: المقلوب يقلب الترتيب بين عددين لهما نفس الإشارة. وكلّما صغرت القيمة المطلقة كبر مقلوبها.

الشرط يعني \( |x|\le\dfrac{1}{3} \) مع \( x\neq 0 \).

نأخذ المقلوب: \( \left|\dfrac{1}{x}\right|\ge 3 \).

ومعناه \( \dfrac{1}{x}\ge 3 \) أو \( \dfrac{1}{x}\le -3 \).

الإجابة الأولى تنسى الأعداد السالبة، والثالثة معكوسة تماما: المقلوب يبتعد عن الصفر ولا يقترب منه.

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty;-3\right]\cup\left[3;+\infty\right[ \)

ماذا يعني النجم في \( \mathbb{R}^{*}_{+} \)؟

اجمع حدود \( x \) ثمّ اضرب في المرافق.

استعمل فيتاغور ثلاث مرّات: في \( ABH \) ثمّ \( ACH \) ثمّ \( ABC \).

إذا كانت \( |x| \) صغيرة، فهل \( \left|\dfrac{1}{x}\right| \) صغيرة أم كبيرة؟

تمرين عدد 2

لتكن العبارتان \( A=\left(2x+1\right)^2-\left(x-2\right)^2 \) و \( B=\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)-4x^2+1 \) حيث \( x \) عدد حقيقي.

الإصلاح

1)أ) بيّن أنّ \( A=3x^2+8x-3 \)

القاعدة: المتطابقتان \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \) و \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \). وانتبه: عند طرح قوس تتغيّر إشارات كلّ حدوده.

ننشر المربّع الأوّل: \( \left(2x+1\right)^2=4x^2+4x+1 \).

وننشر الثاني: \( \left(x-2\right)^2=x^2-4x+4 \).

ونطرح مع تغيير الإشارات: \( A=4x^2+4x+1-x^2+4x-4 \).

ونجمع الأمثال: \( A=3x^2+8x-3 \).

الجواب الصحيح: \( 3x^2+8x-3 \)

1)ب) احسب \( A \) إذا علمت أنّ \( x=2-\sqrt{3} \)

القاعدة: الحساب بالشكل المفكّك أقصر وأأمن من الحساب بالشكل المنشور.

نستعمل التفكيك الذي سنجده في السؤال 3)أ: \( A=\left(x+3\right)\left(3x-1\right) \).

نحسب القوس الأوّل: \( x+3=2-\sqrt{3}+3=5-\sqrt{3} \).

ونحسب الثاني: \( 3x-1=3\left(2-\sqrt{3}\right)-1=6-3\sqrt{3}-1=5-3\sqrt{3} \).

ونضرب: \( A=\left(5-\sqrt{3}\right)\left(5-3\sqrt{3}\right)=25-15\sqrt{3}-5\sqrt{3}+3\times 3 \).

ونجمع: \( A=25+9-20\sqrt{3}=34-20\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( 34-20\sqrt{3} \)

2) فكّك إلى جداء عوامل \( 4x^2-1 \) ثمّ استنتج أنّ \( B=\left(2x+1\right)\left(x+3\right) \)

القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \)، ثمّ الإخراج بالعامل المشترك.

نكتب \( 4x^2-1=\left(2x\right)^2-1^2 \).

وهو فرق مربّعين: \( 4x^2-1=\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) \).

ونلاحظ أنّ \( -4x^2+1=-\left(4x^2-1\right) \)، إذن \( B=\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) \).

العامل المشترك هو \( \left(2x+1\right) \): \( B=\left(2x+1\right)\left[\left(3x+2\right)-\left(2x-1\right)\right] \).

ونبسّط داخل القوس: \( 3x+2-2x+1=x+3 \).

الجواب الصحيح: \( \left(2x+1\right)\left(x+3\right) \)

3)أ) فكّك \( A \) إلى جداء عوامل

القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) مع \( a=2x+1 \) و \( b=x-2 \).

