إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

تمرين عدد 1 (4 نقاط)

أحط بدائرة الإجابة الصحيحة.

الإصلاح

1) المجموعة \( A=\left\{x\in\mathbb{R}\ /\ |x|\le\sqrt{2}-3\right\} \) هي: \( \left]\sqrt{2}-3\,;\,+\infty\right[ \) — \( \left]-\sqrt{2}+3\,;\,\sqrt{2}-3\right[ \) — \( \varnothing \)

القاعدة: القيمة المطلقة لأيّ عدد حقيقي موجبة أو منعدمة؛ فلا يمكن أن تكون أصغر من عدد سالب.

نقارن \( \sqrt{2} \) بـ 3: \( \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \) و \( 3^2=9 \)، وبما أنّ \( 2<9 \) والعددان موجبان فإنّ \( \sqrt{2}<3 \).

ومنه \( \sqrt{2}-3<0 \).

ولكلّ عدد حقيقي \( x \) لدينا \( |x|\ge 0 \)، فلا يمكن أن يكون \( |x|\le\sqrt{2}-3 \).

إذن لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرط.

الجواب الصحيح: \( \varnothing \)

2) مجموعة حلول المتراجحة \( -\dfrac{3}{2}x+5\le 5 \) في \( \mathbb{R} \) هي: \( \left]0\,;\,+\infty\right[ \) — \( \left[0\,;\,+\infty\right[ \) — \( \left]-\infty\,;\,0\right[ \)

القاعدة: القسمة على عدد سالب تقلب اتجاه المتفاوتة.

نطرح 5 من الطرفين: \( -\dfrac{3}{2}x\le 0 \).

نقسم على \( -\dfrac{3}{2} \) وهو سالب فتنقلب المتفاوتة: \( x\ge 0 \).

والعدد 0 حلّ لأنّ \( -\dfrac{3}{2}\times 0+5=5\le 5 \): فالمجال مغلق في 0.

الجواب الصحيح: \( \left[0\,;\,+\infty\right[ \)

3) ليكن \( x \) و \( y \) عددين حقيقيين حيث \( 2\le x\le 5 \) و \( -3\le y\le -1 \). إذن: \( -6\le xy\le -5 \) — \( -15\le xy\le -2 \) — \( -1\le xy\le 4 \)

القاعدة: لحصر جداء نحسب جداءات الأطراف الأربعة ونأخذ أصغرها وأكبرها.

جداءات الأطراف: \( 2\times(-3)=-6 \) و \( 2\times(-1)=-2 \) و \( 5\times(-3)=-15 \) و \( 5\times(-1)=-5 \).

أصغرها \( -15 \) وأكبرها \( -2 \).

ومنه \( -15\le xy\le -2 \).

الجواب الصحيح: \( -15\le xy\le -2 \)

4) \( \left]-1\,;\,3\right]\cap\left]3\,;\,5\right] \) يساوي: \( \{3\} \) — \( \varnothing \) — \( \left]-1\,;\,5\right] \)

القاعدة: التقاطع هو مجموعة العناصر المشتركة؛ والقوس المفتوح يعني أنّ الطرف غير منتم للمجال.

كلّ عنصر من \( \left]-1\,;\,3\right] \) يحقّق \( x\le 3 \)، وكلّ عنصر من \( \left]3\,;\,5\right] \) يحقّق \( x>3 \).

لا يمكن لعدد أن يحقّق الشرطين معا.

والعدد 3 لا ينتمي إلى \( \left]3\,;\,5\right] \) لأنّ هذا المجال مفتوح في 3.

الجواب الصحيح: \( \varnothing \)

ما هي إشارة \( \sqrt{2}-3 \)؟ وما هي إشارة \( |x| \)؟

اطرح 5 ثمّ اقسم على عدد سالب.

احسب الجداءات الأربعة الممكنة.

هل يوجد عدد أصغر من 3 أو يساويه وأكبر من 3 في آن واحد؟

تمرين عدد 2 (6 نقاط)

نعتبر العبارة \( A=8x^2-30x+25 \) والعبارة \( B=4x^2-20x+25 \)، حيث \( x \) عدد حقيقي.

الإصلاح

1) أ) حقّق أنّ \( A=(3x-5)^2-x^2 \)

القاعدة: المتطابقة \( (u-v)^2=u^2-2uv+v^2 \).

\( (3x-5)^2=9x^2-30x+25 \).

\( (3x-5)^2-x^2=9x^2-30x+25-x^2 \).

\( =8x^2-30x+25 \)، وهذا هو \( A \).

الجواب الصحيح: \( 8x^2-30x+25 \)

1) ب) استنتج كتابة للعبارة \( A \) في صيغة جذاء عوامل

القاعدة: فرق مربّعين \( u^2-v^2=(u-v)(u+v) \).

