إعداد الأستاذ:
فوزي الغربي		 فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي
مثال رقم 7		 المدرسة الإعدادية النموذجية
ضفاف البحيرة
التمرين رقم 1 (4 نقاط)
اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات التالية.
الإصلاح
1) \( \left(1-\sqrt{2}\right)x\ge 2 \) يعني: A) \( x\in\left[\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\,;\,+\infty\right[ \) — B) \( x\in\left]-\infty\,;\,\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\right] \) — C) \( x\in\left[\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\,;\,\dfrac{2}{1+\sqrt{2}}\right] \)
القاعدة: القسمة على عدد سالب تقلب اتجاه المتفاوتة؛ ولمقارنة عددين موجبين نقارن مربّعيهما.

\( \left(\sqrt{2}\right)^2=2>1=1^2 \) والعددان موجبان، إذن \( \sqrt{2}>1 \).

ومنه \( 1-\sqrt{2}<0 \).

نقسم على \( 1-\sqrt{2} \) وهو سالب فتنقلب المتفاوتة: \( x\le\dfrac{2}{1-\sqrt{2}} \).

الجواب الصحيح: B) \( x\in\left]-\infty\,;\,\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\right] \)

2) إذا كان \( I=\left]-\infty\,;\,5\right[ \) و \( J=[7\,;\,10] \) فإنّ \( I\cup J \) يساوي: A) \( \left]-\infty\,;\,10\right] \) — B) \( [5\,;\,10] \) — C) \( \left]-\infty\,;\,5\right[\cup[7\,;\,10] \)
القاعدة: اتّحاد مجموعتين هو مجموعة العناصر المنتمية إلى إحداهما على الأقلّ؛ واتّحاد مجالين منفصلين لا يكتب كمجال واحد.

العدد 6 لا ينتمي إلى \( I \) لأنّ \( 6>5 \)، ولا إلى \( J \) لأنّ \( 6<7 \).

إذن \( 6\notin I\cup J \)، وهذا يستبعد A و B اللذين يحتويان على 6.

والمجالان منفصلان، فاتّحادهما يبقى مكتوبا على شكل اتّحاد.

الجواب الصحيح: C) \( \left]-\infty\,;\,5\right[\cup[7\,;\,10] \)

3) \( |x|\le 1 \) يعني: A) \( x\in\left]-\infty\,;\,1\right] \) — B) \( -1\le x\le 1 \) — C) \( x\in\left]-\infty\,;\,-1\right]\cup\left[1\,;\,+\infty\right[ \)
القاعدة: إذا كان \( r\ge 0 \) فإنّ \( |x|\le r \) يكافئ \( -r\le x\le r \)، بينما \( |x|\ge r \) يكافئ \( x\le -r \) أو \( x\ge r \).

\( |x| \) هو بعد النقطة ذات الأفصول \( x \) عن المبدأ، والشرط يعني أنّ هذا البعد لا يتجاوز 1.

ومنه \( -1\le x\le 1 \).

الاقتراح C هو مجموعة حلول \( |x|\ge 1 \)، والاقتراح A يهمل الشرط \( x\ge -1 \).

الجواب الصحيح: B) \( -1\le x\le 1 \)

4) إذا علمت أنّ \( -7\le a\le -3 \) فإنّ \( \dfrac{(a-3)(b+2)}{\sqrt{a^2-6a+9}} \) تساوي: A) \( b+2 \) — B) \( -b-2 \) — C) \( 2b+6 \)
القاعدة: \( \sqrt{X^2}=|X| \) مهما كانت إشارة \( X \)؛ وإذا كان \( X\lt 0 \) فإنّ \( |X|=-X \). والمتطابقة \( u^2-2uv+v^2=(u-v)^2 \).

نتعرّف على متطابقة تحت الجذر: \( a^2-6a+9=(a-3)^2 \).

إذن \( \sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3| \).

من \( -7\le a\le -3 \) نطرح 3: \( -10\le a-3\le -6 \)، فـ \( a-3 \) سالب قطعا.

ومنه \( |a-3|=-(a-3) \).

