إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

التمرين رقم 2

ليكن \( x \) عددا حقيقيا بحيث \( -3\le x\le 1 \)، ولتكن العبارة \( A=\dfrac{2x-1}{x-2} \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( x-2\ne 0 \)

القاعدة: نستعمل الحصر المعطى لتعيين إشارة العبارة؛ وعدد سالب قطعا يكون بالضرورة مخالفا للصفر.

لدينا \( -3\le x\le 1 \).

نطرح 2 من الأطراف الثلاثة: \( -5\le x-2\le -1 \).

إذن \( x-2\le -1 \)، فهو سالب قطعا.

ومنه \( x-2\ne 0 \) والكسر \( A \) معرّف.

الجواب الصحيح: \( -5\le x-2\le -1 \) إذن \( x-2 \) سالب قطعا

2) أوجد حصرا لـ \( \dfrac{1}{x-2} \)

القاعدة: قلب عددين لهما نفس الإشارة يقلب ترتيبهما: إذا كان \( u\lt v\lt 0 \) فإنّ \( \dfrac{1}{v}\lt\dfrac{1}{u} \).

لدينا \( -5\le x-2\le -1 \) وكلّ الأطراف سالبة.

بالقلب ينقلب الترتيب: \( \dfrac{1}{-1}\le\dfrac{1}{x-2}\le\dfrac{1}{-5} \).

\( -1\le\dfrac{1}{x-2}\le-\dfrac{1}{5} \)

ملاحظة: نصّ التمرين يطلب إثبات \( -1\le\dfrac{1}{x-2}\le-\dfrac{1}{4} \)، وهذا خطأ في نصّ السؤال: من أجل \( x=-3 \) يكون \( \dfrac{1}{x-2}=-\dfrac{1}{5} \) وهو أكبر من \( -\dfrac{1}{4} \). لو كان الحصر المعطى \( -2\le x\le 1 \) لصحّ ما طُلب.

الجواب الصحيح: \( -1\le\dfrac{1}{x-2}\le-\dfrac{1}{5} \)

3) أ) بيّن أنّ \( A=2+\dfrac{3}{x-2} \)

القاعدة: لتوحيد المقامات نكتب \( 2=\dfrac{2(x-2)}{x-2} \).

\( 2+\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2(x-2)}{x-2}+\dfrac{3}{x-2} \).

\( =\dfrac{2x-4+3}{x-2} \).

\( 2+\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2x-1}{x-2} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{2x-1}{x-2} \)

3) ب) استنتج حصرا لـ \( A \)

القاعدة: الضرب في عدد موجب يحافظ على الترتيب، وإضافة عدد إلى الأطراف لا تغيّره.

ننطلق من \( -1\le\dfrac{1}{x-2}\le-\dfrac{1}{5} \) ونضرب في 3 وهو موجب.

\( -3\le\dfrac{3}{x-2}\le-\dfrac{3}{5} \).

نضيف 2 إلى الأطراف الثلاثة.

\( -1\le A\le\dfrac{7}{5} \)

الجواب الصحيح: \( -1\le A\le\dfrac{7}{5} \)

اطرح 2 من أطراف الحصر المعطى.

الأطراف كلّها سالبة: القلب يقلب الترتيب.

وحّد المقامات في \( 2+\dfrac{3}{x-2} \).

اضرب الحصر السابق في 3 ثمّ أضف 2.

التمرين رقم 3

نعتبر المجموعة \( E=\{x\in\mathbb{R}\ ,\ -5<-x-3<0\} \) و \( y \) عدد حقيقي بحيث \( -2<y<1 \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( E=\left]-3\,;\,2\right[ \)

القاعدة: إضافة عدد إلى أطراف حصر لا تغيّره؛ والضرب في \( -1 \) يقلب المتفاوتات وترتيب الأطراف.

ننطلق من \( -5<-x-3<0 \) ونضيف 3 إلى الأطراف الثلاثة: \( -2<-x<3 \).

نضرب في \( -1 \) فتنقلب المتفاوتات: \( 2>x>-3 \).

نعيد الترتيب: \( -3<x<2 \).

الجواب الصحيح: \( E=\left]-3\,;\,2\right[ \)

2) أ) أوجد حصرا لـ \( x-y \) ثمّ حدّد مداه

القاعدة: لطرح حصرين نقلب أوّلا حصر المطروح: من \( m\lt y\lt M \) نستنتج \( -M\lt -y\lt -m \)، ثمّ نجمع طرفا طرفا. والمدى هو الفرق بين طرفي الحصر.

