إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

تمرين عدد 1

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدّمة، ثمّ اكتب رقم الجملة والإجابة المختارة أمامها فقط.

الإصلاح

1) ليكن \( a \) عددا حقيقيا حيث \( \left(\sqrt{2}-2\right)^2\le 2a\le\left(\sqrt{2}+2\right)^2 \). إذن مدى حصر \( a \) هو: أ) \( 8\sqrt{2} \) — ب) \( 4\sqrt{2} \) — ج) \( 0 \)

القاعدة: المتطابقتان \( (u-v)^2=u^2-2uv+v^2 \) و \( (u+v)^2=u^2+2uv+v^2 \)؛ ومدى الحصر هو الفرق بين طرفيه.

\( \left(\sqrt{2}-2\right)^2=2-4\sqrt{2}+4=6-4\sqrt{2} \).

\( \left(\sqrt{2}+2\right)^2=2+4\sqrt{2}+4=6+4\sqrt{2} \).

إذن \( 6-4\sqrt{2}\le 2a\le 6+4\sqrt{2} \).

نقسم الأطراف الثلاثة على 2 وهو موجب: \( 3-2\sqrt{2}\le a\le 3+2\sqrt{2} \).

المدى \( =\left(3+2\sqrt{2}\right)-\left(3-2\sqrt{2}\right)=4\sqrt{2} \)

الجواب الصحيح: ب) \( 4\sqrt{2} \)

2) نعتبر المجموعتين \( I=\{x\in\mathbb{R}\ ;\ |x|<2\} \) و \( J=\{x\in\mathbb{R}\ ;\ |x|\ge\sqrt{2}\} \). إذن \( I\cap J \) يساوي: أ) \( \left]-2\,;\,-\sqrt{2}\right]\cup\left[\sqrt{2}\,;\,2\right[ \) — ب) \( \left[-\sqrt{2}\,;\,2\right[ \) — ج) \( \left[-2\,;\,-\sqrt{2}\right[\cup\left]\sqrt{2}\,;\,2\right] \)

القاعدة: \( |x|\lt r \) يكافئ \( -r\lt x\lt r \)؛ و \( |x|\ge r \) يكافئ \( x\le -r \) أو \( x\ge r \).

\( I=\left]-2\,;\,2\right[ \) لأنّ \( |x|<2 \) يكافئ \( -2<x<2 \).

\( J=\left]-\infty\,;\,-\sqrt{2}\right]\cup\left[\sqrt{2}\,;\,+\infty\right[ \) لأنّ \( |x|\ge\sqrt{2} \) يكافئ \( x\le-\sqrt{2} \) أو \( x\ge\sqrt{2} \).

التقاطع مع \( \left]-2\,;\,2\right[ \) يعطي الجزأين \( \left]-2\,;\,-\sqrt{2}\right] \) و \( \left[\sqrt{2}\,;\,2\right[ \).

انتبه إلى الأقواس: \( -\sqrt{2} \) و \( \sqrt{2} \) ينتميان (لأنّ \( J \) مغلق فيهما)، بينما \( -2 \) و 2 لا ينتميان (لأنّ \( I \) مفتوح فيهما).

الجواب الصحيح: أ) \( \left]-2\,;\,-\sqrt{2}\right]\cup\left[\sqrt{2}\,;\,2\right[ \)

3) \( ABCDEFGH \) متوازي مستطيلات حيث \( DF=4\sqrt{5} \) و \( AB=2\sqrt{3} \) و \( AD=3\sqrt{2} \). إذن \( AE \) يساوي: أ) \( 5\sqrt{2} \) — ب) \( \sqrt{10} \) — ج) \( 10\sqrt{1{,}1} \)

القاعدة: في متوازي المستطيلات، مربّع القطر الكبير يساوي مجموع مربّعات ثلاثة أحرف منطلقة من نفس الرأس (مبرهنة فيتاغور مرّتين).

\( [DF] \) قطر كبير في متوازي المستطيلات، و \( [AB] \) و \( [AD] \) و \( [AE] \) ثلاثة أحرف منطلقة من الرأس \( A \).

\( DF^2=AB^2+AD^2+AE^2 \).

\( DF^2=\left(4\sqrt{5}\right)^2=16\times 5=80 \).

\( AB^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2=4\times 3=12 \) و \( AD^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2=9\times 2=18 \).

\( AE^2=80-12-18=50 \).

\( AE=\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \)

الجواب الصحيح: أ) \( 5\sqrt{2} \)

انشر المربّعين ثمّ اقسم الحصر على 2.