\( \dfrac{(a-3)(b+2)}{-(a-3)}=-(b+2)=-b-2 \)

الجواب الصحيح: B) \( -b-2 \)

ما هي إشارة \( 1-\sqrt{2} \)؟
جرّب العدد 6.
القيمة المطلقة أصغر من عدد: حصر مزدوج.
هل تتعرّف على متطابقة تحت الجذر؟
التمرين رقم 2
ليكن \( ABC \) مثلثا حيث \( AB=4 \) و \( AC=2\sqrt{5} \) و \( BC=6 \). المستقيم العمودي على \( (BC) \) والمارّ من \( B \) يقطع \( (AC) \) في نقطة \( D \). نعيّن \( I \) منتصف \( [CD] \) و \( J \) منتصف \( [BC] \)، ثمّ \( E \) مناظرة \( I \) بالنسبة إلى \( J \)، و \( F \) المسقط العمودي للنقطة \( D \) على \( (IE) \).
الإصلاح
1) بيّن أنّ المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، ثمّ أنجز الرسم
القاعدة: مبرهنة فيتاغور العكسية — إذا كان مربّع أطول ضلع يساوي مجموع مربّعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل.

أطول ضلع هو \( [BC] \) لأنّ \( 6>4 \) و \( 6>2\sqrt{5}\approx 4{,}47 \).

\( BC^2=36 \).

\( AB^2+AC^2=16+\left(2\sqrt{5}\right)^2=16+20=36 \).

\( BC^2=AB^2+AC^2 \)، فحسب مبرهنة فيتاغور العكسية المثلث قائم الزاوية في \( A \).

للرسم: نرسم \( [AB]=4 \)، ثمّ العمودي على \( (AB) \) في \( A \)، ونحمل عليه \( AC=2\sqrt{5}\approx 4{,}5 \).

الجواب الصحيح: \( BC^2=36 \) و \( AB^2+AC^2=36 \) فالمثلث قائم الزاوية في \( A \)

2) أ) بيّن أنّ \( AD=\dfrac{8\sqrt{5}}{5} \)
القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلثين \( ABD \) و \( DBC \)؛ ثمّ إنطاق المقام \( \dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b} \).

\( D\in(AC) \) و \( (AB)\perp(AC) \)، إذن المثلث \( ABD \) قائم الزاوية في \( A \): \( BD^2=16+AD^2 \).

والمثلث \( DBC \) قائم الزاوية في \( B \) بالبناء: \( DC^2=BD^2+BC^2 \).

و \( DC=AD+AC=AD+2\sqrt{5} \) لأنّ \( A \) بين \( D \) و \( C \).

\( \left(AD+2\sqrt{5}\right)^2=16+AD^2+36 \).

\( AD^2+4\sqrt{5}\,AD+20=AD^2+52 \).

\( 4\sqrt{5}\,AD=32 \) ومنه \( AD=\dfrac{8}{\sqrt{5}} \).

\( AD=\dfrac{8\sqrt{5}}{5} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{8\sqrt{5}}{5} \)

2) ب) استنتج أنّ \( BD=\dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)
القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث \( ABD \) القائم الزاوية في \( A \).

\( AD^2=\left(\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2=\dfrac{64\times 5}{25}=\dfrac{64}{5} \).

\( BD^2=16+\dfrac{64}{5}=\dfrac{144}{5} \).

\( BD=\dfrac{12}{\sqrt{5}}=\dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)

3) أ) بيّن أنّ الرباعي \( IBEC \) معيّن
القاعدة: رباعي تنصّف قطراه بعضهما هو متوازي أضلاع؛ ومتوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معيّن. وفي مثلث قائم الزاوية، المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.

قطرا الرباعي \( IBEC \) هما \( [IE] \) و \( [BC] \).

\( E \) مناظرة \( I \) بالنسبة إلى \( J \)، إذن \( J \) منتصف \( [IE] \)؛ و \( J \) منتصف \( [BC] \) بالتعريف.

القطران يتقاطعان في منتصفيهما \( J \): فالرباعي متوازي أضلاع.

المثلث \( DBC \) قائم الزاوية في \( B \) و \( I \) منتصف وتره \( [DC] \)، إذن \( IB=\dfrac{DC}{2} \).