من \( -2<y<1 \) نستنتج \( -1<-y<2 \).

ولدينا \( -3<x<2 \).

بالجمع طرفا طرفا: \( -3+(-1)<x-y<2+2 \)، أي \( -4<x-y<4 \).

المدى \( =4-(-4)=8 \)

الجواب الصحيح: \( -4<x-y<4 \) ومداه \( 8 \)

2) ب) استنتج أنّ \( 0\le (x-y)^2<16 \)

القاعدة: \( -r\lt X\lt r \) يكافئ \( |X|\lt r \)؛ ومربّع كلّ عدد حقيقي موجب أو منعدم، و \( X^2=|X|^2 \).

من \( -4<x-y<4 \) نستنتج \( |x-y|<4 \).

والطرفان موجبان، فالتربيع يحافظ على الترتيب: \( |x-y|^2<16 \).

و \( |x-y|^2=(x-y)^2 \).

ومربّع كلّ عدد حقيقي موجب أو منعدم، إذن \( 0\le (x-y)^2 \).

الجواب الصحيح: \( 0\le (x-y)^2<16 \)

3) نعتبر العبارتين \( a=(4-y)(4+y) \) و \( b=x(x-2y) \). بيّن أنّ \( a>b \)

القاعدة: لمقارنة عبارتين ندرس إشارة الفرق \( a-b \)؛ والمتطابقات \( (u-v)(u+v)=u^2-v^2 \) و \( (u-v)^2=u^2-2uv+v^2 \).

ننشر: \( a=(4-y)(4+y)=16-y^2 \).

وننشر: \( b=x(x-2y)=x^2-2xy \).

\( a-b=16-y^2-x^2+2xy=16-\left(x^2-2xy+y^2\right) \).

\( a-b=16-(x-y)^2 \).

ومن السؤال السابق \( (x-y)^2<16 \)، إذن \( 16-(x-y)^2>0 \).

ومنه \( a-b>0 \).

الجواب الصحيح: \( a>b \)

أضف 3 إلى الأطراف ثمّ اضرب في \( -1 \).

اقلب حصر \( y \) للحصول على حصر \( -y \) ثمّ اجمع.

حصر متناظر حول الصفر يترجم إلى قيمة مطلقة.

انشر \( a \) و \( b \) ثمّ ادرس \( a-b \): هل تتعرّف على متطابقة؟

التمرين رقم 4

لتكن الدائرة \( (\zeta) \) مركزها \( O \) وقطرها \( [AB] \) حيث \( AB=9 \) صم. نعيّن \( I \) نقطة من الدائرة حيث \( AI=7 \) صم، ثمّ النقطة \( C \) مناظرة النقطة \( B \) بالنسبة إلى \( I \)، و \( G \) نقطة تقاطع المستقيمين \( (AI) \) و \( (OC) \). المستقيم الموازي لـ \( (AB) \) والمارّ من \( I \) يقطع \( [AC] \) في النقطة \( J \). والمستقيم \( (AC) \) يقطع الدائرة \( (\zeta) \) في نقطة ثانية \( M \)، ولتكن \( H \) نقطة تقاطع المستقيمين \( (BM) \) و \( (AI) \).

الإصلاح

1) ج) بيّن أنّ \( G \) مركز ثقل المثلّث \( ABC \) ثمّ احسب \( IG \)

القاعدة: متوسّطات مثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمّى مركز الثقل، وهي تبعد عن كلّ رأس بثلثي المتوسّط الصادر منه، أي بثلثه عن منتصف الضلع المقابل.

\( C \) مناظرة \( B \) بالنسبة إلى \( I \)، إذن \( I \) منتصف \( [BC] \)، ومنه \( (AI) \) متوسّط في المثلّث \( ABC \).

\( O \) مركز الدائرة وقطرها \( [AB] \)، إذن \( O \) منتصف \( [AB] \)، ومنه \( (CO) \) متوسّط في المثلّث \( ABC \).

\( G \) نقطة تقاطع المتوسّطين \( (AI) \) و \( (CO) \)، إذن \( G \) هو مركز ثقل المثلّث \( ABC \).