اكتب \( I \) و \( J \) على شكل مجالات قبل التقاطع، وانتبه إلى الأقواس.

\( [DF] \) قطر كبير: طبّق فيتاغور مرّتين.

تمرين عدد 2

نعتبر العبارة \( E=2x-\sqrt{2} \) حيث \( x\in\mathbb{R} \)، إذا علمت أنّ \( |3x-1|\le\dfrac{1}{2} \). ولتكن العبارة \( F=4x^2-4\sqrt{2}\,x+7 \).

الإصلاح

1) أ) بيّن أنّ \( x\in\left[\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{1}{2}\right] \)

القاعدة: إذا كان \( r\ge 0 \) فإنّ \( |X|\le r \) يكافئ \( -r\le X\le r \).

\( \left|3x-1\right|\le\dfrac{1}{2} \) يكافئ \( -\dfrac{1}{2}\le 3x-1\le\dfrac{1}{2} \).

نضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة: \( \dfrac{1}{2}\le 3x\le\dfrac{3}{2} \).

نقسم على 3 وهو موجب: \( \dfrac{1}{6}\le x\le\dfrac{1}{2} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{1}{6}\le x\le\dfrac{1}{2} \)

1) ب) استنتج حصرا لـ \( E \) ثمّ استنتج علامة \( 2x^2-x\sqrt{2} \)

القاعدة: الضرب في عدد موجب يحافظ على الترتيب؛ وجداء عددين مختلفي الإشارة سالب.

من \( \dfrac{1}{6}\le x\le\dfrac{1}{2} \) نضرب في 2: \( \dfrac{1}{3}\le 2x\le 1 \).

نطرح \( \sqrt{2} \) من الأطراف الثلاثة: \( \dfrac{1}{3}-\sqrt{2}\le E\le 1-\sqrt{2} \).

وبما أنّ \( \sqrt{2}>1 \) فإنّ \( 1-\sqrt{2}<0 \)، ومنه \( E<0 \).

ونفكّك: \( 2x^2-x\sqrt{2}=x\left(2x-\sqrt{2}\right)=x\,E \).

و \( x\ge\dfrac{1}{6}>0 \) و \( E<0 \)، فالجداء سالب.

الجواب الصحيح: \( 2x^2-x\sqrt{2} \) سالب قطعا

1) ج) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( \left|2x^2-x\sqrt{2}\right|=\left|\sqrt{2}-2x\right| \)

القاعدة: \( |uv|=|u|\times|v| \) و \( |-X|=|X| \)؛ وجداء منعدم يعني أنّ أحد عامليه منعدم.

\( 2x^2-x\sqrt{2}=x\left(2x-\sqrt{2}\right) \)، إذن \( \left|2x^2-x\sqrt{2}\right|=|x|\times\left|2x-\sqrt{2}\right| \).

و \( \sqrt{2}-2x=-\left(2x-\sqrt{2}\right) \)، إذن \( \left|\sqrt{2}-2x\right|=\left|2x-\sqrt{2}\right| \).

المعادلة تصبح \( |x|\times\left|2x-\sqrt{2}\right|=\left|2x-\sqrt{2}\right| \).

ننقل: \( \left|2x-\sqrt{2}\right|\left(|x|-1\right)=0 \).

إذن \( \left|2x-\sqrt{2}\right|=0 \) أو \( |x|=1 \).

أي \( x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) أو \( x=1 \) أو \( x=-1 \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{-1\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,1\right\} \)

2) أ) بيّن أنّ \( F=E^2+5 \)

القاعدة: المتطابقة \( (u-v)^2=u^2-2uv+v^2 \)، و \( \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \).

\( E^2=\left(2x-\sqrt{2}\right)^2=4x^2-2\times 2x\times\sqrt{2}+2 \).

\( E^2=4x^2-4\sqrt{2}\,x+2 \).

\( E^2+5=4x^2-4\sqrt{2}\,x+7 \)

الجواب الصحيح: \( 4x^2-4\sqrt{2}\,x+7 \)

2) ب) احسب \( F \) إذا كان \( x=\sqrt{3} \) ثمّ استنتج حسابا لـ \( \sqrt{14-4\sqrt{6}} \)

القاعدة: \( \sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)؛ و \( \sqrt{X^2}=|X| \)، وهي تساوي \( X \) إذا كان \( X\ge 0 \).

من أجل \( x=\sqrt{3} \): \( E=2\sqrt{3}-\sqrt{2} \).

