إعداد الأستاذ:
فوزي الغربي		 فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي
مثال رقم 10		 المدرسة الإعدادية النموذجية
ضفاف البحيرة
تمرين عدد 1
اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات الثلاثة المقترحة.
الإصلاح
1) نعتبر \( S \) مجموعة حلول المتراجحة \( -\sqrt{2}\,x+1<3 \) في \( \mathbb{R} \). فإنّ: \( S\subset\left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[ \) — \( \left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[\not\subset S \) — \( \left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[\subset S \)
القاعدة: القسمة على عدد سالب تقلب اتجاه المتفاوتة.

نطرح 1 من الطرفين: \( -\sqrt{2}\,x<2 \).

نقسم على \( -\sqrt{2} \) وهو سالب، فتنقلب المتفاوتة: \( x>\dfrac{2}{-\sqrt{2}} \).

ونبسّط: \( \dfrac{2}{-\sqrt{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2} \).

إذن \( S=\left]-\sqrt{2}\,;\,+\infty\right[ \).

كلّ عدد من \( \left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[ \) أكبر من \( -\sqrt{2} \)، فهو ينتمي إلى \( S \): إذن \( \left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[\subset S \).

أمّا \( S\subset\left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[ \) فخاطئة: العدد 100 في \( S \) وليس في المجال.

الجواب الصحيح: \( \left]-\sqrt{2}\,;\,1\right[\subset S \)

2) إذا كان \( x \) عددا حقيقيا بحيث \( x\in\left[-1\,;\,\sqrt{2}\right] \) فإنّ: \( |x-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-x \) — \( |x-\sqrt{2}|=0 \) — \( |x-\sqrt{2}|=x-\sqrt{2} \)
القاعدة: إذا كان \( a\le 0 \) فإنّ \( |a|=-a \)، وإذا كان \( a\ge 0 \) فإنّ \( |a|=a \).

بما أنّ \( x\le\sqrt{2} \) فإنّ \( x-\sqrt{2}\le 0 \).

ومنه \( |x-\sqrt{2}|=-(x-\sqrt{2}) \).

وننشر: \( -(x-\sqrt{2})=\sqrt{2}-x \).

الإجابة \( |x-\sqrt{2}|=0 \) خاطئة: هي صحيحة فقط عندما \( x=\sqrt{2} \)، لا على المجال كلّه.

الجواب الصحيح: \( \sqrt{2}-x \)

3) إذا كان \( x \) عددا حقيقيا سالبا بحيث \( \left(|x|-2\right)\left(-3-|x|\right)\le 0 \) فإنّ: \( x\in\left[-2\,;\,0\right] \) — \( x\in\left]-\infty\,;\,-2\right] \) — \( x\in\left]-\infty\,;\,-2\right]\cup\left[2\,;\,+\infty\right[ \)
القاعدة: جداء عاملين سالب أو منعدم يعني أنّ العاملين مختلفا الإشارة أو أحدهما منعدم. وإذا عرفنا إشارة أحدهما استنتجنا إشارة الآخر.

لكلّ عدد حقيقي \( x \) لدينا \( |x|\ge 0 \)، إذن \( -3-|x|\le -3 \).

فالعامل \( -3-|x| \) سالب تماما، مهما كان \( x \): لا ينعدم أبدا.

وحتّى يكون الجداء سالبا أو منعدما يجب أن يكون العامل الآخر موجبا أو منعدما: \( |x|-2\ge 0 \).

أي \( |x|\ge 2 \)، ومعناه \( x\ge 2 \) أو \( x\le -2 \).

لكنّ الشرط يقول إنّ \( x \) سالب، فنحتفظ فقط بـ \( x\le -2 \).

الإجابة الثالثة تنسى هذا الشرط، فتضيف \( \left[2\,;\,+\infty\right[ \) وهي أعداد موجبة.

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,-2\right] \)

4) مجموعة حلول المتراجحة \( \dfrac{3x}{\sqrt{7}-3}<3+\sqrt{7} \) في \( \mathbb{R} \) هي: \( \left]-\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty\right[ \) — \( \left]-\infty\,;\,-\dfrac{2}{3}\right[ \) — \( \left[-\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty\right[ \)
القاعدة: الضرب في عدد سالب يقلب اتجاه المتفاوتة. ونستعمل المتطابقة \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \).