العبارة \( A \) مكتوبة أصلا كفرق مربّعين: \( A=\left(2x+1\right)^2-\left(x-2\right)^2 \).

نطبّق المتطابقة: \( A=\left[\left(2x+1\right)-\left(x-2\right)\right]\left[\left(2x+1\right)+\left(x-2\right)\right] \).

نبسّط القوس الأوّل: \( 2x+1-x+2=x+3 \).

ونبسّط الثاني: \( 2x+1+x-2=3x-1 \).

الجواب الصحيح: \( \left(x+3\right)\left(3x-1\right) \)

3)ب) استنتج أنّ \( A-B=\left(x+3\right)\left(x-2\right) \)

القاعدة: عندما يشترك تفكيكان في عامل واحد، نخرجه ولا ننشر أبدا.

نستعمل الشكلين المفكّكين: \( A-B=\left(x+3\right)\left(3x-1\right)-\left(2x+1\right)\left(x+3\right) \).

العامل المشترك هو \( \left(x+3\right) \): \( A-B=\left(x+3\right)\left[\left(3x-1\right)-\left(2x+1\right)\right] \).

ونبسّط داخل القوس: \( 3x-1-2x-1=x-2 \).

الجواب الصحيح: \( \left(x+3\right)\left(x-2\right) \)

4) أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) حيث \( A=B \)

القاعدة: \( A=B \) تكافئ \( A-B=0 \)، وجداء منعدم يعني أنّ أحد عوامله منعدم.

نكتب الشرط في شكل فرق: \( A-B=0 \).

ونعوّض بالتفكيك: \( \left(x+3\right)\left(x-2\right)=0 \).

إذن \( x+3=0 \) أو \( x-2=0 \).

ومنه \( x=-3 \) أو \( x=2 \).

الجواب الصحيح: \( \left\{-3\,;\,2\right\} \)

انشر المربّعين ثمّ انتبه لإشارات القوس المطروح.

لا تنشر: استعمل التفكيك \( \left(x+3\right)\left(3x-1\right) \).

\( -4x^2+1 \) هو عكس \( 4x^2-1 \).

\( A \) مكتوبة أصلا كفرق مربّعين.

ما هو العامل المشترك بين تفكيك \( A \) وتفكيك \( B \)؟

انقل كلّ شيء إلى طرف واحد.

تمرين عدد 3

ليكن العدد الحقيقي \( x \) بحيث \( -4\le -3x+2\le 8 \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( x\in\left[-2\,;\,2\right] \)

القاعدة: نجري نفس العملية على الأطراف الثلاثة، والقسمة على عدد سالب تقلب اتجاه الحصر.

نطرح 2 من الأطراف الثلاثة: \( -6\le -3x\le 6 \).

نقسم على \( -3 \) وهو سالب، فينقلب الاتجاه: \( 2\ge x\ge -2 \).

ونعيد الكتابة بالترتيب المألوف: \( -2\le x\le 2 \).

الجواب الصحيح: \( \left[-2\,;\,2\right] \)

2)أ) أوجد حصرا للعدد \( 4-x \)

القاعدة: ضرب حصر في عدد سالب يقلب اتجاهه، وإضافة عدد لا تغيّر الاتجاه.

ننطلق من \( -2\le x\le 2 \).

نضرب في \( -1 \) فينقلب الاتجاه: \( -2\le -x\le 2 \).

ونضيف 4 إلى الأطراف الثلاثة: \( 2\le 4-x\le 6 \).

الجواب الصحيح: \( \left[2\,;\,6\right] \)

2)ب) أوجد حصرا للعدد \( 2x-5 \)

القاعدة: الضرب في عدد موجب يحافظ على اتجاه الحصر.

ننطلق من \( -2\le x\le 2 \).

نضرب في 2 وهو موجب: \( -4\le 2x\le 4 \).

ونطرح 5 من الأطراف الثلاثة: \( -9\le 2x-5\le -1 \).