و \( IC=\dfrac{DC}{2} \) لأنّ \( I \) منتصف \( [DC] \)، ومنه \( IB=IC \).

الجواب الصحيح: \( IBEC \) معيّن

3) ب) احسب مساحة المعيّن \( IBEC \)
القاعدة: قاعدة الربط بين منتصفي ضلعين في مثلث؛ ومساحة المعيّن \( =\dfrac{d_1\times d_2}{2} \).

في المثلث \( CDB \): \( I \) منتصف \( [CD] \) و \( J \) منتصف \( [CB] \)، إذن \( IJ=\dfrac{DB}{2}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5} \).

\( J \) منتصف \( [IE] \)، إذن \( IE=2\,IJ=\dfrac{12\sqrt{5}}{5} \).

والقطر الآخر هو \( BC=6 \).

المساحة \( =\dfrac{IE\times BC}{2}=\dfrac{36\sqrt{5}}{5} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{36\sqrt{5}}{5} \)

4) بيّن أنّ \( BF=DJ \)
القاعدة: قطرا المعيّن متعامدان؛ ومتوازي أضلاع له زاوية قائمة هو مستطيل؛ وقطرا المستطيل متقايسان.

قطرا المعيّن \( IBEC \) متعامدان، إذن \( (IE)\perp(BC) \).

\( (BD)\perp(BC) \) بالبناء، ومنه \( (BD)\parallel(IE) \)، أي \( (BD)\parallel(JF) \).

\( (DF)\perp(IE) \) بالبناء، و \( (BC)\perp(IE) \)، ومنه \( (DF)\parallel(BC) \)، أي \( (DF)\parallel(BJ) \).

الرباعي \( BDFJ \) ضلعاه المتقابلان متوازيان مثنى مثنى: فهو متوازي أضلاع.

وزاويته في \( B \) قائمة لأنّ \( (BD)\perp(BC) \): فهو مستطيل.

قطراه \( [BF] \) و \( [DJ] \) متقايسان.

الجواب الصحيح: \( BF=DJ \)

قارن \( BC^2 \) بـ \( AB^2+AC^2 \).
فيتاغور في \( ABD \) ثمّ في \( DBC \)، مع \( DC=AD+AC \).
استعمل \( BD^2=AB^2+AD^2 \).
ما هما قطرا \( IBEC \)؟ ثمّ قارن \( IB \) و \( IC \).
\( [IJ] \) قطعة رابطة في المثلث \( CDB \).
ما نوع الرباعي \( BDFJ \)؟
التمرين رقم 3
I / حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلات التالية. II / ليكن \( x \) عددا حقيقيا، ونعتبر العبارتين \( A=-x-3 \) و \( B=\dfrac{x}{x-3} \) بحيث \( -4<A<-1 \).
الإصلاح
I) أ) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( \sqrt{2}\,x-3=x-1 \)
القاعدة: نجمع المجاهيل في طرف ثمّ نخرج \( x \) عاملا مشتركا؛ وننطق المقام بضرب البسط والمقام في مرافقه: \( \dfrac{p}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{p\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^2-1} \).

\( \sqrt{2}\,x-x=3-1 \).

\( x\left(\sqrt{2}-1\right)=2 \).

و \( \sqrt{2}-1\ne 0 \) لأنّ \( \sqrt{2}>1 \)، إذن \( x=\dfrac{2}{\sqrt{2}-1} \).

نضرب في المرافق: \( x=\dfrac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1} \).

\( x=2\sqrt{2}+2 \)

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{2}+2 \)

I) ب) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( 2x^2-8+(x-2)(3x-5)=0 \)
القاعدة: فرق مربّعين \( u^2-v^2=(u-v)(u+v) \)، ثمّ العامل المشترك، ثمّ جداء منعدم.

\( 2x^2-8=2\left(x^2-4\right)=2(x-2)(x+2) \).

إذن \( 2(x-2)(x+2)+(x-2)(3x-5)=0 \).

العامل المشترك هو \( (x-2) \): \( (x-2)\left[2(x+2)+3x-5\right]=0 \).