نقارن \( \sqrt{7} \) بـ 3: \( \left(\sqrt{7}\right)^2=7 \) و \( 3^2=9 \)، وبما أنّ \( 7<9 \) والعددان موجبان فإنّ \( \sqrt{7}<3 \).

إذن \( \sqrt{7}-3<0 \).

نضرب الطرفين في \( \sqrt{7}-3 \) وهو سالب، فتنقلب المتفاوتة: \( 3x>\left(3+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-3\right) \).

ونحسب الطرف الأيمن بفرق مربّعين: \( \left(\sqrt{7}+3\right)\left(\sqrt{7}-3\right)=7-9=-2 \).

فتصبح المتراجحة \( 3x>-2 \)، ومنه \( x>-\dfrac{2}{3} \).

والعدد \( -\dfrac{2}{3} \) ليس حلاّ لأنّ المتفاوتة تامّة: فالمجال مفتوح.

الجواب الصحيح: \( \left]-\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty\right[ \)

اعزل \( x \) ولا تنس أنّ القسمة على \( -\sqrt{2} \) تقلب المتفاوتة، ثمّ اسأل: أيّ مجموعة محتواة في الأخرى؟
ما هي إشارة \( x-\sqrt{2} \) على المجال \( \left[-1\,;\,\sqrt{2}\right] \)؟
ابحث أوّلا عن إشارة العامل \( -3-|x| \): هل يمكن أن تتغيّر؟
ما هي إشارة \( \sqrt{7}-3 \)؟ ثمّ استعمل فرق مربّعين.
تمرين عدد 2
نعتبر العبارتين \( A=\left(4x-3\right)^2 \) و \( B=9-24x-9x^2 \).
الإصلاح
ملاحظة على نصّ التمرين: كُتب في الورقة \( B=9-12x-9x^2 \)، والصواب \( 9-24x-9x^2 \). وثلاثة أدلّة تؤكّد ذلك: السؤال 1)أ لا يصحّ إلاّ بـ \( -24x \)، والتفكيك المطلوب في 1)ب يعطي بالنشر \( 9-24x-9x^2 \)، والمعادلة في 2)ب لا تُحلّ في التاسعة إلاّ إذا كان لـ \( B \) العامل \( (x+3) \). أصلحنا على أساس \( -24x \).
1)أ) بيّن أنّ \( B+25x^2=A \)
القاعدة: المتطابقة \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \).

نجمع: \( B+25x^2=9-24x-9x^2+25x^2=16x^2-24x+9 \).

وننشر \( A \): \( A=\left(4x-3\right)^2=(4x)^2-2\times 4x\times 3+3^2=16x^2-24x+9 \).

العبارتان متساويتان، إذن \( B+25x^2=A \).

الجواب الصحيح: \( 16x^2-24x+9 \)

1)ب) استنتج أنّ \( B=-3\left(x+3\right)\left(3x-1\right) \)
القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \).

من السؤال السابق: \( B=A-25x^2=\left(4x-3\right)^2-\left(5x\right)^2 \).

هذا فرق مربّعين مع \( a=4x-3 \) و \( b=5x \): \( B=\left(4x-3-5x\right)\left(4x-3+5x\right) \).

نبسّط كلّ قوس: \( B=\left(-x-3\right)\left(9x-3\right) \).

نخرج \( -1 \) من القوس الأوّل و 3 من الثاني: \( B=-\left(x+3\right)\times 3\left(3x-1\right)=-3\left(x+3\right)\left(3x-1\right) \).

الجواب الصحيح: \( -3\left(x+3\right)\left(3x-1\right) \)

2)أ) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( B=0 \)
القاعدة: جداء منعدم يعني أنّ أحد عوامله منعدم على الأقلّ.

نستعمل الشكل المفكّك: \( -3\left(x+3\right)\left(3x-1\right)=0 \).

العامل \( -3 \) لا ينعدم، إذن \( x+3=0 \) أو \( 3x-1=0 \).

الحالة الأولى: \( x=-3 \).

الحالة الثانية: \( 3x=1 \) ومنه \( x=\dfrac{1}{3} \).