\( E^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2-2\times 2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2=12-4\sqrt{6}+2=14-4\sqrt{6} \).

\( F=E^2+5=19-4\sqrt{6} \).

ونلاحظ أنّ \( 14-4\sqrt{6}=\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2 \)، إذن \( \sqrt{14-4\sqrt{6}}=\left|2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right| \).

\( \left(2\sqrt{3}\right)^2=12 \) و \( \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \)، وبما أنّ \( 12>2 \) والعددان موجبان فإنّ \( 2\sqrt{3}>\sqrt{2} \).

\( \sqrt{14-4\sqrt{6}}=2\sqrt{3}-\sqrt{2} \)

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{3}-\sqrt{2} \)

2) ج) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( F=9 \)

القاعدة: المعادلة \( X^2=a \) مع \( a\gt 0 \) لها حلاّن هما \( \sqrt{a} \) و \( -\sqrt{a} \).

\( F=9 \) يكافئ \( E^2+5=9 \) أي \( E^2=4 \).

إذن \( E=2 \) أو \( E=-2 \).

\( 2x-\sqrt{2}=2 \) يعطي \( x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \).

\( 2x-\sqrt{2}=-2 \) يعطي \( x=\dfrac{\sqrt{2}-2}{2} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}\,;\,\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right\} \)

2) د) حلّ في \( \mathbb{Z} \) المتراجحة \( \sqrt{F-5}>\sqrt{2} \)

القاعدة: \( \sqrt{X^2}=|X| \)؛ و \( |X|\gt r \) (مع \( r\gt 0 \)) يكافئ \( X\lt -r \) أو \( X\gt r \)؛ ثمّ نحتفظ بالأعداد الصحيحة النسبية فقط.

\( F-5=E^2 \)، وهو موجب دائما، فالجذر معرّف مهما كان \( x \).

\( \sqrt{F-5}=\sqrt{E^2}=|E|=\left|2x-\sqrt{2}\right| \).

المتراجحة تصبح \( \left|2x-\sqrt{2}\right|>\sqrt{2} \)، أي \( 2x-\sqrt{2}<-\sqrt{2} \) أو \( 2x-\sqrt{2}>\sqrt{2} \).

الحالة الأولى: \( 2x<0 \) أي \( x<0 \).

الحالة الثانية: \( 2x>2\sqrt{2} \) أي \( x>\sqrt{2} \)، و \( \sqrt{2}\approx 1{,}41 \).

في \( \mathbb{Z} \): الأعداد السالبة قطعا هي \( x\le -1 \)، والأعداد التي تفوق \( \sqrt{2} \) هي \( x\ge 2 \).

الجواب الصحيح: كلّ عدد صحيح نسبي عدا 0 و 1

حوّل القيمة المطلقة إلى حصر مزدوج.

اضرب حصر \( x \) في 2 ثمّ اطرح \( \sqrt{2} \)؛ ولاحظ أنّ \( 2x^2-x\sqrt{2}=xE \).

أخرج العامل المشترك داخل القيمة المطلقة.

انشر \( \left(2x-\sqrt{2}\right)^2 \).

عوّض \( x \) بـ \( \sqrt{3} \) في \( E \) ثمّ ربّع.

استعمل \( F=E^2+5 \).

\( F-5 \) مربّع كامل: ما هو \( \sqrt{X^2} \)؟

تمرين عدد 3 (7 نقاط)

وحدة القيس هي الصم. ليكن \( ABCEFG \) موشورا قائما قاعدته المثلث \( ABC \) القائم الزاوية في \( A \) حيث \( AC=2 \) و \( BC=2\sqrt{5} \)؛ والنقاط \( E \) و \( F \) و \( G \) تقابل على التوالي \( A \) و \( B \) و \( C \). \( J \) منتصف \( [EF] \) بحيث المثلث \( ABJ \) متقايس الأضلاع، و \( O \) منتصف \( [AJ] \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( AB=4 \) و \( OB=2\sqrt{3} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم الزاوية؛ وفي مثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه \( a \) يكون الارتفاع (وهو أيضا المتوسّط) مساويا لـ \( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \).

المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، إذن \( AB^2=BC^2-AC^2 \).

\( AB^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2^2=20-4=16 \).

\( AB=\sqrt{16}=4 \)

المثلث \( ABJ \) متقايس الأضلاع، إذن \( AJ=BJ=AB=4 \).

\( O \) منتصف \( [AJ] \)، إذن \( [BO] \) هو المتوسّط الصادر من \( B \)، وهو أيضا الارتفاع في مثلث متقايس الأضلاع.