\( (x-2)(2x+4+3x-5)=0 \) أي \( (x-2)(5x-1)=0 \).

ومنه \( x=2 \) أو \( 5x=1 \) أي \( x=\dfrac{1}{5} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{\dfrac{1}{5}\,;\,2\right\} \)

II) 1) بيّن أنّ \( x\in\left]-2\,;\,1\right[ \)
القاعدة: إضافة عدد إلى أطراف حصر لا تغيّره؛ والضرب في \( -1 \) يقلب المتفاوتات وترتيب الأطراف.

\( A=-x-3 \) و \( -4<A<-1 \)، إذن \( -4<-x-3<-1 \).

نضيف 3 إلى الأطراف الثلاثة: \( -1<-x<2 \).

نضرب في \( -1 \) فتنقلب المتفاوتات: \( 1>x>-2 \).

نعيد الترتيب: \( -2<x<1 \).

الجواب الصحيح: \( x\in\left]-2\,;\,1\right[ \)

II) 2) أ) بيّن أنّ \( x-3\ne 0 \)
القاعدة: نستعمل الحصر لتعيين إشارة العبارة؛ وعدد سالب قطعا مخالف للصفر.

من \( -2<x<1 \) نطرح 3: \( -5<x-3<-2 \).

إذن \( x-3<-2 \)، فهو سالب قطعا.

ومنه \( x-3\ne 0 \) والكسر \( B \) معرّف.

الجواب الصحيح: \( -5<x-3<-2 \) إذن \( x-3 \) سالب قطعا

II) 2) ب) بيّن أنّ \( B=1+\dfrac{3}{x-3} \)
القاعدة: لتوحيد المقامات نكتب \( 1=\dfrac{x-3}{x-3} \).

\( 1+\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{x-3}{x-3}+\dfrac{3}{x-3} \).

\( =\dfrac{x-3+3}{x-3} \).

\( 1+\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{x}{x-3} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{x}{x-3} \)

II) 2) ج) استنتج حصرا لـ \( B \)
القاعدة: قلب حصر لأعداد لها نفس الإشارة يقلب الترتيب؛ والضرب في عدد موجب وإضافة عدد لا يغيّران الترتيب.

لدينا \( -5<x-3<-2 \) وكلّ الأطراف سالبة، فبالقلب ينقلب الترتيب: \( -\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{x-3}<-\dfrac{1}{5} \).

نضرب في 3 وهو موجب: \( -\dfrac{3}{2}<\dfrac{3}{x-3}<-\dfrac{3}{5} \).

نضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة.

\( -\dfrac{1}{2}<B<\dfrac{2}{5} \)

الجواب الصحيح: \( -\dfrac{1}{2}<B<\dfrac{2}{5} \)

اجمع المجاهيل ثمّ أخرج \( x \) عاملا مشتركا، ولا تنس إنطاق المقام.
\( 2x^2-8 \) فيه عامل 2 وفرق مربّعين.
عوّض \( A \) بعبارته ثمّ اعزل \( x \).
اطرح 3 من أطراف الحصر.
وحّد المقامات.
اقلب الحصر (الأطراف سالبة) ثمّ اضرب في 3 وأضف 1.
التمرين رقم 4
ليكن \( ABCDEFGL \) متوازي مستطيلات حيث \( ABFE \) مربّع، و \( H \) و \( K \) المسقطان العموديان على التوالي للنقطتين \( E \) و \( C \) على \( (AG) \)، بحيث \( KG=AH=3 \) و \( GH=\dfrac{16}{3} \). (النقاط \( A \) و \( B \) و \( C \) و \( D \) فوق \( E \) و \( F \) و \( G \) و \( L \) على التوالي.)
الإصلاح
1) بيّن أنّ المثلث \( AEG \) قائم الزاوية في \( E \)
القاعدة: في متوازي المستطيلات، كلّ حرف جانبي عمودي على مستوي القاعدة؛ ومستقيم عمودي على مستو يكون عموديا على كلّ مستقيم من هذا المستوي.

\( [AE] \) حرف جانبي، إذن \( (AE) \) عمودي على مستوي القاعدة \( (EFGL) \).