ومركز الثقل يبعد عن منتصف الضلع بثلث المتوسّط: \( IG=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{7}{3} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{7}{3} \)

2) أ) احسب \( IJ \)

القاعدة: في مثلث، المستقيم المارّ من منتصف ضلع والموازي لضلع ثان يقطع الضلع الثالث في منتصفه، والقطعة الرابطة بين المنتصفين طولها نصف طول الضلع الموازي لها.

في المثلّث \( ABC \): \( I \) منتصف \( [BC] \) و \( (IJ)\parallel(AB) \) و \( J\in[AC] \).

إذن \( J \) هو منتصف \( [AC] \)، و \( [IJ] \) قطعة رابطة بين منتصفي \( [BC] \) و \( [AC] \).

ومنه \( IJ=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{9}{2} \).

\( IJ=4{,}5 \)

الجواب الصحيح: \( 4{,}5 \)

2) ب) بيّن أنّ النقاط \( B \) و \( G \) و \( J \) على استقامة واحدة

القاعدة: مركز ثقل مثلث ينتمي إلى المتوسّطات الثلاثة.

\( J \) منتصف \( [AC] \) (السؤال السابق)، إذن \( (BJ) \) هو المتوسّط الصادر من \( B \) في المثلّث \( ABC \).

و \( G \) مركز ثقل المثلّث \( ABC \)، فهو ينتمي إلى المتوسّطات الثلاثة، ومنها \( (BJ) \).

إذن \( G\in(BJ) \).

الجواب الصحيح: النقاط \( B \) و \( G \) و \( J \) على استقامة واحدة

2) ج) بيّن أنّ الرباعي \( OIJA \) متوازي أضلاع

القاعدة: رباعي ضلعاه المتقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع؛ وقاعدة الربط بين منتصفي ضلعين في مثلث.

في المثلّث \( ABC \): \( O \) منتصف \( [AB] \) و \( I \) منتصف \( [BC] \)، إذن \( (OI)\parallel(AC) \) و \( OI=\dfrac{AC}{2} \).

و \( J \) منتصف \( [AC] \)، إذن \( AJ=\dfrac{AC}{2} \) و \( [AJ] \) محمول على \( (AC) \).

ومنه \( [OI] \) و \( [AJ] \) متوازيان ومتقايسان.

وهما الضلعان المتقابلان في الرباعي \( OIJA \).

الجواب الصحيح: \( OIJA \) متوازي أضلاع

3) بيّن أنّ \( (CH) \) عمودي على \( (IJ) \)

القاعدة: كلّ مثلث محاط بدائرة قطرها أحد أضلاعه يكون قائم الزاوية في الرأس الثالث؛ وارتفاعات مثلث تتقاطع في نقطة واحدة؛ وإذا كان مستقيم عموديا على أحد مستقيمين متوازيين فهو عمودي على الآخر.

\( I \) نقطة من الدائرة \( (\zeta) \) التي قطرها \( [AB] \)، إذن المثلّث \( AIB \) قائم الزاوية في \( I \)، أي \( (AI)\perp(IB) \).

و \( I\in[BC] \)، إذن \( (IB) \) هو المستقيم \( (BC) \)، ومنه \( (AI)\perp(BC) \): فـ \( (AI) \) ارتفاع في المثلّث \( ABC \).

\( M \) نقطة من الدائرة \( (\zeta) \) التي قطرها \( [AB] \)، إذن المثلّث \( AMB \) قائم الزاوية في \( M \)، أي \( (BM)\perp(AM) \).

و \( M\in(AC) \)، إذن \( (BM)\perp(AC) \): فـ \( (BM) \) ارتفاع في المثلّث \( ABC \).

\( H \) نقطة تقاطع الارتفاعين \( (AI) \) و \( (BM) \)، فهي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلّث \( ABC \)، ومنه \( (CH) \) هو الارتفاع الثالث: \( (CH)\perp(AB) \).

وبما أنّ \( (IJ)\parallel(AB) \) فإنّ \( (CH)\perp(IJ) \).

الجواب الصحيح: \( (CH)\perp(IJ) \)

ما هي القطع التي تمرّ من منتصفات الأضلاع؟

\( (IJ) \) مارّ من منتصف \( [BC] \) وموازٍ لـ \( (AB) \).

مركز الثقل ينتمي إلى المتوسّطات الثلاثة.

استعمل قاعدة الربط في المثلّث \( ABC \).

ماذا تعطي دائرة قطرها \( [AB] \) بالنسبة إلى النقطتين \( I \) و \( M \)؟