\( A=(3x-5)^2-x^2 \) وهو فرق مربّعين مع \( u=3x-5 \) و \( v=x \).

\( A=\left[(3x-5)-x\right]\left[(3x-5)+x\right] \).

\( A=(2x-5)(4x-5) \)

الجواب الصحيح: \( (2x-5)(4x-5) \)

2) بيّن أنّ \( A+B=(2x-5)(6x-10) \)

القاعدة: نجمع العبارتين المنشورتين ثمّ ننشر الجداء المقترح ونقارن.

\( A+B=\left(8x^2-30x+25\right)+\left(4x^2-20x+25\right) \).

\( A+B=12x^2-50x+50 \).

وننشر الجداء: \( (2x-5)(6x-10)=12x^2-20x-30x+50 \).

\( (2x-5)(6x-10)=12x^2-50x+50 \)

الجواب الصحيح: \( 12x^2-50x+50 \)

3) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( A+B=0 \)

القاعدة: جداء عاملين منعدم يعني أنّ أحدهما على الأقلّ منعدم.

\( A+B=0 \) يكافئ \( (2x-5)(6x-10)=0 \).

إذن \( 2x-5=0 \) أو \( 6x-10=0 \).

\( x=\dfrac{5}{2} \) أو \( x=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{\dfrac{5}{3}\,;\,\dfrac{5}{2}\right\} \)

4) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( \dfrac{x}{2}\le\dfrac{8-x}{3} \) ومثّل مجموعة حلولها على مستقيم مدرّج

القاعدة: نضرب طرفي المتراجحة في مضاعف مشترك موجب للمقامات فلا تتغيّر المتفاوتة؛ ونمثّل مجالا بتظليل جزء من المستقيم المدرّج مع قوس مغلق عند طرف منتم.

المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 2 و 3 هو 6، وهو موجب.

\( 3x\le 2(8-x) \).

ننشر: \( 3x\le 16-2x \).

نضيف \( 2x \): \( 5x\le 16 \).

نقسم على 5 وهو موجب: \( x\le\dfrac{16}{5} \).

على المستقيم المدرّج: نظلّل كلّ ما هو على يسار \( \dfrac{16}{5}=3{,}2 \) مع قوس مغلق عندها وسهم نحو اليسار.

الجواب الصحيح: \( S=\left]-\infty\,;\,\dfrac{16}{5}\right] \)

انشر \( (3x-5)^2 \) ثمّ اطرح \( x^2 \).

هل تتعرّف على فرق مربّعين؟

اجمع العبارتين ثمّ انشر الجداء المقترح.

استعمل الشكل المفكّك.

اضرب في 6 للتخلّص من المقامين.

تمرين عدد 3 (6 نقاط)

ليكن \( ABC \) مثلثا قائم الزاوية في \( B \) حيث \( AC=8 \) و \( BC=4 \). لتكن \( I \) منتصف \( [AC] \) و \( D \) مناظرة \( B \) بالنسبة إلى \( I \)، و \( K \) المسقط العمودي للنقطة \( I \) على \( (BC) \)، و \( L \) النقطة التي \( K \) منتصف \( [LI] \).

الإصلاح

1) احسب \( AB \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في مثلث قائم الزاوية في \( B \): \( AC^2=AB^2+BC^2 \)؛ و \( \sqrt{a^2b}=a\sqrt{b} \).

المثلث قائم الزاوية في \( B \)، فوتره \( [AC] \).

\( AB^2=AC^2-BC^2=64-16=48 \).

\( AB=\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3} \)

الجواب الصحيح: \( 4\sqrt{3} \)

2) بيّن أنّ \( ABCD \) متوازي أضلاع

القاعدة: رباعي تنصّف قطراه بعضهما هو متوازي أضلاع.

قطرا الرباعي \( ABCD \) هما \( [AC] \) و \( [BD] \).

\( I \) منتصف \( [AC] \) بالتعريف.

و \( D \) مناظرة \( B \) بالنسبة إلى \( I \)، إذن \( I \) منتصف \( [BD] \).

فالقطران يتقاطعان في منتصفيهما \( I \).

الجواب الصحيح: \( ABCD \) متوازي أضلاع

3) أ) ما هو نوع المثلث \( BIC \)؟ علّل جوابك

القاعدة: في مثلث قائم الزاوية، المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر؛ ومثلث أضلاعه الثلاثة متقايسة هو متقايس الأضلاع.

\( I \) منتصف الوتر \( [AC] \) في المثلث \( ABC \) القائم الزاوية في \( B \).

إذن \( IB=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{8}{2}=4 \).

و \( IC=\dfrac{AC}{2}=4 \) لأنّ \( I \) منتصف \( [AC] \).

ومن المعطيات \( BC=4 \).

إذن \( IB=IC=BC=4 \).