الجواب الصحيح: \( \left\{-3\,;\,\dfrac{1}{3}\right\} \)

2)ب) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( B=x^2+3x \)
القاعدة: ننقل كلّ شيء إلى طرف واحد ثمّ نفكّك بالعامل المشترك، ولا ننشر أبدا قبل أن نبحث عنه.

الطرف الأيمن يُفكّك: \( x^2+3x=x\left(x+3\right) \).

ننقل: \( -3\left(x+3\right)\left(3x-1\right)-x\left(x+3\right)=0 \).

العامل المشترك هو \( \left(x+3\right) \): \( \left(x+3\right)\left[-3\left(3x-1\right)-x\right]=0 \).

نبسّط داخل القوس: \( -3\left(3x-1\right)-x=-9x+3-x=-10x+3 \).

فتصبح المعادلة \( \left(x+3\right)\left(-10x+3\right)=0 \).

ومنه \( x=-3 \) أو \( -10x+3=0 \) أي \( x=\dfrac{3}{10} \).

الجواب الصحيح: \( \left\{-3\,;\,\dfrac{3}{10}\right\} \)

3)أ) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( \sqrt{A}>\dfrac{25}{9} \)
القاعدة: \( \sqrt{a^2}=|a| \) لكلّ عدد حقيقي \( a \). و \( |X|\gt k \) مع \( k \) موجب تعني \( X\gt k \) أو \( X\lt -k \).

بما أنّ \( A=\left(4x-3\right)^2 \) فإنّ \( \sqrt{A}=|4x-3| \).

فالمتراجحة تصبح \( |4x-3|>\dfrac{25}{9} \).

الحالة الأولى: \( 4x-3>\dfrac{25}{9} \)، أي \( 4x>\dfrac{27}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{52}{9} \)، ومنه \( x>\dfrac{13}{9} \).

الحالة الثانية: \( 4x-3<-\dfrac{25}{9} \)، أي \( 4x<\dfrac{27}{9}-\dfrac{25}{9}=\dfrac{2}{9} \)، ومنه \( x<\dfrac{1}{18} \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,\dfrac{1}{18}\right[\cup\left]\dfrac{13}{9}\,;\,+\infty\right[ \)

3)ب) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( B<x\left(x+3\right) \)
القاعدة: ندرس إشارة جداء بجدول إشارات، بعد نقل كلّ شيء إلى طرف واحد.

ننقل كما في السؤال 2)ب فنحصل على نفس الجداء: \( \left(x+3\right)\left(-10x+3\right)<0 \).

العامل \( x+3 \) ينعدم في \( -3 \) وهو موجب بعده.

العامل \( -10x+3 \) ينعدم في \( \dfrac{3}{10} \) وهو سالب بعده لأنّ معامل \( x \) سالب.

الجداء موجب بين الجذرين وسالب خارجهما.

ونبحث عن الجداء السالب تماما، فنأخذ ما هو خارج \( \left[-3\,;\,\dfrac{3}{10}\right] \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,-3\right[\cup\left]\dfrac{3}{10}\,;\,+\infty\right[ \)

اجمع \( 25x^2 \) إلى \( B \) ثمّ انشر \( \left(4x-3\right)^2 \) وقارن.
اكتب \( B=A-25x^2 \): هل ترى فرق مربّعين؟
استعمل الشكل المفكّك، ولا تنشر.
فكّك الطرف الأيمن أيضا: ما هو العامل المشترك؟
\( \sqrt{A} \) ليست \( 4x-3 \) بل قيمتها المطلقة.
إنّه نفس الجداء الذي وجدته في 2)ب، لكن بمتفاوتة بدل معادلة.
تمرين عدد 3
نعتبر المجالات \( I=\left]-4\,;\,\sqrt{2}\right[ \) و \( J=\left]-\infty\,;\,-\dfrac{11}{4}\right[ \) و \( K=\left]-2\,;\,\dfrac{13}{2}\right[ \).
-4 -11/4 -2 0 √2 13/2 I J K
الإصلاح
1) مثّل على مستقيم مدرّج المجالات \( I \) و \( J \) و \( K \)
القاعدة: القوس المفتوح يعني أنّ الطرف غير محتوى، ونرسمه بدائرة فارغة.