\( OB=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \)

الجواب الصحيح: \( AB=4 \) و \( OB=2\sqrt{3} \)

2) أ) بيّن أنّ \( (AJ)\perp(CA) \)

القاعدة: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستو فهو عمودي على هذا المستوي، ويكون عندئذ عموديا على كلّ مستقيم من هذا المستوي.

في القاعدة \( ABC \) القائمة الزاوية في \( A \) لدينا \( (CA)\perp(AB) \).

و \( [AE] \) حرف جانبي في موشور قائم، إذن \( (AE) \) عمودي على مستوي القاعدة الذي يحوي \( (CA) \)، ومنه \( (CA)\perp(AE) \).

فالمستقيم \( (CA) \) عمودي على المستقيمين المتقاطعين \( (AB) \) و \( (AE) \) من المستوي \( (ABFE) \).

إذن \( (CA) \) عمودي على المستوي \( (ABFE) \).

و \( J\in[EF] \) و \( A \) من هذا المستوي، إذن \( (AJ) \) محمول على \( (ABFE) \).

الجواب الصحيح: \( (AJ)\perp(CA) \)

2) ب) استنتج \( CO \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم الزاوية.

\( O \) نقطة من \( [AJ] \)، و \( (CA)\perp(AJ) \)، إذن المثلث \( CAO \) قائم الزاوية في \( A \).

\( O \) منتصف \( [AJ] \) و \( AJ=4 \)، إذن \( AO=2 \).

\( CO^2=CA^2+AO^2=2^2+2^2=8 \).

\( CO=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \)

الجواب الصحيح: \( 2\sqrt{2} \)

3) أ) بيّن أنّ المثلث \( COB \) قائم الزاوية

القاعدة: مبرهنة فيتاغور العكسية.

\( CO^2=8 \) و \( OB^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2=12 \) و \( CB^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2=20 \).

\( CO^2+OB^2=8+12=20 \).

نلاحظ أنّ \( CO^2+OB^2=CB^2 \).

حسب مبرهنة فيتاغور العكسية، المثلث \( COB \) قائم الزاوية في \( O \).

الجواب الصحيح: المثلث \( COB \) قائم الزاوية في \( O \)

3) ب) بيّن أنّ \( (OB)\perp(CAJ) \)

القاعدة: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستو فهو عمودي على هذا المستوي.

من السؤال السابق \( (OB)\perp(OC) \).

وفي المثلث \( ABJ \) المتقايس الأضلاع، \( [BO] \) هو المتوسّط الصادر من \( B \) وهو أيضا الارتفاع، إذن \( (OB)\perp(AJ) \).

والمستقيمان \( (OC) \) و \( (AJ) \) متقاطعان في \( O \) ومحمولان على المستوي \( (CAJ) \).

الجواب الصحيح: \( (OB)\perp(CAJ) \)

4) أ) لتكن \( I \) منتصف \( [FG] \). بيّن أنّ \( (IJ)\parallel(AC) \)

القاعدة: القطعة الرابطة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث؛ ووجها موشور قائم متقايسان ومتوازيان، فـ \( (EG)\parallel(AC) \).

في المثلث \( EFG \): \( J \) منتصف \( [EF] \) و \( I \) منتصف \( [FG] \).

إذن \( [JI] \) قطعة رابطة، ومنه \( (IJ)\parallel(EG) \).

والرباعي \( AEGC \) متوازي أضلاع لأنّ \( [AE] \) و \( [CG] \) حرفان جانبيان متوازيان ومتقايسان في موشور قائم.

ومنه \( (EG)\parallel(AC) \).

وبما أنّ \( (IJ)\parallel(EG) \) و \( (EG)\parallel(AC) \) فإنّ \( (IJ)\parallel(AC) \).

الجواب الصحيح: \( (IJ)\parallel(AC) \)

4) ب) استنتج أنّ المثلث \( BOI \) قائم الزاوية

القاعدة: مستقيم عمودي على مستو يكون عموديا على كلّ مستقيم من هذا المستوي؛ والمستقيم المارّ من نقطة من مستو والموازي لمستقيم من هذا المستوي يبقى محمولا عليه.

\( J \) نقطة من المستوي \( (CAJ) \)، و \( (IJ)\parallel(AC) \) و \( (AC) \) محمول على \( (CAJ) \).

إذن المستقيم \( (IJ) \) محمول على المستوي \( (CAJ) \)، ومنه \( I \) نقطة من \( (CAJ) \).