الجواب الصحيح: \( \left[-9\,;\,-1\right] \)

3)أ) فكّك إلى جداء عوامل العبارة \( E=16-x^2+\left(x-9\right)\left(4-x\right) \)

القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) ثمّ الإخراج بالعامل المشترك.

نفكّك الجزء الأوّل: \( 16-x^2=4^2-x^2=\left(4-x\right)\left(4+x\right) \).

فتصبح \( E=\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(x-9\right)\left(4-x\right) \).

العامل المشترك هو \( \left(4-x\right) \): \( E=\left(4-x\right)\left[\left(4+x\right)+\left(x-9\right)\right] \).

ونبسّط داخل القوس: \( 4+x+x-9=2x-5 \).

الجواب الصحيح: \( \left(4-x\right)\left(2x-5\right) \)

4) استنتج حصرا للعبارة \( E \)

القاعدة: لحصر جداء نحسب جداءات الأطراف الأربعة ونأخذ أصغرها وأكبرها.

الآن نفهم لماذا طُلب الحصران في السؤال 2: \( E=\left(4-x\right)\left(2x-5\right) \) هو جداء العددين المحصورين.

لدينا \( 2\le 4-x\le 6 \) و \( -9\le 2x-5\le -1 \).

نحسب جداءات الأطراف: \( 2\times(-9)=-18 \) و \( 2\times(-1)=-2 \) و \( 6\times(-9)=-54 \) و \( 6\times(-1)=-6 \).

أصغرها \( -54 \) وأكبرها \( -2 \).

الجواب الصحيح: \( -54\le E\le -2 \)

اطرح 2 ثمّ اقسم على \( -3 \): لا تنس قلب الاتجاه.

اضرب في \( -1 \) أوّلا ثمّ أضف 4.

اضرب في 2 ثمّ اطرح 5.

\( 16-x^2 \) فرق مربّعين: ما هو العامل المشترك بعد تفكيكه؟

استعمل الحصرين اللذين وجدتهما في السؤال 2.

تمرين عدد 4

وحدة قيس الطول هي الصنتمتر. \( \mathcal{C} \) دائرة مركزها \( O \) و \( \left[AB\right] \) قطر لها حيث \( AB=6 \)، و \( C \) نقطة من الدائرة حيث \( AC=4 \).

الإصلاح

1)أ) احسب \( BC \)

القاعدة: إذا كان المتوسّط الصادر من رأس يساوي نصف الضلع المقابل فالمثلث قائم في ذلك الرأس. ثمّ مبرهنة فيتاغور.

النقاط \( A \) و \( B \) و \( C \) على الدائرة، إذن \( OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}=3 \).

والقطعة \( \left[CO\right] \) متوسّط في المثلث \( ABC \) صادر من \( C \)، وطوله \( 3=\dfrac{AB}{2} \).

إذن المثلث \( ABC \) قائم في \( C \).

وبفيتاغور: \( BC^2=AB^2-AC^2=36-16=20 \).

ومنه \( BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \).

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{5} \)

1)ب) ليكن \( I \) المسقط العمودي لـ \( O \) على \( \left(AC\right) \). بيّن أنّ \( I \) منتصف \( \left[AC\right] \)

القاعدة: في مثلث متساوي الساقين، الارتفاع الصادر من الرأس الرئيسي هو أيضا متوسّط.

لدينا \( OA=OC=3 \) لأنّهما شعاعان، إذن المثلث \( OAC \) متساوي الساقين رأسه \( O \).

والقطعة \( \left[OI\right] \) هي الارتفاع الصادر من \( O \) لأنّ \( \left(OI\right)\perp\left(AC\right) \).

وفي مثلث متساوي الساقين، هذا الارتفاع هو أيضا المتوسّط الصادر من \( O \).

إذن \( I \) منتصف \( \left[AC\right] \)، ومنه \( AI=\dfrac{AC}{2}=2 \).