نرتّب الأطراف على المستقيم: \( -4 \) ثمّ \( -\dfrac{11}{4}=-2{,}75 \) ثمّ \( -2 \) ثمّ \( \sqrt{2}\approx 1{,}41 \) ثمّ \( \dfrac{13}{2}=6{,}5 \).

المجال \( I \) يمتدّ من \( -4 \) إلى \( \sqrt{2} \)، والطرفان مستثنيان.

المجال \( J \) يمتدّ إلى ما لا نهاية جهة اليسار ويتوقّف قبل \( -\dfrac{11}{4} \).

المجال \( K \) يمتدّ من \( -2 \) إلى \( \dfrac{13}{2} \)، والطرفان مستثنيان.

الجواب الصحيح: انظر الرسم أعلاه

2) حدّد المجموعة \( I\cap K \)
القاعدة: تقاطع مجالين هو ما بين أكبر الطرفين الأيسرين وأصغر الطرفين الأيمنين.

الطرفان الأيسران هما \( -4 \) و \( -2 \)، وأكبرهما \( -2 \).

الطرفان الأيمنان هما \( \sqrt{2} \) و \( \dfrac{13}{2} \)، وأصغرهما \( \sqrt{2} \) لأنّ \( \sqrt{2}\approx 1{,}41<6{,}5 \).

والطرفان مستثنيان في المجالين معا.

الجواب الصحيح: \( \left]-2\,;\,\sqrt{2}\right[ \)

3) حدّد المجموعة \( I\cup J \)
القاعدة: اتّحاد مجالين يكون مجالا واحدا إذا تداخلا أو تلامسا؛ وإلاّ بقي مكتوبا باتّحاد.

نلاحظ أنّ \( -\dfrac{11}{4}=-2{,}75 \) ينتمي إلى \( I \) لأنّ \( -4<-2{,}75<\sqrt{2} \).

إذن المجالان متداخلان، واتّحادهما مجال واحد.

يبدأ من \( -\infty \) لأنّ \( J \) غير محدود من اليسار، وينتهي عند أكبر الطرفين الأيمنين وهو \( \sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,\sqrt{2}\right[ \)

4) حدّد المجموعة \( J\cup K \)
القاعدة: إذا كان بين المجالين فراغ فإنّ الاتّحاد ليس مجالا، ويُكتب باتّحاد مجالين.

ينتهي \( J \) قبل \( -\dfrac{11}{4}=-2{,}75 \)، ويبدأ \( K \) بعد \( -2 \).

فالأعداد بين \( -2{,}75 \) و \( -2 \)، مثل \( -2{,}5 \)، لا تنتمي لا إلى \( J \) ولا إلى \( K \).

إذن الاتّحاد ليس مجالا واحدا، ونتركه مكتوبا باتّحاد.

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,-\dfrac{11}{4}\right[\cup\left]-2\,;\,\dfrac{13}{2}\right[ \)

5) إذا علمت أنّ \( x\in I \) بيّن أنّ \( |x^2-10|=10-x^2 \)
القاعدة: \( |a|=-a \) إذا كان \( a\le 0 \). فالمطلوب هو إثبات أنّ \( x^2-10\le 0 \)، أي \( x^2\le 10 \).
ملاحظة على نصّ التمرين: هذه المساواة ليست صحيحة على \( I \) كلّه. خذ \( x=-3{,}5 \) وهو في \( I \) لأنّ \( -4<-3{,}5<\sqrt{2} \): عندئذ \( x^2=12{,}25 \) و \( |x^2-10|=2{,}25 \) بينما \( 10-x^2=-2{,}25 \)، وقيمة مطلقة لا تكون سالبة أبدا. المساواة صحيحة على \( \left]-\sqrt{10}\,;\,\sqrt{10}\right[ \)، وخاصّة على \( I\cap K \) الذي وجدناه في السؤال 2.

نأخذ \( x\in I\cap K=\left]-2\,;\,\sqrt{2}\right[ \).

عندئذ \( -2<x<\sqrt{2} \)، ومنه \( |x|<2 \).

نربّع: \( x^2<4 \).

