\( \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \) و \( 1^2=1 \)، وبما أنّ \( 2>1 \) والعددان موجبان فإنّ \( \sqrt{2}>1 \).

ومنه \( 1-\sqrt{2}<0 \).

نقسم طرفي المتراجحة على \( 1-\sqrt{2} \) وهو سالب، فتنقلب المتفاوتة: \( x\le\dfrac{2}{1-\sqrt{2}} \).

الجواب الصحيح: B) \( x\in\left]-\infty\,;\,\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\right] \)

العدد 6 لا ينتمي إلى \( I \) لأنّ \( 6>5 \)، ولا ينتمي إلى \( J \) لأنّ \( 6<7 \).

إذن \( 6\notin I\cup J \)، وهذا يستبعد الاقتراحين A و B اللذين يحتويان على 6.

والمجالان \( \left]-\infty\,;\,5\right[ \) و \( [7\,;\,10] \) منفصلان، فاتّحادهما يبقى مكتوبا على شكل اتّحاد.

الجواب الصحيح: C) \( \left]-\infty\,;\,5\right[\cup[7\,;\,10] \)

\( |x| \) هو بعد النقطة ذات الأفصول \( x \) عن المبدأ، والشرط \( |x|\le 1 \) يعني أنّ هذا البعد لا يتجاوز 1.

ومنه \( -1\le x\le 1 \).

الاقتراح C هو مجموعة حلول \( |x|\ge 1 \)، والاقتراح A يهمل الشرط \( x\ge -1 \).

الجواب الصحيح: B) \( -1\le x\le 1 \)

من \( -7\le a\le -3 \) نطرح 3: \( -10\le a-3\le -6 \).

إذن \( a-3\le -6 \)، فهو سالب قطعا ومخالف للصفر.

ومنه \( |a-3|=-(a-3) \).

\( \dfrac{a-3}{|a-3|}=\dfrac{a-3}{-(a-3)}=-1 \)

الجواب الصحيح: A) \( -1 \)

\( E=(x+1)^2-9=x^2+2x+1-9 \).

\( E=x^2+2x-8 \)

الجواب الصحيح: \( x^2+2x-8 \)

\( x^2+2x-8\le x^2+1 \).

نطرح \( x^2 \) من الطرفين: \( 2x-8\le 1 \).

نضيف 8: \( 2x\le 9 \).

نقسم على 2 وهو موجب: \( x\le\dfrac{9}{2} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left]-\infty\,;\,\dfrac{9}{2}\right] \)

نطرح 1 من الطرفين: \( -2|G|\le 4 \).

نقسم على \( -2 \) وهو سالب فتنقلب المتفاوتة: \( |G|\ge -2 \).

وهذا محقّق دائما لأنّ القيمة المطلقة موجبة أو منعدمة، ومنها \( |G|\ge 0>-2 \).

إذن كلّ عدد حقيقي حلّ للمتراجحة.

الجواب الصحيح: \( S=\mathbb{R} \)

في \( F=(x+3)(x-2)+(x-2)^2 \) العامل المشترك هو \( (x-2) \).

\( F=(x-2)\left[(x+3)+(x-2)\right]=(x-2)(2x+1) \)

وفي \( E=(x+1)^2-9=(x+1)^2-3^2 \) نتعرّف على فرق مربّعين.

\( E=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4) \)

الجواب الصحيح: \( (x-2)(x+4) \)

\( E=0 \) يكافئ \( (x-2)(x+4)=0 \).

إذن \( x-2=0 \) أو \( x+4=0 \).

أي \( x=2 \) أو \( x=-4 \).

الجواب الصحيح: \( S=\{-4\,;\,2\} \)

\( E+F=(x-2)(x+4)+(x-2)(2x+1) \).

العامل المشترك هو \( (x-2) \): \( E+F=(x-2)\left[(x+4)+(2x+1)\right] \).

\( E+F=(x-2)(3x+5) \).

المعادلة \( (x-2)(3x+5)=0 \) تعطي \( x=2 \) أو \( 3x=-5 \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{-\dfrac{5}{3}\,;\,2\right\} \)

\( I=\left]-3\,;\,2\right[ \): نظلّل ما بين \( -3 \) و 2 مع قوسين مفتوحين، فالطرفان لا ينتميان إليه.

\( J=\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[ \): نظلّل كلّ ما هو على يسار \( -\dfrac{1}{2} \) مع سهم نحو اليسار وقوس مفتوح عند \( -\dfrac{1}{2} \).

\( K=\left]-1\,;\,\dfrac{5}{2}\right[ \): نظلّل ما بين \( -1 \) و \( \dfrac{5}{2} \) مع قوسين مفتوحين.

الجواب الصحيح: ثلاثة تظليلات بأقواس مفتوحة عند \( -3 \) و 2 ثمّ عند \( -\dfrac{1}{2} \) ثمّ عند \( -1 \) و \( \dfrac{5}{2} \)

\( I=\left]-3\,;\,2\right[ \) و \( K=\left]-1\,;\,\dfrac{5}{2}\right[ \): أكبر الطرفين الأيسرين هو \( -1 \) وأصغر الطرفين الأيمنين هو 2.