الجواب الصحيح: \( 2 \)

2)أ) المستقيم الموازي لـ \( \left(OC\right) \) المارّ من \( A \) يقطع \( \left(OI\right) \) في \( M \). بيّن أنّ الرباعي \( OCMA \) معيّن

القاعدة: رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية هو متوازي أضلاع؛ وإذا كان له ضلعان متتاليان متقايسان فهو معيّن.

بالإنشاء \( \left(AM\right)\parallel\left(OC\right) \).

ولدينا \( \left(OI\right)\perp\left(AC\right) \) و \( I \) منتصف \( \left[AC\right] \): إذن \( \left(OM\right) \) هو الموسّط العمودي لـ \( \left[AC\right] \).

فكلّ نقطة منه على نفس البعد من \( A \) و \( C \)، وخاصّة \( M \): \( MA=MC \).

وكذلك \( OA=OC=3 \).

فالرباعي \( OCMA \) قطراه \( \left[OM\right] \) و \( \left[AC\right] \) متعامدان، والأوّل موسّط عمودي للثاني: فهو يقطعه في منتصفه.

ورباعي قطراه متعامدان ويتقاطعان في منتصف أحدهما على الأقلّ، مع \( MA=MC \) و \( OA=OC \)، هو معيّن: أضلاعه الأربعة متقايسة.

الجواب الصحيح: الرباعي \( OCMA \) معيّن

2)ب) المستقيمان \( \left(BC\right) \) و \( \left(AM\right) \) يتقاطعان في \( S \). احسب \( BS \)

القاعدة: مبرهنة المنتصفين — المستقيم المارّ من منتصف ضلع والموازي لضلع ثان يقطع الضلع الثالث في منتصفه.

في المثلث \( ABS \): النقطة \( O \) منتصف \( \left[AB\right] \) لأنّ \( \left[AB\right] \) قطر.

والمستقيم \( \left(OC\right) \) يوازي \( \left(AS\right) \) لأنّ \( \left(AM\right)\parallel\left(OC\right) \) و \( S \) على \( \left(AM\right) \).

إذن \( \left(OC\right) \) يمرّ من منتصف \( \left[AB\right] \) ويوازي \( \left[AS\right] \): فهو يقطع \( \left[BS\right] \) في منتصفه، أي \( C \) منتصف \( \left[BS\right] \).

ومنه \( BS=2\times BC=2\times 2\sqrt{5}=4\sqrt{5} \).

الجواب الصحيح: \( 4\sqrt{5} \)

2)ج) ليكن \( L \) المسقط العمودي لـ \( S \) على \( \left(AB\right) \). بيّن أنّ \( BA\times SL=AC\times BS \)

القاعدة: مساحة مثلث هي نصف جداء قاعدة في الارتفاع الموافق لها. ونفس المساحة محسوبة بقاعدتين مختلفتين تعطي مساواة.

نحسب مساحة المثلث \( ABS \) بالقاعدة \( \left[AB\right] \): الارتفاع الموافق هو \( SL \) لأنّ \( \left(SL\right)\perp\left(AB\right) \)، فالمساحة \( \dfrac{BA\times SL}{2} \).

ونحسبها بالقاعدة \( \left[BS\right] \): المثلث \( ABC \) قائم في \( C \)، إذن \( \left(AC\right)\perp\left(BC\right) \).

وبما أنّ \( S \) على \( \left(BC\right) \) فإنّ \( \left(AC\right)\perp\left(BS\right) \): فالارتفاع الصادر من \( A \) هو \( AC \)، والمساحة \( \dfrac{BS\times AC}{2} \).

المساحة واحدة، إذن \( \dfrac{BA\times SL}{2}=\dfrac{BS\times AC}{2} \).

ونضرب الطرفين في 2: \( BA\times SL=AC\times BS \).

الجواب الصحيح: \( BA\times SL=AC\times BS \)

ماذا يمثّل \( \left[CO\right] \) في المثلث \( ABC \)؟ وما طوله مقارنة بـ \( AB \)؟

ما نوع المثلث \( OAC \)؟ وماذا يمثّل \( \left[OI\right] \) فيه؟

أثبت أنّ \( \left(OM\right) \) موسّط عمودي لـ \( \left[AC\right] \).