وبما أنّ \( 4<10 \) فإنّ \( x^2<10 \)، أي \( x^2-10<0 \).

ولمّا كان \( x^2-10 \) سالبا فإنّ \( |x^2-10|=-\left(x^2-10\right)=10-x^2 \).

الجواب الصحيح: \( 10-x^2 \)

رتّب الأطراف الخمسة على المستقيم قبل أن ترسم.
التقاطع: خذ أكبر بداية وأصغر نهاية.
هل \( -\dfrac{11}{4} \) داخل \( I \)؟ إن كان كذلك فالمجالان متداخلان.
هل يوجد عدد ليس في \( J \) ولا في \( K \)؟ جرّب \( -2{,}5 \).
لتنزع القيمة المطلقة عليك أوّلا بمعرفة إشارة \( x^2-10 \).
تمرين عدد 4
І — لتكن العبارة \( A=x^2-8x+12 \) حيث \( x \) عدد حقيقي. ІІ — في هذا الجزء \( x \) عدد حقيقي موجب قطعا. \( AMEF \) مربّع و \( MBC \) مثلث قائم في \( B \) حيث \( M \) نقطة من \( \left[AB\right] \) مخالفة للنقطتين \( A \) و \( B \)، و \( AB=6 \) و \( BM=2BC \) و \( BC=x \).
A M B C F E x 2x 6-2x
الإصلاح
І-1) أحسب القيمة العددية للعبارة \( A \) إذا كان \( x=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2} \)
القاعدة: المتطابقة \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)، ولحساب \( \left(\dfrac{u}{v}\right)^2 \) نربّع البسط والمقام.

نحسب المربّع: \( x^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)^2=\dfrac{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}{4} \).

وننشر البسط: \( \left(\sqrt{2}-1\right)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2} \).

إذن \( x^2=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{4} \).

ونحسب الحدّ الثاني: \( -8x=-8\times\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}=-4\left(\sqrt{2}-1\right)=-4\sqrt{2}+4 \).

فنجمع: \( A=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{4}-4\sqrt{2}+4+12=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{4}+16-4\sqrt{2} \).

نوحّد المقامات: \( 16-4\sqrt{2}=\dfrac{64-16\sqrt{2}}{4} \).

ومنه \( A=\dfrac{3-2\sqrt{2}+64-16\sqrt{2}}{4}=\dfrac{67-18\sqrt{2}}{4} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{67-18\sqrt{2}}{4} \)

І-2)أ) بيّن أنّ \( x^2-8x=\left(x-4\right)^2-16 \)
القاعدة: نُكمل المربّع بالمتطابقة \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \) ثمّ نصحّح بالطرح.

ننطلق من الطرف الأيمن وننشره: \( \left(x-4\right)^2=x^2-8x+16 \).

نطرح 16: \( \left(x-4\right)^2-16=x^2-8x+16-16=x^2-8x \).

وهو الطرف الأيسر، إذن المساواة صحيحة.

الجواب الصحيح: \( x^2-8x \)

І-2)ب) استنتج بالتفكيك أنّ \( A=\left(x-2\right)\left(x-6\right) \)
القاعدة: فرق مربّعين \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \).

نعوّض بما سبق: \( A=x^2-8x+12=\left(x-4\right)^2-16+12 \).

ونحسب: \( -16+12=-4 \)، إذن \( A=\left(x-4\right)^2-4 \).

ونكتب 4 مربّعا: \( A=\left(x-4\right)^2-2^2 \).

وهو فرق مربّعين: \( A=\left(x-4-2\right)\left(x-4+2\right)=\left(x-6\right)\left(x-2\right) \).

الجواب الصحيح: \( \left(x-2\right)\left(x-6\right) \)

І-3) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( x^2-8x+12=0 \)
القاعدة: جداء منعدم يعني أنّ أحد عوامله منعدم على الأقلّ.

نستعمل التفكيك: \( \left(x-2\right)\left(x-6\right)=0 \).

إذن \( x-2=0 \) أو \( x-6=0 \).

ومنه \( x=2 \) أو \( x=6 \).

الجواب الصحيح: \( \left\{2\,;\,6\right\} \)

ІІ-1) بيّن أنّ \( x\in\left]0\,;\,3\right[ \)
القاعدة: إذا كانت \( M \) نقطة من القطعة \( \left[AB\right] \) مخالفة لطرفيها فإنّ \( 0\lt BM\lt AB \).