\( I\cap K=\left]-1\,;\,2\right[ \)

\( I=\left]-3\,;\,2\right[ \) و \( J=\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[ \) متداخلان (كلاهما يحوي \( -1 \) مثلا).

الاتّحاد يمتدّ إذن من \( -\infty \) إلى 2 مع قوس مفتوح في 2.

الجواب الصحيح: \( I\cap K=\left]-1\,;\,2\right[ \) و \( I\cup J=\left]-\infty\,;\,2\right[ \)

\( -5<-\dfrac{1}{2} \): إذن \( -5 \) ينتمي إلى \( J \).

\( 0>-\dfrac{1}{2} \): إذن 0 لا ينتمي إلى \( J \).

\( \pi\approx 3{,}14>-\dfrac{1}{2} \): إذن \( \pi \) لا ينتمي إلى \( J \).

\( -\sqrt{2}\approx -1{,}41<-\dfrac{1}{2} \): إذن \( -\sqrt{2} \) ينتمي إلى \( J \).

\( -\dfrac{1}{2} \) لا ينتمي إلى \( J \) لأنّ المجال مفتوح في \( -\dfrac{1}{2} \).

الجواب الصحيح: \( \left\{-5\,;\,-\sqrt{2}\right\} \)

\( -3\le a\le -2 \) وكلّ الأطراف سالبة، فالتربيع يقلب الترتيب: \( (-2)^2\le a^2\le(-3)^2 \) أي \( 4\le a^2\le 9 \).

من \( 4\le b\le 5 \) نستنتج \( -5\le -b\le -4 \).

بالجمع طرفا طرفا: \( 4-5\le a^2-b\le 9-4 \)، أي \( -1\le a^2-b\le 5 \).

ومن \( 4\le b\le 5 \) والأطراف موجبة: \( 16\le b^2\le 25 \)، ثمّ بالقلب \( \dfrac{1}{25}\le\dfrac{1}{b^2}\le\dfrac{1}{16} \).

جداءات الأطراف مع \( -3\le a\le -2 \): \( -\dfrac{3}{25} \) و \( -\dfrac{3}{16} \) و \( -\dfrac{2}{25} \) و \( -\dfrac{2}{16}=-\dfrac{1}{8} \).

أصغرها \( -\dfrac{3}{16} \) وأكبرها \( -\dfrac{2}{25} \).

الجواب الصحيح: \( -1\le a^2-b\le 5 \) و \( -\dfrac{3}{16}\le\dfrac{a}{b^2}\le-\dfrac{2}{25} \)

\( [BC] \) قطر الدائرة و \( BC=6 \)، إذن الشعاع \( =\dfrac{6}{2}=3 \).

\( A \) و \( B \) نقطتان من الدائرة، إذن \( OA=OB=3 \).

ولدينا \( AB=3 \) من المعطيات.

ومنه \( OA=OB=AB=3 \).

الجواب الصحيح: \( OAB \) متقايس الأضلاع طول ضلعه 3

\( A \) نقطة من الدائرة \( (\mathcal{C}) \) التي قطرها \( [BC] \)، إذن المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \).

حسب مبرهنة فيتاغور: \( AC^2=BC^2-AB^2=36-9=27 \).

\( AC=\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3} \)

الجواب الصحيح: \( 3\sqrt{3} \)

\( H \) هو المسقط العمودي لـ \( A \) على \( (BC) \)، إذن \( [AH] \) هو الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة \( A \).

\( AH\times BC=AB\times AC \) يعطي \( AH\times 6=3\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3} \).

\( AH=\dfrac{9\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)

النقاط \( H \) و \( O \) و \( B \) على المستقيم \( (BC) \)، والنقاط \( H \) و \( A \) و \( F \) على المستقيم \( (AF) \).

وبما أنّ \( (OA)\parallel(BF) \)، فحسب مبرهنة طالس: \( \dfrac{HO}{HB}=\dfrac{HA}{HF} \).

وفي المثلث \( OAB \) المتقايس الأضلاع، الارتفاع \( [AH] \) الصادر من \( A \) هو أيضا متوسّط، إذن \( H \) منتصف \( [OB] \) ومنه \( HO=HB \).

فالنسبة \( \dfrac{HO}{HB}=1 \)، ومنه \( \dfrac{HA}{HF}=1 \) أي \( HA=HF \): فـ \( H \) منتصف \( [AF] \).

قطرا الرباعي \( OABF \) هما \( [OB] \) و \( [AF] \)، وهما يتقاطعان في منتصفيهما \( H \): فالرباعي متوازي أضلاع.

و \( (AF)\perp(OB) \) لأنّ \( (AH)\perp(BC) \): فقطراه متعامدان.

الجواب الصحيح: \( OABF \) معيّن