الجواب الصحيح: المثلث \( BIC \) متقايس الأضلاع طول ضلعه 4

3) ب) احسب \( IK \)

القاعدة: ارتفاع مثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه \( a \) يساوي \( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \).

\( K \) هو المسقط العمودي لـ \( I \) على \( (BC) \)، إذن \( [IK] \) هو الارتفاع الصادر من \( I \) في المثلث \( BIC \).

وهذا المثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه 4.

\( IK=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \)

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{3} \)

4) بيّن أنّ \( BICL \) معيّن

القاعدة: في مثلث متقايس الأضلاع، الارتفاع هو أيضا متوسّط؛ ورباعي تنصّف قطراه بعضهما هو متوازي أضلاع؛ ومتوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن.

قطرا الرباعي \( BICL \) هما \( [BC] \) و \( [IL] \).

في المثلث \( BIC \) المتقايس الأضلاع، \( [IK] \) ارتفاع وهو أيضا متوسّط، إذن \( K \) منتصف \( [BC] \).

و \( K \) منتصف \( [LI] \) بالبناء.

فالقطران يتقاطعان في منتصفيهما \( K \): الرباعي متوازي أضلاع.

و \( (IK)\perp(BC) \) بالبناء، أي القطران متعامدان.

الجواب الصحيح: \( BICL \) معيّن

الوتر هو \( [AC] \) لأنّ الزاوية القائمة في \( B \).

ما هما قطرا \( ABCD \)؟ وأين يتقاطعان؟

احسب \( IB \) بالمتوسّط الصادر من الزاوية القائمة، ثمّ قارن بـ \( IC \) و \( BC \).

\( [IK] \) ارتفاع في مثلث متقايس الأضلاع.

أين يقع \( K \) بالنسبة إلى \( [BC] \)؟

تمرين عدد 4 (4 نقاط)

\( A \) هي مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) بحيث \( -5\le x<3 \)، و \( B \) هي مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) بحيث \( \left|2x-1\right|<\dfrac{7}{2} \).

الإصلاح

1) أكتب كلاّ من \( A \) و \( B \) في شكل مجال

القاعدة: \( |X|\lt r \) (مع \( r\gt 0 \)) يكافئ \( -r\lt X\lt r \)؛ والقوس مغلق عند طرف ينتمي ومفتوح عند طرف لا ينتمي.

الشرط \( -5\le x<3 \) يعطي مباشرة \( A=\left[-5\,;\,3\right[ \).

\( \left|2x-1\right|<\dfrac{7}{2} \) يكافئ \( -\dfrac{7}{2}<2x-1<\dfrac{7}{2} \).

نضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة: \( -\dfrac{5}{2}<2x<\dfrac{9}{2} \).

نقسم على 2 وهو موجب: \( -\dfrac{5}{4}<x<\dfrac{9}{4} \).

الجواب الصحيح: \( A=\left[-5\,;\,3\right[ \) و \( B=\left]-\dfrac{5}{4}\,;\,\dfrac{9}{4}\right[ \)

2) أ) حدّد \( A\cap B \) و \( A\cup B \)

القاعدة: إذا كان مجال محتوى في آخر فتقاطعهما هو الأصغر واتّحادهما هو الأكبر.

نقارن الأطراف: \( -5\le-\dfrac{5}{4} \) و \( \dfrac{9}{4}=2{,}25<3 \).

إذن كلّ عنصر من \( B \) ينتمي إلى \( A \): \( B\subset A \).

ومنه \( A\cap B=B=\left]-\dfrac{5}{4}\,;\,\dfrac{9}{4}\right[ \).

و \( A\cup B=A=\left[-5\,;\,3\right[ \).

الجواب الصحيح: \( A\cap B=\left]-\dfrac{5}{4}\,;\,\dfrac{9}{4}\right[ \) و \( A\cup B=\left[-5\,;\,3\right[ \)

2) ب) حدّد \( \mathbb{Z}\cap A \)

القاعدة: \( \mathbb{Z}\cap A \) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية المنتمية إلى المجال \( A \)؛ ونحترم انفتاح الطرف أو انغلاقه.

\( A=\left[-5\,;\,3\right[ \): الطرف \( -5 \) منتم لأنّ القوس مغلق، والطرف 3 غير منتم لأنّ القوس مفتوح.

الأعداد الصحيحة النسبية بين \( -5 \) و 3 هي \( -5\,;\,-4\,;\,-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2 \).

ولا نضيف 3 لأنّه لا ينتمي إلى \( A \).

الجواب الصحيح: \( \{-5\,;\,-4\,;\,-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\} \)

حوّل القيمة المطلقة إلى حصر مزدوج.

قارن الأطراف: هل \( B \) محتوى في \( A \)؟

انتبه إلى انفتاح الطرف 3.