إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

تمرين رقم 1 (4 ن)

ضع دائرة حول الإجابة الصحيحة.

الإصلاح

1) نعتبر المجموعتين \( I=\{x\in\mathbb{R}\ ;\ -2<2x<0\} \) و \( J=\{x\in\mathbb{R}\ ;\ 0\le x<3\} \). إذن: \( I\cap J=\varnothing \) — \( I\cap J=\{0\} \) — \( I\cap J=\left]-2\,;\,3\right[ \)

القاعدة: نكتب كلّ مجموعة على شكل مجال قبل التقاطع؛ والتقاطع هو مجموعة الأعداد المنتمية إلى المجموعتين معا.

من \( -2<2x<0 \) نقسم على 2 وهو موجب: \( -1<x<0 \)، إذن \( I=\left]-1\,;\,0\right[ \).

و \( J=[0\,;\,3[ \).

كلّ عنصر من \( I \) يحقّق \( x<0 \)، وكلّ عنصر من \( J \) يحقّق \( x\ge 0 \).

لا يمكن لعدد أن يحقّق الشرطين معا؛ والعدد 0 نفسه لا ينتمي إلى \( I \) لأنّ المجال مفتوح فيه.

الجواب الصحيح: \( \varnothing \)

2) موسط السلسلة الإحصائية التي قيمها \( 2\,;\,3\,;\,5\,;\,7 \) وتكراراتها على التوالي \( 27\,;\,23\,;\,16\,;\,34 \) هو: 3 — 4 — 5

القاعدة: الموسط هو فاصلة النقطة من مخطّط التكرارات التراكمية الصاعدة التي ترتيبها \( \dfrac{N}{2} \)؛ وإذا بلغ التراكم القيمة \( \dfrac{N}{2} \) بالضبط عند قيمة، فالترتيب \( \dfrac{N}{2} \) يوافق كامل المسافة بين هذه القيمة والقيمة الموالية، ويؤخذ الموسط في وسطها.

نرتّب القيم تصاعديا مع تكراراتها: \( 2 \) تكرارها 27، \( 3 \) تكرارها 23، \( 5 \) تكرارها 16، \( 7 \) تكرارها 34.

التكرار الجملي: \( N=27+23+16+34=100 \)، ومنه \( \dfrac{N}{2}=50 \).

التكرارات التراكمية الصاعدة: 27 عند القيمة 2، ثمّ \( 27+23=50 \) عند القيمة 3، ثمّ \( 50+16=66 \) عند القيمة 5، ثمّ 100 عند القيمة 7.

الترتيب 50 يُبلَغ بالضبط عند القيمة 3، ويبقى الترتيب مساويا لـ 50 إلى غاية القيمة الموالية 5.

فالفاصلة الموافقة للترتيب 50 هي وسط ما بين 3 و 5، أي \( \dfrac{3+5}{2}=4 \).

الجواب الصحيح: \( 4 \)

3) نعتبر المجموعة \( A=\{x\in\mathbb{R}_+\ ;\ -3\le x<\sqrt{2}\} \). إذن: \( A=\left[-3\,;\,\sqrt{2}\right[ \) — \( A=\left[0\,;\,\sqrt{2}\right[ \) — \( A=\left]-3\,;\,\sqrt{2}\right[ \)

القاعدة: \( \mathbb{R}_+ \) هي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة أو المنعدمة، أي \( x\ge 0 \)؛ فالشرطان يجتمعان في تقاطع.

الانتماء إلى \( \mathbb{R}_+ \) يعني \( x\ge 0 \).

والشرط الثاني هو \( -3\le x<\sqrt{2} \).

نجمع الشرطين: \( x\ge 0 \) و \( x<\sqrt{2} \)، أي \( 0\le x<\sqrt{2} \).

الشرط \( x\ge -3 \) يصبح بلا أثر لأنّ كلّ عدد موجب أكبر من \( -3 \).

الجواب الصحيح: \( \left[0\,;\,\sqrt{2}\right[ \)

4) إذا كان مستقيم \( \Delta \) عموديا على مستو \( P \) في نقطة \( A \) فإنّ: \( \Delta \) عمودي على كلّ مستقيم من الفضاء ومارّ من \( A \) — \( \Delta \) عمودي على كلّ مستقيم محتوى في \( P \) — \( \Delta \) عمودي على كلّ مستقيم محتوى في \( P \) ومارّ من \( A \)

القاعدة: إذا كان مستقيم عموديا على مستو فإنّه عمودي على كلّ مستقيم محتوى في هذا المستوي.