في المثلث \( ABS \): ما هو منتصف \( \left[AB\right] \)؟ وما الذي يوازي \( \left(AS\right) \)؟

احسب مساحة المثلث \( ABS \) بقاعدتين مختلفتين.

تمرين عدد 5

\( \left[BC\right] \) قطعة مستقيم منتصفها \( O \) وقيس طولها 6 صم، و \( \mathcal{C} \) الدائرة التي قطرها \( \left[BC\right] \). \( A \) نقطة من \( \mathcal{C} \) حيث \( BA=BO \). المماس للدائرة \( \mathcal{C} \) في \( B \) يقطع \( \left(OA\right) \) في \( E \). و \( D \) مناظرة \( A \) بالنسبة إلى \( O \).

الإصلاح

1)ب) بيّن أنّ المثلث \( OAB \) متقايس الأضلاع

القاعدة: مثلث أضلاعه الثلاثة متقايسة هو متقايس الأضلاع. وكلّ نقطة من الدائرة تبعد عن المركز بالشعاع.

الشعاع هو \( \dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \).

النقطة \( A \) على الدائرة إذن \( OA=3 \)، والنقطة \( B \) طرف القطر إذن \( OB=3 \).

والشرط يعطي \( BA=BO=3 \).

إذن \( OA=OB=BA=3 \): المثلث متقايس الأضلاع.

الجواب الصحيح: \( 3 \)

2)أ) بيّن أنّ المثلث \( ABE \) متقايس الضلعين

القاعدة: المماس للدائرة في نقطة عمودي على الشعاع في تلك النقطة. ومثلث له زاويتان متقايستان هو متساوي الساقين.

المماس في \( B \) عمودي على \( \left[OB\right] \)، إذن المثلث \( OBE \) قائم في \( B \).

والمثلث \( OAB \) متقايس الأضلاع، إذن قيس الزاوية \( \widehat{AOB} \) هو \( 60^\circ \) وقيس \( \widehat{OAB} \) هو \( 60^\circ \).

في المثلث \( OBE \) القائم في \( B \): \( \widehat{OEB}=90^\circ-60^\circ=30^\circ \).

والنقطة \( A \) على \( \left[OE\right] \)، فالزاوية \( \widehat{BAE} \) مكمّلة لـ \( \widehat{OAB} \): \( \widehat{BAE}=180^\circ-60^\circ=120^\circ \).

وقيس \( \widehat{ABE}=\widehat{OBE}-\widehat{OBA}=90^\circ-60^\circ=30^\circ \).

فالزاويتان \( \widehat{ABE} \) و \( \widehat{AEB} \) متقايستان، ومنه \( AB=AE \).

الجواب الصحيح: \( AB=AE \)

2)ب) استنتج أنّ \( A \) منتصف \( \left[OE\right] \)

القاعدة: نقطة من قطعة تكون منتصفها إذا كانت على نفس البعد من طرفيها.

من السؤال السابق \( AE=AB=3 \).

ولدينا \( OA=3 \) لأنّه شعاع.

إذن \( OA=AE=3 \)، والنقطة \( A \) على القطعة \( \left[OE\right] \).

ومنه \( A \) منتصف \( \left[OE\right] \)، و \( OE=6 \).

الجواب الصحيح: \( 6 \)

2)ج) بيّن أنّ \( EB=3\sqrt{3} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم.

المثلث \( OBE \) قائم في \( B \) ووتره \( \left[OE\right] \).

بفيتاغور: \( EB^2=OE^2-OB^2 \).

نعوّض: \( EB^2=6^2-3^2=36-9=27 \).

ومنه \( EB=\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( 3\sqrt{3} \)

3)أ) الموسّط العمودي لـ \( \left[BC\right] \) يقطع \( \left(BD\right) \) في \( I \). احسب \( OI \)

القاعدة: قاعدة طاليس — إذا كان مستقيمان متوازيان قطعا مثلثا فالأبعاد متناسبة. وارتفاع مثلث متقايس الأضلاع ضلعه \( a \) هو \( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \).