والمستقيم \( (EG) \) محمول على مستوي القاعدة \( (EFGL) \).

إذن \( (AE)\perp(EG) \).

الجواب الصحيح: المثلث \( AEG \) قائم الزاوية في \( E \)

2) أ) بيّن أنّ \( EH=4 \)
القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلثات القائمة \( AEH \) و \( EHG \) و \( AEG \)؛ و \( H\in[AG] \) يعطي \( AG=AH+HG \).

\( AG=AH+HG=3+\dfrac{16}{3}=\dfrac{25}{3} \).

\( H \) مسقط \( E \) على \( (AG) \)، إذن المثلثان \( AEH \) و \( EHG \) قائمان في \( H \).

\( AE^2=AH^2+EH^2=9+EH^2 \) و \( EG^2=HG^2+EH^2=\dfrac{256}{9}+EH^2 \).

والمثلث \( AEG \) قائم في \( E \)، إذن \( AE^2+EG^2=AG^2=\dfrac{625}{9} \).

\( 9+\dfrac{256}{9}+2EH^2=\dfrac{625}{9} \)، ومنه \( 2EH^2=\dfrac{288}{9}=32 \).

\( EH^2=16 \) و \( EH \) طول موجب.

\( EH=\sqrt{16}=4 \)

الجواب الصحيح: \( 4 \)

2) ب) استنتج \( AE \)
القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث \( AEH \) القائم الزاوية في \( H \).

\( AE^2=AH^2+EH^2=3^2+4^2=25 \).

\( AE=\sqrt{25}=5 \)

الجواب الصحيح: \( 5 \)

3) أ) احسب \( CK \)
القاعدة: رباعي ضلعاه المتقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع، وإذا كانت له زاوية قائمة فهو مستطيل؛ وفي مثلث قائم الزاوية، الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة يحقّق \( h\times\text{الوتر}=\text{جداء الضلعين القائمين} \).

\( [AE] \) و \( [CG] \) حرفان جانبيان: متوازيان ومتقايسان، إذن \( CG=AE=5 \) والرباعي \( AEGC \) متوازي أضلاع.

وزاويته في \( E \) قائمة (السؤال 1)، فهو مستطيل، ومنه المثلث \( ACG \) قائم الزاوية في \( C \).

\( AC^2=AG^2-CG^2=\dfrac{625}{9}-25=\dfrac{400}{9} \) ومنه \( AC=\dfrac{20}{3} \).

\( CK\times AG=CA\times CG \) يعطي \( CK\times\dfrac{25}{3}=\dfrac{20}{3}\times 5 \).

\( CK=\dfrac{100}{3}\times\dfrac{3}{25}=4 \)

الجواب الصحيح: \( 4 \)

3) ب) بيّن أنّ \( [EC] \) و \( [HK] \) يتقاطعان في منتصفهما
القاعدة: قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفيهما؛ وإذا كانت نقطتان من قطعة على نفس البعد من طرفيها فمنتصف القطعة هو أيضا منتصف ما بينهما.

الرباعي \( AEGC \) مستطيل، وقطراه هما \( [AG] \) و \( [EC] \).

إذن \( [AG] \) و \( [EC] \) يتقاطعان في منتصفيهما؛ نسمّي \( O \) هذا المنتصف المشترك.

\( H \) و \( K \) من \( [AG] \) و \( AH=KG=3 \).

\( O \) منتصف \( [AG] \)، إذن \( OH=OA-AH \) و \( OK=OG-KG=OA-AH \)، ومنه \( OH=OK \).

والنقطتان على جانبي \( O \)، إذن \( O \) منتصف \( [HK] \).

الجواب الصحيح: للقطعتين \( [EC] \) و \( [HK] \) نفس المنتصف \( O \)

\( [AE] \) حرف جانبي: على أيّ مستو هو عمودي؟
اجمع فيتاغور في \( AEH \) و \( EHG \) وقارن بـ \( AG^2 \).
استعمل المثلث \( AEH \).
ما نوع الرباعي \( AEGC \)؟
أين يتقاطع قطرا المستطيل \( AEGC \)؟