الاقتراح الأوّل خاطئ: مستقيم من الفضاء مارّ من \( A \) وغير محتوى في \( P \) — مثل \( \Delta \) نفسه — ليس عموديا على \( \Delta \).

الاقتراح الثالث صحيح لكنّه غير كامل: فهو لا يذكر إلاّ مستقيمات \( P \) المارّة من \( A \).

والخاصية المدروسة أقوى من ذلك: العمود على مستو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي، سواء مرّ من \( A \) أم لا.

الجواب الصحيح: \( \Delta \) عمودي على كلّ مستقيم محتوى في \( P \)

اكتب \( I \) و \( J \) على شكل مجالين قبل التقاطع.

رتّب القيم، احسب \( N \) ثمّ ابنِ التكرارات التراكمية الصاعدة.

ماذا يعني الانتماء إلى \( \mathbb{R}_+ \)؟

هل يكفي أن يمرّ المستقيم من \( A \)؟ وهل يكفي أن يكون في الفضاء؟

تمرين رقم 2 — عن امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي دورة 2011

نعتبر العبارة \( A=x^2-30x+216 \) حيث \( x \) عدد حقيقي.

الإصلاح

1) احسب القيمة العددية للعبارة \( A \) في حالة \( x=12 \)

القاعدة: نعوّض المجهول بالعدد المعطى ونحترم أولويّة العمليات.

\( A=12^2-30\times 12+216 \).

\( =144-360+216 \).

\( A=0 \)

الجواب الصحيح: \( 0 \)

2) أ) أنشر واختصر العبارة \( (x-15)^2 \)

القاعدة: المتطابقة \( (u-v)^2=u^2-2uv+v^2 \).

\( (x-15)^2=x^2-2\times x\times 15+15^2 \).

\( (x-15)^2=x^2-30x+225 \)

الجواب الصحيح: \( x^2-30x+225 \)

2) ب) استنتج أنّ \( A=(x-15)^2-9 \)

القاعدة: نستعمل النشر السابق ونعدّل الحدّ الثابت.

\( (x-15)^2-9=x^2-30x+225-9 \).

\( =x^2-30x+216 \).

وهذا هو \( A \) بالضبط.

الجواب الصحيح: \( x^2-30x+216 \)

2) ج) فكّك العبارة \( A \) إلى جذاء عوامل

القاعدة: فرق مربّعين \( u^2-v^2=(u-v)(u+v) \).

\( A=(x-15)^2-9=(x-15)^2-3^2 \).

\( A=(x-15-3)(x-15+3) \).

\( A=(x-18)(x-12) \)

الجواب الصحيح: \( (x-18)(x-12) \)

2) د) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( A=0 \)

القاعدة: جداء عاملين منعدم يعني أنّ أحدهما على الأقلّ منعدم.

\( A=0 \) يكافئ \( (x-18)(x-12)=0 \).

إذن \( x-18=0 \) أو \( x-12=0 \).

أي \( x=18 \) أو \( x=12 \).

الجواب الصحيح: \( S=\{12\,;\,18\} \)

3) أ) وحدة قيس الطول هي المتر. نبحث عن بعدَي مستطيل محيطه 60 م ومساحته 216 م². ليكن \( a \) أحد أبعاد هذا المستطيل. تحقّق أنّ \( (30-a) \) هو البعد الثاني

القاعدة: محيط مستطيل بعداه \( L \) و \( \ell \) هو \( 2(L+\ell) \).

نسمّي \( b \) البعد الثاني. المحيط يساوي 60، إذن \( 2(a+b)=60 \).

\( a+b=30 \).

ومنه \( b=30-a \).

الجواب الصحيح: البعد الثاني هو \( 30-a \)

3) ب) بيّن أنّ \( a \) هو حلّ للمعادلة \( x^2-30x+216=0 \)

القاعدة: مساحة مستطيل بعداه \( L \) و \( \ell \) هي \( L\times\ell \).

المساحة تساوي 216، إذن \( a\times(30-a)=216 \).

ننشر: \( 30a-a^2=216 \).

ننقل كلّ الحدود إلى طرف واحد: \( a^2-30a+216=0 \).

فـ \( a \) يحقّق المعادلة \( x^2-30x+216=0 \).

الجواب الصحيح: \( a^2-30a+216=0 \)

3) ج) استنتج إذن بعدَي المستطيل

القاعدة: نستعمل حلّي المعادلة، ونتحقّق من موافقتهما لشروط المسألة (بعد موجب).

المعادلة \( x^2-30x+216=0 \) هي \( A=0 \)، وحلّاها 12 و 18 (السؤال 2 د).