النقطة \( M \) من \( \left[AB\right] \) ومخالفة لـ \( A \) و \( B \)، إذن \( 0<BM<AB \).

ولدينا \( BM=2BC=2x \) و \( AB=6 \)، فتصبح \( 0<2x<6 \).

نقسم الأطراف الثلاثة على 2: \( 0<x<3 \).

الجواب الصحيح: \( \left]0\,;\,3\right[ \)

ІІ-2)أ) أكتب البعد \( AM \) بدلالة \( x \)
القاعدة: إذا كانت \( M \) من \( \left[AB\right] \) فإنّ \( AM+MB=AB \).

بما أنّ \( M \) بين \( A \) و \( B \) فإنّ \( AM=AB-BM \).

ونعوّض: \( AM=6-2x \).

الجواب الصحيح: \( 6-2x \)

ІІ-2)ب) بيّن أنّ \( S_2-S_1=3\left(x^2-8x+12\right) \)
القاعدة: مساحة مثلث قائم هي نصف جداء ضلعي القائمة، ومساحة مربّع هي مربّع ضلعه.

المثلث \( MBC \) قائم في \( B \)، إذن \( S_1=\dfrac{BM\times BC}{2}=\dfrac{2x\times x}{2}=x^2 \).

والمربّع \( AMEF \) ضلعه \( AM=6-2x \)، إذن \( S_2=\left(6-2x\right)^2 \).

وننشر: \( \left(6-2x\right)^2=36-24x+4x^2 \).

فنطرح: \( S_2-S_1=36-24x+4x^2-x^2=3x^2-24x+36 \).

ونخرج 3 عاملا مشتركا: \( 3x^2-24x+36=3\left(x^2-8x+12\right) \).

الجواب الصحيح: \( 3\left(x^2-8x+12\right) \)

ІІ-3)أ) أوجد العدد \( x \) لتكون مساحة المثلث \( MBC \) مساوية لمساحة المربّع \( AMEF \)
القاعدة: تساوي المساحتين يعني \( S_2-S_1=0 \)، فنعود إلى المعادلة المفكّكة.

نكتب الشرط: \( S_2-S_1=0 \)، أي \( 3\left(x^2-8x+12\right)=0 \).

ونستعمل التفكيك من الجزء الأوّل: \( 3\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0 \).

ومنه \( x=2 \) أو \( x=6 \).

لكنّ الشرط الهندسي يفرض \( x\in\left]0\,;\,3\right[ \)، والعدد 6 خارج هذا المجال فنرفضه.

الجواب الصحيح: \( 2 \)

ІІ-3)ب) أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) التي تحقّق \( S_1\ge\dfrac{1}{4}S_2 \)
القاعدة: ننقل كلّ شيء إلى طرف واحد ثمّ نفكّك بفرق مربّعين، ولا ننسى شرط المجال.

نكتب المساحتين: \( S_1=x^2 \) و \( S_2=\left(6-2x\right)^2=4\left(3-x\right)^2 \).

فيصبح الشرط \( x^2\ge\dfrac{1}{4}\times 4\left(3-x\right)^2 \)، أي \( x^2\ge\left(3-x\right)^2 \).

ننقل: \( x^2-\left(3-x\right)^2\ge 0 \)، وهو فرق مربّعين.

نفكّك: \( \left[x-\left(3-x\right)\right]\left[x+\left(3-x\right)\right]\ge 0 \)، أي \( \left(2x-3\right)\times 3\ge 0 \).

ونقسم على 3 وهو موجب: \( 2x-3\ge 0 \)، ومنه \( x\ge\dfrac{3}{2} \).

ونضمّ الشرط الهندسي \( 0<x<3 \).