ملاحظة على نصّ التمرين: كُتب أنّ الموسّط العمودي لـ \( \left[BC\right] \) يقطع \( \left(BC\right) \) في \( J \). لكنّ الموسّط العمودي لقطعة يقطعها في منتصفها، فتكون \( J=O \) ويصير الرباعي \( CIBJ \) مسطّحا. الصواب أنّه يقطع \( \left(AC\right) \) في \( J \)، وعندئذ يستقيم كلّ شيء: \( I \) و \( J \) متناظرتان بالنسبة إلى \( O \) لأنّ التناظر المركزي الذي مركزه \( O \) يحوّل \( A \) إلى \( D \) و \( C \) إلى \( B \)، فيحوّل \( \left(AC\right) \) إلى \( \left(DB\right) \). أصلحنا على هذا الأساس.

ليكن \( K \) المسقط العمودي لـ \( D \) على \( \left(BC\right) \).

التناظر المركزي الذي مركزه \( O \) يحوّل \( A \) إلى \( D \) ويحفظ الأبعاد، فبعد \( D \) عن \( \left(BC\right) \) يساوي بعد \( A \) عنه.

وبعد \( A \) عن \( \left(BC\right) \) هو ارتفاع المثلث المتقايس الأضلاع \( OAB \) ضلعه 3: \( DK=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

وكذلك \( BK=BO+OK=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2} \) لأنّ \( K \) مناظر مسقط \( A \) بالنسبة إلى \( O \).

المستقيمان \( \left(OI\right) \) و \( \left(KD\right) \) عموديان كلاهما على \( \left(BC\right) \)، إذن \( \left(OI\right)\parallel\left(KD\right) \).

وبقاعدة طاليس في المثلث \( BKD \): \( \dfrac{OI}{KD}=\dfrac{BO}{BK} \).

نعوّض: \( \dfrac{BO}{BK}=\dfrac{3}{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{2}{3} \)، ومنه \( OI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{2}{3}=\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( \sqrt{3} \)

3)ب) بيّن أنّ الرباعي \( CIBJ \) معيّن ثمّ احسب مساحته

القاعدة: رباعي قطراه متعامدان ويتقاطعان في منتصف كلّ منهما هو معيّن. ومساحة المعيّن هي نصف جداء قطريه.

التناظر المركزي الذي مركزه \( O \) يحوّل \( \left(AC\right) \) إلى \( \left(DB\right) \) ويحفظ الموسّط العمودي لـ \( \left[BC\right] \) لأنّه يمرّ من \( O \).

إذن يحوّل \( J \) إلى \( I \): فـ \( O \) منتصف \( \left[IJ\right] \)، ومنه \( OJ=OI=\sqrt{3} \) و \( IJ=2\sqrt{3} \).

ولدينا \( O \) منتصف \( \left[BC\right] \) بالتعريف.

فقطرا الرباعي \( CIBJ \) هما \( \left[CB\right] \) و \( \left[IJ\right] \)، ولهما نفس المنتصف \( O \).

وهما متعامدان لأنّ \( \left(IJ\right) \) هو الموسّط العمودي لـ \( \left[BC\right] \).

إذن الرباعي معيّن.

ونحسب المساحة بنصف جداء القطرين: \( \dfrac{BC\times IJ}{2}=\dfrac{6\times 2\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( 6\sqrt{3} \)

احسب الشعاع أوّلا: ما هو \( OA \)؟ وما هو \( OB \)؟

المماس عمودي على الشعاع: ما نوع المثلث \( OBE \)؟

قارن \( AE \) بـ \( OA \).

فيتاغور في المثلث \( OBE \).

أنزل العمودي من \( D \) على \( \left(BC\right) \) واستعمل طاليس.

ما هي صورة \( J \) بالتناظر المركزي الذي مركزه \( O \)؟