و \( O \) نقطة من \( (CAJ) \) لأنّها من \( [AJ] \)، إذن \( (OI) \) محمول على \( (CAJ) \).

ومن السؤال 3) ب) لدينا \( (OB)\perp(CAJ) \)، فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي، ومنها \( (OI) \).

إذن \( (OB)\perp(OI) \).

الجواب الصحيح: المثلث \( BOI \) قائم الزاوية في \( O \)

فيتاغور في القاعدة، ثمّ الارتفاع في مثلث متقايس الأضلاع.

على أيّ مستقيمين من المستوي \( (ABFE) \) يكون \( (CA) \) عموديا؟

المثلث \( CAO \) قائم في \( A \): ما هو \( AO \)؟

قارن \( CO^2+OB^2 \) بـ \( CB^2 \).

مستقيمان متقاطعان من \( (CAJ) \) عموديان على \( (OB) \).

\( [JI] \) قطعة رابطة في المثلث \( EFG \).

هل تنتمي \( I \) إلى المستوي \( (CAJ) \)؟

تمرين عدد 4 (3 نقاط)

وحدة القيس هي الصم. \( ABC \) مثلث قائم الزاوية في \( A \) و \( ECD \) مثلث قائم الزاوية في \( D \)، حيث \( AD=5 \) و \( AB=2 \) و \( AC=x \) و \( ED=4 \)، مع \( x\in\mathbb{R}_+^{*} \) والنقطة \( C \) من \( [AD] \).

الإصلاح

1) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( x^2+4=(5-x)^2+16 \)

القاعدة: المتطابقة \( (u-v)^2=u^2-2uv+v^2 \)؛ وإذا اختفت حدود الدرجة الثانية آلت المعادلة إلى الدرجة الأولى.

ننشر الطرف الأيسر: \( (5-x)^2+16=25-10x+x^2+16=x^2-10x+41 \).

المعادلة تصبح \( x^2+4=x^2-10x+41 \).

نطرح \( x^2 \) من الطرفين: \( 4=-10x+41 \).

\( 10x=37 \).

\( x=\dfrac{37}{10}=3{,}7 \)

الجواب الصحيح: \( 3{,}7 \)

2) أ) اكتب \( BC \) بدلالة \( x \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم الزاوية في \( A \).

المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، إذن \( BC^2=AB^2+AC^2 \).

\( BC^2=2^2+x^2=x^2+4 \).

و \( BC \) طول موجب، إذن \( BC=\sqrt{x^2+4} \)

الجواب الصحيح: \( \sqrt{x^2+4} \)

2) ب) أوجد حصرا لـ \( x \)

القاعدة: إذا كانت النقطة \( C \) تنتمي إلى القطعة \( [AD] \) فإنّ \( 0\le AC\le AD \).

النقطة \( C \) تنتمي إلى \( [AD] \) و \( AD=5 \)، إذن \( 0\le AC\le 5 \).

و \( AC=x \) مع \( x\in\mathbb{R}_+^{*} \)، فـ \( x \) مخالف للصفر.

ولو كان \( x=5 \) لانطبقت \( C \) على \( D \) ولم يوجد المثلث \( ECD \).

إذن \( 0<x<5 \)

الجواب الصحيح: \( x\in\left]0\,;\,5\right[ \)

3) أوجد \( x \) في حالة تقايس الضلعين \( [BC] \) و \( [EC] \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث \( ECD \) القائم الزاوية في \( D \)؛ وتقايس قطعتين يعني تساوي طوليهما.

\( C\in[AD] \) و \( AC=x \) و \( AD=5 \)، إذن \( CD=5-x \).

المثلث \( ECD \) قائم الزاوية في \( D \)، إذن \( EC^2=ED^2+DC^2=16+(5-x)^2 \).

\( [BC] \) و \( [EC] \) متقايسان يعني \( BC^2=EC^2 \).

\( x^2+4=(5-x)^2+16 \)، وهي معادلة السؤال 1.

حلّها هو \( x=3{,}7 \)، وهو ينتمي إلى \( \left]0\,;\,5\right[ \) فهو مقبول.

الجواب الصحيح: \( 3{,}7 \)

انشر \( (5-x)^2 \): ماذا يحدث لحدود الدرجة الثانية؟

فيتاغور في \( ABC \).

\( C \) بين \( A \) و \( D \): ماذا يعني ذلك لـ \( AC \)؟

اكتب \( EC^2 \) بفيتاغور في \( ECD \)، ثمّ ساوِ المربّعين.