الجواب الصحيح: \( \left[\dfrac{3}{2}\,;\,3\right[ \)

احسب \( x^2 \) أوّلا، ثمّ \( -8x \)، ثمّ وحّد المقامات.
انشر \( \left(x-4\right)^2 \) واطرح 16.
عوّض بما سبق: \( -16+12=-4 \)، و 4 مربّع.
استعمل الشكل المفكّك، ولا تنشر.
ما هو أكبر بعد يمكن أن يأخذه \( BM \)؟
\( AM=AB-BM \).
المثلث قائم في \( B \): ضلعا القائمة هما \( BM \) و \( BC \).
تساوي المساحتين معناه أنّ فرقهما منعدم.
لاحظ أنّ \( S_2=4\left(3-x\right)^2 \): الكسر \( \dfrac{1}{4} \) سيختفي.
تمرين عدد 5
وحدة قيس الطول هي الصنتمتر. ليكن \( ABC \) مثلثا حيث \( AB=3 \) و \( AC=3\sqrt{3} \) و \( BC=6 \). \( H \) المسقط العمودي للنقطة \( A \) على \( \left(BC\right) \)، و \( J \) المسقط العمودي للنقطة \( H \) على \( \left(AB\right) \)، و \( O \) منتصف الضلع \( \left[AC\right] \)، و \( I \) منتصف القطعة \( \left[OH\right] \).
AB CH JO EI
الإصلاح
1)أ) بيّن أنّ \( ABC \) مثلث قائم الزاوية في \( A \)
القاعدة: مبرهنة فيتاغور العكسية — إذا كان مربّع أطول ضلع يساوي مجموع مربّعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم في الرأس المقابل لأطول ضلع.

أطول ضلع هو \( \left[BC\right] \) لأنّ \( 6>3\sqrt{3}\approx 5{,}20>3 \).

نحسب مجموع مربّعي الضلعين الآخرين: \( AB^2+AC^2=3^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2=9+9\times 3=9+27=36 \).

ونحسب مربّع أطول ضلع: \( BC^2=6^2=36 \).

المقداران متساويان، فالمثلث قائم في \( A \).

الجواب الصحيح: \( 36 \)

2)ب) أحسب البعد \( HJ \) بطريقتين مختلفتين
القاعدة: في مثلث قائم، جداء ضلعي القائمة يساوي جداء الوتر في الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة. وقاعدة طاليس: إذا كان مستقيمان متوازيين فالأبعاد متناسبة.

أوّلا نحسب \( AH \) في المثلث \( ABC \) القائم في \( A \): \( AB\times AC=BC\times AH \).

ومنه \( AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}=\dfrac{3\times 3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{9\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

ثمّ نحسب \( BH \) بفيتاغور في المثلث \( ABH \) القائم في \( H \): \( BH^2=AB^2-AH^2=9-\dfrac{27}{4}=\dfrac{9}{4} \)، ومنه \( BH=\dfrac{3}{2} \).

الطريقة الأولى — في المثلث \( ABH \) القائم في \( H \)، الوتر هو \( \left[AB\right] \) و \( \left[HJ\right] \) الارتفاع الصادر من \( H \): \( AH\times BH=AB\times HJ \).

ومنه \( HJ=\dfrac{AH\times BH}{AB}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{3}{2}}{3}=\dfrac{\dfrac{9\sqrt{3}}{4}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \).

الطريقة الثانية — المستقيمان \( \left(HJ\right) \) و \( \left(AC\right) \) عموديان كلاهما على \( \left(AB\right) \)، إذن \( \left(HJ\right)\parallel\left(AC\right) \).

وبقاعدة طاليس في المثلث \( ABC \): \( \dfrac{HJ}{AC}=\dfrac{BH}{BC} \).

ونعوّض: \( \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{6}=\dfrac{1}{4} \)، ومنه \( HJ=\dfrac{AC}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \).

الطريقتان تعطيان نفس النتيجة.

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \)

3) لتكن \( O \) منتصف الضلع \( \left[AC\right] \). بيّن أنّ المثلث \( AOH \) متقايس الأضلاع
القاعدة: في مثلث قائم، المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.

لدينا \( AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \) لأنّ \( O \) منتصف \( \left[AC\right] \).

ووجدنا في السؤال السابق \( AH=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

أمّا \( OH \): المثلث \( AHC \) قائم في \( H \) لأنّ \( \left(AH\right)\perp\left(BC\right) \)، ووتره \( \left[AC\right] \).