إذا كان \( a=12 \) فإنّ البعد الثاني \( 30-12=18 \).

وإذا كان \( a=18 \) فإنّ البعد الثاني \( 30-18=12 \): نفس المستطيل.

ونتحقّق: المحيط \( 2(12+18)=60 \) والمساحة \( 12\times 18=216 \).

الجواب الصحيح: البعدان هما 12 م و 18 م

عوّض \( x \) بـ 12.

استعمل المتطابقة \( (u-v)^2 \).

اطرح 9 من النشر السابق.

\( 9=3^2 \): فرق مربّعين.

جداء منعدم.

ابدأ من المحيط \( 2(a+b)=60 \).

اكتب المساحة \( a(30-a)=216 \).

استعمل حلّي المعادلة.

تمرين عدد 3

وحدة القيس هي الصم. ليكن \( ABC \) مثلثا قائم الزاوية في \( A \) حيث \( AB=3\sqrt{5} \) و \( AC=6 \). نرسم الدائرتين \( (\mathcal{C}) \) و \( (\mathcal{C}') \) اللتين قطراهما على التوالي \( [AB] \) و \( [AC] \)، وهما تتقاطعان في \( A \) وفي نقطة ثانية \( H \).

الإصلاح

1) احسب \( BC \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم الزاوية؛ و \( \left(a\sqrt{b}\right)^2=a^2b \).

المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، إذن \( BC^2=AB^2+AC^2 \).

\( AB^2=\left(3\sqrt{5}\right)^2=9\times 5=45 \) و \( AC^2=36 \).

\( BC^2=45+36=81 \).

\( BC \) طول موجب، إذن \( BC=\sqrt{81}=9 \)

الجواب الصحيح: \( 9 \)

2) أ) بيّن أنّ \( B \) و \( H \) و \( C \) على استقامة واحدة

القاعدة: كلّ نقطة من دائرة قطرها \( [UV] \) ومغايرة لـ \( U \) و \( V \) ترى \( [UV] \) تحت زاوية قائمة؛ ومن نقطة لا يمرّ إلاّ مستقيم واحد عمودي على مستقيم معلوم.

\( H \) من \( (\mathcal{C}) \) التي قطرها \( [AB] \)، إذن المثلث \( AHB \) قائم الزاوية في \( H \)، أي \( (HB)\perp(AH) \).

\( H \) من \( (\mathcal{C}') \) التي قطرها \( [AC] \)، إذن المثلث \( AHC \) قائم الزاوية في \( H \)، أي \( (HC)\perp(AH) \).

المستقيمان \( (HB) \) و \( (HC) \) يمرّان من \( H \) وكلاهما عمودي على \( (AH) \): فهما نفس المستقيم.

الجواب الصحيح: النقاط \( B \) و \( H \) و \( C \) على استقامة واحدة

2) ب) بيّن أنّ \( AH=2\sqrt{5} \) ثمّ احسب \( HC \)

القاعدة: في مثلث قائم الزاوية في \( A \) ارتفاعه \( [AH] \): \( AH\times BC=AB\times AC \)؛ ثمّ مبرهنة فيتاغور.

من السؤال السابق \( H\in(BC) \) و \( (AH)\perp(BC) \): فـ \( [AH] \) هو الارتفاع الصادر من \( A \).

\( AH\times 9=3\sqrt{5}\times 6=18\sqrt{5} \).

\( AH=\dfrac{18\sqrt{5}}{9}=2\sqrt{5} \)

المثلث \( AHC \) قائم الزاوية في \( H \)، إذن \( HC^2=AC^2-AH^2=36-20=16 \).

\( HC=\sqrt{16}=4 \)

الجواب الصحيح: \( AH=2\sqrt{5} \) و \( HC=4 \)

3) أ) عيّن النقطة \( R \) من \( [BH] \) بحيث \( HR=1 \)، وابنِ النقطة \( D \) بحيث \( BADR \) متوازي أضلاع. بيّن أنّ \( AD=4 \)

القاعدة: في متوازي أضلاع، الضلعان المتقابلان متقايسان ومتوازيان.

\( H\in[BC] \) و \( BC=9 \) و \( HC=4 \)، إذن \( BH=9-4=5 \).

\( R\in[BH] \) و \( HR=1 \)، إذن \( BR=5-1=4 \).

في متوازي الأضلاع \( BADR \) الضلعان \( [AD] \) و \( [RB] \) متقابلان.