والنقطة \( O \) منتصف الوتر، فـ \( \left[HO\right] \) هو المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة: \( OH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

إذن \( AO=AH=OH=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \): المثلث متقايس الأضلاع.

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)

4)أ) بيّن أنّ \( J \) و \( H \) و \( E \) على استقامة واحدة
القاعدة: رباعي قطراه لهما نفس المنتصف هو متوازي أضلاع. ومن نقطة واحدة لا يمرّ إلاّ مستقيم واحد موازٍ لمستقيم معلوم.

لتكن \( E' \) مماثلة \( A \) بالنسبة إلى \( I \). عندئذ \( I \) منتصف \( \left[AE'\right] \).

و \( I \) منتصف \( \left[OH\right] \) بالتعريف، فقطرا الرباعي \( AOE'H \) لهما نفس المنتصف: إذن \( AOE'H \) متوازي أضلاع.

ومنه \( \left(OE'\right)\parallel\left(AH\right) \). وبما أنّ \( \left(AH\right)\perp\left(BC\right) \) فإنّ \( \left(OE'\right)\perp\left(BC\right) \).

فالمستقيم \( \left(OE'\right) \) هو العمودي على \( \left(BC\right) \) المارّ من \( O \)، والنقطة \( E' \) على \( \left(AI\right) \) لأنّها مماثلة \( A \) بالنسبة إلى \( I \).

إذن \( E' \) هي نفسها نقطة تقاطع هذين المستقيمين، أي \( E'=E \).

وفي متوازي الأضلاع \( AOEH \) لدينا \( \left(HE\right)\parallel\left(AO\right) \)، أي \( \left(HE\right)\parallel\left(AC\right) \).

ورأينا في السؤال 2 أنّ \( \left(HJ\right)\parallel\left(AC\right) \).

فالمستقيمان \( \left(HE\right) \) و \( \left(HJ\right) \) يمرّان من \( H \) وهما موازيان لـ \( \left(AC\right) \): إذن هما نفس المستقيم.

الجواب الصحيح: النقاط \( J \) و \( H \) و \( E \) على استقامة واحدة

4)ب) أحسب مساحة \( AHEO \)
القاعدة: متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متقايسة هو معيّن، ومساحة المعيّن هي نصف جداء قطريه.

في متوازي الأضلاع \( AOEH \) لدينا \( AO=AH=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)، وضلعان متتاليان متقايسان: فهو معيّن.

القطر الأوّل هو \( \left[OH\right] \) وطوله \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \) لأنّ المثلث \( AOH \) متقايس الأضلاع.

والقطر الثاني هو \( \left[AE\right] \)، و \( AE=2AI \) لأنّ \( I \) منتصف \( \left[AE\right] \).

والقطعة \( \left[AI\right] \) متوسّط في المثلث المتقايس الأضلاع \( AOH \)، فهي أيضا ارتفاع: \( AI=\dfrac{c\sqrt{3}}{2} \) مع \( c=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

ونحسب: \( AI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\times 3}{4}=\dfrac{9}{4} \).

ومنه \( AE=2\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2} \).

وأخيرا المساحة: \( \dfrac{OH\times AE}{2}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{9}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{27\sqrt{3}}{4}}{2}=\dfrac{27\sqrt{3}}{8} \).

ونتحقّق بطريقة ثانية: المعيّن مكوّن من مثلثين متقايسي الأضلاع ضلعهما \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)، ومساحة كلّ منهما \( \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times\dfrac{27}{4}=\dfrac{27\sqrt{3}}{16} \)، والمجموع \( \dfrac{27\sqrt{3}}{8} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{27\sqrt{3}}{8} \)

قارن \( BC^2 \) بـ \( AB^2+AC^2 \).
احسب \( AH \) ثمّ \( BH \) أوّلا. وللطريقة الثانية: لماذا \( \left(HJ\right)\parallel\left(AC\right) \)؟
في أيّ مثلث قائم تكون \( \left[AC\right] \) وترا و \( O \) منتصفه؟
أنشئ مماثلة \( A \) بالنسبة إلى \( I \): ما نوع الرباعي الذي تحصل عليه؟
ما هو نوع \( AOEH \) إذا كانت أضلاعه الأربعة متقايسة؟ وما هي صيغة مساحته بالقطرين؟