\( AD=RB=4 \)

الجواب الصحيح: \( 4 \)

3) ب) استنتج أنّ \( D \) تنتمي إلى الدائرة \( (\mathcal{C}') \)

القاعدة: رباعي ضلعاه المتقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع؛ ومتوازي أضلاع له زاوية قائمة هو مستطيل؛ ومثلث قائم الزاوية في نقطة يجعل هذه النقطة على الدائرة التي قطرها الوتر.

في متوازي الأضلاع \( BADR \) لدينا \( (AD)\parallel(BR) \)، و \( (BR) \) هو المستقيم \( (BC) \) لأنّ \( R\in[BH]\subset[BC] \).

إذن \( (AD)\parallel(HC) \)، ولدينا \( AD=4=HC \)، والنقطتان \( A \) و \( D \) في نفس الجهة كما يعطيه البناء.

فالرباعي \( AHCD \) ضلعاه المتقابلان \( [AD] \) و \( [HC] \) متوازيان ومتقايسان: فهو متوازي أضلاع.

وزاويته في \( H \) قائمة لأنّ \( (AH)\perp(BC) \): فهو مستطيل.

ومنه الزاوية \( \widehat{ADC} \) قائمة، أي المثلث \( ADC \) قائم الزاوية في \( D \).

فـ \( D \) تنتمي إلى الدائرة التي قطرها \( [AC] \).

الجواب الصحيح: \( D\in(\mathcal{C}') \)

احسب \( \left(3\sqrt{5}\right)^2 \) أوّلا.

ماذا تعطي دائرة قطرها \( [AB] \) بالنسبة إلى \( H \)؟

\( [AH] \) هو الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة.

ابدأ بحساب \( BH \) ثمّ \( BR \).

قارن \( [AD] \) و \( [HC] \) طولا واتجاها.

تمرين عدد 4

\( EFG \) مثلث قائم الزاوية في \( E \) حيث \( EF=x\sqrt{3}+\sqrt{3} \) و \( EG=x+1 \)، و \( x \) عدد حقيقي موجب.

الإصلاح

1) فكّك \( EF \) إلى جذاء عوامل

القاعدة: نخرج العامل المشترك: \( ka+kb=k(a+b) \).

\( EF=x\sqrt{3}+\sqrt{3} \)، والعامل المشترك بين الحدّين هو \( \sqrt{3} \).

\( EF=\sqrt{3}\,(x+1) \)

الجواب الصحيح: \( \sqrt{3}\,(x+1) \)

2) أ) بيّن أنّ \( EF^2+EG^2=4(x+1)^2 \)

القاعدة: \( (ab)^2=a^2b^2 \) و \( \left(\sqrt{3}\right)^2=3 \).

\( EF^2=\left(\sqrt{3}\,(x+1)\right)^2=3(x+1)^2 \).

\( EG^2=(x+1)^2 \).

\( EF^2+EG^2=3(x+1)^2+(x+1)^2 \).

نجمع الحدّين المتشابهين: \( EF^2+EG^2=4(x+1)^2 \).

الجواب الصحيح: \( 4(x+1)^2 \)

2) ب) استنتج أنّ \( FG=2x+2 \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور، و \( \sqrt{X^2}=|X| \)، وهي تساوي \( X \) إذا كان \( X\ge 0 \).

المثلث \( EFG \) قائم الزاوية في \( E \)، إذن \( FG^2=EF^2+EG^2=4(x+1)^2 \).

\( FG=\sqrt{4(x+1)^2}=2|x+1| \).

و \( x \) موجب، إذن \( x+1>0 \) و \( |x+1|=x+1 \).

\( FG=2(x+1)=2x+2 \)

الجواب الصحيح: \( 2x+2 \)

3) لتكن \( I \) منتصف \( [FG] \). بيّن أنّ المثلث \( IEG \) متقايس الأضلاع

القاعدة: في مثلث قائم الزاوية، طول المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر.

\( [EI] \) هو المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة \( E \)، إذن \( EI=\dfrac{FG}{2}=\dfrac{2(x+1)}{2}=x+1 \).

\( I \) منتصف \( [FG] \)، إذن \( IG=\dfrac{FG}{2}=x+1 \).

ومن المعطيات \( EG=x+1 \).

إذن \( EI=IG=EG=x+1 \).

الجواب الصحيح: المثلث \( IEG \) متقايس الأضلاع طول ضلعه \( x+1 \)

ما هو العامل المشترك بين \( x\sqrt{3} \) و \( \sqrt{3} \)؟

ربّع الشكل المفكّك.

انتبه إلى إشارة \( x+1 \) عند نزع الجذر.

فكّر في المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة.