إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

تمرين رقم 1 (4 ن) — عن امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي

أنقل في كلّ مرّة، على ورقة تحريرك، رقم السؤال والإجابة الوحيدة الصحيحة الموافقة له.

الإصلاح

1) مجموعة حلول المتراجحة \( 6x-5<4x+1 \) في \( \mathbb{R} \) هي: \( \left]-\infty\,;\,3\right[ \) — \( \left]-\infty\,;\,-3\right[ \) — \( \left]3\,;\,+\infty\right[ \)

القاعدة: نجمع المجاهيل في طرف والأعداد في الطرف الآخر؛ والقسمة على عدد موجب لا تغيّر المتفاوتة.

نطرح \( 4x \) من الطرفين: \( 2x-5<1 \).

نضيف 5 إلى الطرفين: \( 2x<6 \).

نقسم على 2 وهو موجب: \( x<3 \).

الجواب الصحيح: \( \left]-\infty\,;\,3\right[ \)

2) \( x \) عدد حقيقي حيث \( |x-3|<4 \). مدى حصر \( x \) هو: 4 — 7 — 8

القاعدة: \( |X|\lt r \) يكافئ \( -r\lt X\lt r \)؛ ومدى الحصر هو الفرق بين طرفيه.

\( |x-3|<4 \) يكافئ \( -4<x-3<4 \).

نضيف 3 إلى الأطراف الثلاثة: \( -1<x<7 \).

المدى \( =7-(-1)=8 \)

الجواب الصحيح: \( 8 \)

3) \( ABCD \) مربّع بحيث \( AB=1 \) صم و \( I \) منتصف \( [AB] \). الدائرة التي مركزها \( I \) وتمرّ من النقطة \( C \) تقطع نصف المستقيم \( [AB) \) في نقطة \( E \). إذن: \( EI=\dfrac{3}{2} \) — \( EI=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \) — \( EI=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \)

القاعدة: كلّ نقطة من دائرة تبعد عن مركزها بمقدار الشعاع؛ ومبرهنة فيتاغور في المثلث القائم الزاوية.

\( E \) تنتمي إلى الدائرة التي مركزها \( I \)، إذن \( EI \) يساوي شعاع الدائرة.

والدائرة تمرّ من \( C \)، إذن شعاعها هو \( IC \)، ومنه \( EI=IC \).

\( I \) منتصف \( [AB] \) إذن \( IB=\dfrac{1}{2} \)، والمثلث \( IBC \) قائم الزاوية في \( B \) لأنّ \( ABCD \) مربّع.

\( IC^2=IB^2+BC^2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4} \).

\( IC=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)

4) إذا كان \( ABCDEFGH \) مكعّبا فإنّ المثلّث \( CEH \) هو: متقايس الأضلاع — متقايس الضلعين — قائم الزاوية

القاعدة: في المكعّب، كلّ حرف عمودي على الوجه الذي يلتقيه؛ وإذا كان مستقيم عموديا على مستو فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.

نسمّي \( a \) طول حرف المكعّب.

\( [EH] \) حرف، إذن \( EH=a \).

\( [HC] \) قطر الوجه \( DCGH \)، إذن \( HC=a\sqrt{2} \) (قطر مربّع طول ضلعه \( a \)).

\( [EC] \) قطر المكعّب، وهو وتر مثلث قائم ضلعاه \( EH=a \) و \( HC=a\sqrt{2} \).

الحرف \( [EH] \) عمودي على الوجه \( DCGH \) الذي يحوي \( (HC) \)، إذن \( (EH)\perp(HC) \): المثلث \( CEH \) قائم الزاوية في \( H \).

وهو ليس متقايس الأضلاع ولا متقايس الضلعين لأنّ \( a\ne a\sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: قائم الزاوية في \( H \)

اجمع المجاهيل في طرف والأعداد في الطرف الآخر.

حوّل القيمة المطلقة إلى حصر مزدوج ثمّ احسب الفرق بين الطرفين.

\( E \) على الدائرة و \( C \) عليها أيضا: ماذا يعني ذلك بالنسبة إلى \( IE \) و \( IC \)؟

احسب أطوال الأضلاع الثلاثة بدلالة حرف المكعّب.

تمرين رقم 2

I / حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلات التالية. II / نعتبر العبارة \( A=\dfrac{2x+5}{x+1} \) بحيث \( x\in[-3\,;\,-2] \).

الإصلاح

I) أ) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( \sqrt{2}\left(\sqrt{2}\,t-1\right)-\left(t-\sqrt{2}\right)=t \)

القاعدة: \( \sqrt{a}\times\sqrt{a}=a \) إذا كان \( a\ge 0 \)؛ وإذا آلت المعادلة إلى مساواة صحيحة دائما فمجموعة حلولها هي \( \mathbb{R} \).

ننشر: \( \sqrt{2}\left(\sqrt{2}\,t-1\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2 t-\sqrt{2}=2t-\sqrt{2} \).

ونزيل القوس الثاني: \( -\left(t-\sqrt{2}\right)=-t+\sqrt{2} \).

الطرف الأيمن يصبح: \( 2t-\sqrt{2}-t+\sqrt{2}=t \).

فالمعادلة تصبح \( t=t \)، وهي محقّقة مهما كان العدد الحقيقي \( t \).

الجواب الصحيح: \( S=\mathbb{R} \)

I) ب) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( (t+1)^2-4=0 \)

القاعدة: فرق مربّعين \( u^2-v^2=(u-v)(u+v) \)؛ وجداء منعدم يعني أنّ أحد عامليه منعدم.

\( (t+1)^2-4=(t+1)^2-2^2 \).

نفكّك: \( (t+1-2)(t+1+2)=(t-1)(t+3) \).

المعادلة تصبح \( (t-1)(t+3)=0 \).

إذن \( t-1=0 \) أو \( t+3=0 \)، أي \( t=1 \) أو \( t=-3 \).

الجواب الصحيح: \( S=\{-3\,;\,1\} \)

II) 1) أ) بيّن أنّ \( x+1\ne 0 \)

القاعدة: لكي يكون كسر معرّفا يجب أن يكون مقامه مخالفا للصفر؛ ونستعمل الحصر المعطى لتعيين إشارة المقام.

لدينا \( -3\le x\le -2 \).

نضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة: \( -2\le x+1\le -1 \).

إذن \( x+1\le -1 \)، وهو عدد سالب قطعا.

ومنه \( x+1 \) مخالف للصفر، والكسر \( A \) معرّف.

الجواب الصحيح: \( -2\le x+1\le -1 \) إذن \( x+1 \) سالب قطعا

II) 1) ب) أوجد حصرا لـ \( \dfrac{1}{x+1} \)

القاعدة: إذا كان \( u \) و \( v \) لهما نفس الإشارة و \( u\lt v \) فإنّ \( \dfrac{1}{v}\lt\dfrac{1}{u} \): قلب عددين لهما نفس الإشارة يقلب الترتيب.

لدينا \( -2\le x+1\le -1 \)، والطرفان سالبان وكذلك \( x+1 \).

بقلب الأطراف ينقلب الترتيب: \( \dfrac{1}{-1}\le\dfrac{1}{x+1}\le\dfrac{1}{-2} \).

\( -1\le\dfrac{1}{x+1}\le-\dfrac{1}{2} \)

الجواب الصحيح: \( -1\le\dfrac{1}{x+1}\le-\dfrac{1}{2} \)

II) 2) أ) بيّن أنّ \( A-2=\dfrac{3}{x+1} \)

القاعدة: لطرح عدد من كسر نوحّد المقامات: \( \dfrac{p}{q}-k=\dfrac{p-kq}{q} \).

\( A-2=\dfrac{2x+5}{x+1}-2=\dfrac{2x+5}{x+1}-\dfrac{2(x+1)}{x+1} \).

\( =\dfrac{2x+5-2x-2}{x+1} \).

\( A-2=\dfrac{3}{x+1} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{3}{x+1} \)

II) 2) ب) استنتج حصرا لـ \( A \)

القاعدة: الضرب في عدد موجب يحافظ على الترتيب، وإضافة عدد إلى الأطراف لا تغيّره.

ننطلق من \( -1\le\dfrac{1}{x+1}\le-\dfrac{1}{2} \) ونضرب في 3 وهو موجب.

\( -3\le\dfrac{3}{x+1}\le-\dfrac{3}{2} \).

وبما أنّ \( A=2+\dfrac{3}{x+1} \)، نضيف 2 إلى الأطراف الثلاثة.

\( -1\le A\le\dfrac{1}{2} \)

الجواب الصحيح: \( -1\le A\le\dfrac{1}{2} \)

انشر \( \sqrt{2}\times\sqrt{2}\,t \) أوّلا.

\( 4=2^2 \): فكّر في فرق المربّعين.

أضف 1 إلى أطراف الحصر المعطى.

قلب عددين سالبين يقلب ترتيبهما.

وحّد المقامات في \( \dfrac{2x+5}{x+1}-2 \).

اضرب الحصر السابق في 3 ثمّ أضف 2.

تمرين رقم 3

ليكن \( x \) و \( y \) عددين حقيقيين بحيث \( -2x-1\in\left]1\,;\,5\right[ \) و \( y\in\left]-4\,;\,-2\right[ \)، والعبارة \( M=|y|\times|x+1|-\dfrac{1}{2}\left|-2x-1\right|+\left|(x+2)(y+1)-9\right| \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( x\in\left]-3\,;\,-1\right[ \)

القاعدة: إضافة عدد إلى أطراف حصر لا تغيّره؛ والقسمة على عدد سالب تقلب المتفاوتات.

لدينا \( 1<-2x-1<5 \).

نضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة: \( 2<-2x<6 \).

نقسم على \( -2 \) وهو سالب فتنقلب المتفاوتات: \( -1>x>-3 \).

نعيد الترتيب: \( -3<x<-1 \).

الجواب الصحيح: \( x\in\left]-3\,;\,-1\right[ \)

2) بيّن أنّ \( -7<(x+2)(y+1)<9 \)

القاعدة: لحصر جداء نحسب جداءات الأطراف الأربعة ونأخذ أصغرها وأكبرها؛ وكلّ حصر أوسع من حصر صحيح يبقى صحيحا.

من \( -3<x<-1 \) نضيف 2: \( -1<x+2<1 \).

من \( -4<y<-2 \) نضيف 1: \( -3<y+1<-1 \).

جداءات الأطراف: \( (-1)(-3)=3 \) و \( (-1)(-1)=1 \) و \( (1)(-3)=-3 \) و \( (1)(-1)=-1 \).

أصغرها \( -3 \) وأكبرها 3، إذن \( -3<(x+2)(y+1)<3 \).

وبما أنّ \( -7<-3 \) و \( 3<9 \)، فإنّ \( -7<(x+2)(y+1)<9 \).

الجواب الصحيح: \( -3<(x+2)(y+1)<3 \) ومنه \( -7<(x+2)(y+1)<9 \)

3) استنتج اختصارا للعبارة \( M \)

القاعدة: \( |X|=X \) إذا كان \( X\ge 0 \) و \( |X|=-X \) إذا كان \( X\le 0 \): فنزع كلّ قيمة مطلقة يقتضي تعيين إشارة ما بداخلها أوّلا.

\( y<0 \) لأنّ \( -4<y<-2 \)، إذن \( |y|=-y \).

\( -3<x<-1 \) يعطي \( -2<x+1<0 \)، إذن \( x+1 \) سالب و \( |x+1|=-(x+1) \).

\( 1<-2x-1<5 \) يعطي \( -2x-1 \) موجبا، إذن \( \left|-2x-1\right|=-2x-1 \).

ومن السؤال السابق \( (x+2)(y+1)<9 \)، إذن \( (x+2)(y+1)-9<0 \) و \( \left|(x+2)(y+1)-9\right|=9-(x+2)(y+1) \).

نعوّض: \( M=(-y)\times\left(-(x+1)\right)-\dfrac{1}{2}(-2x-1)+9-(x+2)(y+1) \).

\( =y(x+1)+x+\dfrac{1}{2}+9-(xy+x+2y+2) \).

\( =xy+y+x+\dfrac{19}{2}-xy-x-2y \).

\( M=\dfrac{15}{2}-y \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{15}{2}-y \)

4) أ) في هذا السؤال \( x\in[-3\,;\,2] \) و \( y\in[4\,;\,5] \). أوجد حصرا لـ \( x+y \) وحصرا لـ \( x-y \)

القاعدة: لجمع حصرين نجمع الأطراف طرفا طرفا؛ ولطرحهما نطرح من أطراف الأوّل أطراف الثاني بالترتيب المعكوس.

ملاحظة: نصّ التمرين يسمّي هذين العددين \( a \) و \( b \) بينما تكتب العبارات بـ \( x \) و \( y \)؛ والمقصود هو نفس العددين.

\( -3\le x\le 2 \) و \( 4\le y\le 5 \).

بالجمع طرفا طرفا: \( -3+4\le x+y\le 2+5 \)، أي \( 1\le x+y\le 7 \).

ومن \( 4\le y\le 5 \) نستنتج \( -5\le -y\le -4 \).

بالجمع مع \( -3\le x\le 2 \): \( -8\le x-y\le -2 \).

الجواب الصحيح: \( 1\le x+y\le 7 \) و \( -8\le x-y\le -2 \)

4) ب) استنتج حصرا لـ \( C=x^2-y^2 \) وحصرا لـ \( A=xy+y^2 \)

القاعدة: \( x^2-y^2=(x+y)(x-y) \) و \( xy+y^2=y(x+y) \)؛ ولحصر جداء نأخذ أصغر وأكبر جداءات الأطراف.

\( C=(x+y)(x-y) \) مع \( 1\le x+y\le 7 \) و \( -8\le x-y\le -2 \).

جداءات الأطراف: \( 1\times(-8)=-8 \) و \( 1\times(-2)=-2 \) و \( 7\times(-8)=-56 \) و \( 7\times(-2)=-14 \).

\( -56\le C\le -2 \).

\( A=y(x+y) \) مع \( 4\le y\le 5 \) و \( 1\le x+y\le 7 \)، وكلّ الأطراف موجبة.

\( 4\times 1\le A\le 5\times 7 \)، أي \( 4\le A\le 35 \).

الجواب الصحيح: \( -56\le C\le -2 \) و \( 4\le A\le 35 \)

4) ت) جد حصرا لـ \( B=\dfrac{x}{y}+1 \)

القاعدة: نبدأ بحصر \( \dfrac{1}{y} \) بقلب حصر \( y \) الموجب، ثمّ نحصر الجداء \( x\times\dfrac{1}{y} \).

من \( 4\le y\le 5 \) وكلّ الأطراف موجبة: \( \dfrac{1}{5}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{4} \).

جداءات الأطراف مع \( -3\le x\le 2 \): \( -3\times\dfrac{1}{5}=-\dfrac{3}{5} \) و \( -3\times\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{4} \) و \( 2\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{5} \) و \( 2\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} \).

أصغرها \( -\dfrac{3}{4} \) وأكبرها \( \dfrac{1}{2} \)، إذن \( -\dfrac{3}{4}\le\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{2} \).

نضيف 1 إلى الأطراف: \( \dfrac{1}{4}\le B\le\dfrac{3}{2} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{1}{4}\le B\le\dfrac{3}{2} \)

4) ث) لتكن العبارة \( N=-|C|+y|B|+\left|-A\right|-|x+y| \). بيّن أنّ \( N=x^2+xy \) ثمّ استنتج أنّ \( N-A\in[-56\,;\,2] \)

القاعدة: الحصر يعيّن الإشارة، والإشارة تنزع القيمة المطلقة: \( |X|=X \) إذا كان \( X\ge 0 \) و \( |X|=-X \) إذا كان \( X\le 0 \)؛ و \( |-A|=|A| \).

من الحصر \( -56\le C\le -2 \) نستنتج \( C\le 0 \)، إذن \( |C|=-C=y^2-x^2 \) ومنه \( -|C|=x^2-y^2 \).

من الحصر \( \dfrac{1}{4}\le B\le\dfrac{3}{2} \) نستنتج \( B\ge 0 \)، إذن \( |B|=B=\dfrac{x}{y}+1=\dfrac{x+y}{y} \) ومنه \( y|B|=x+y \).

من الحصر \( 4\le A\le 35 \) نستنتج \( A\ge 0 \)، إذن \( \left|-A\right|=A=xy+y^2 \).

من الحصر \( 1\le x+y\le 7 \) نستنتج \( x+y\ge 0 \)، إذن \( |x+y|=x+y \).

نجمع: \( N=(x^2-y^2)+(x+y)+(xy+y^2)-(x+y) \).

\( N=x^2+xy \)

ومنه \( N-A=x^2+xy-(xy+y^2)=x^2-y^2=C \).

وقد وجدنا \( -56\le C\le -2 \)، وهذا المجال محتوى في \( [-56\,;\,2] \).

الجواب الصحيح: \( x^2+xy \)

أضف 1 إلى أطراف الحصر ثمّ اقسم على \( -2 \).

احصر \( x+2 \) ثمّ \( y+1 \) قبل أن تحصر جداءهما.

عيّن إشارة ما بداخل كلّ قيمة مطلقة قبل نزعها.

اجمع الحصرين طرفا طرفا، ثمّ اقلب إشارة حصر \( y \) للحصول على \( -y \).

\( C \) و \( A \) يكتبان على شكل جداء: استعمل الحصرين السابقين.

ابدأ بحصر \( \dfrac{1}{y} \).

كلّ حصر من الأسئلة السابقة يعطيك إشارة عبارة: استعملها لنزع القيم المطلقة.

تمرين رقم 4

وحدة القيس هي الصنتيمتر. ليكن \( ABCDEFGL \) متوازي مستطيلات حيث \( ABFE \) مربّع، و \( H \) و \( K \) المسقطان العموديان على التوالي للنقطتين \( E \) و \( C \) على المستقيم \( (AG) \)، بحيث \( KG=AH=3 \) و \( GH=\dfrac{16}{3} \). (النقاط \( A \) و \( B \) و \( C \) و \( D \) فوق النقاط \( E \) و \( F \) و \( G \) و \( L \) على التوالي.)

الإصلاح

1) بيّن أنّ المثلث \( AEG \) قائم الزاوية في \( E \)

القاعدة: في متوازي المستطيلات، كلّ حرف جانبي عمودي على الوجهين اللذين يلتقيهما؛ ومستقيم عمودي على مستو يكون عموديا على كلّ مستقيم من هذا المستوي.

\( [AE] \) حرف جانبي، إذن \( (AE) \) عمودي على مستوي القاعدة \( (EFGL) \).

والمستقيم \( (EG) \) محمول على مستوي القاعدة \( (EFGL) \).

إذن \( (AE)\perp(EG) \).

الجواب الصحيح: المثلث \( AEG \) قائم الزاوية في \( E \)

2) أ) بيّن أنّ \( EH=4 \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في كلّ من المثلثات القائمة \( AEH \) و \( EHG \) و \( AEG \)؛ و \( H\in[AG] \) يعطي \( AG=AH+HG \).

\( AG=AH+HG=3+\dfrac{16}{3}=\dfrac{9+16}{3}=\dfrac{25}{3} \).

\( H \) هو المسقط العمودي لـ \( E \) على \( (AG) \)، إذن المثلثان \( AEH \) و \( EHG \) قائمان في \( H \).

\( AE^2=AH^2+EH^2=9+EH^2 \) و \( EG^2=HG^2+EH^2=\dfrac{256}{9}+EH^2 \).

والمثلث \( AEG \) قائم في \( E \)، إذن \( AE^2+EG^2=AG^2 \).

\( 9+EH^2+\dfrac{256}{9}+EH^2=\dfrac{625}{9} \).

\( 2EH^2=\dfrac{625}{9}-\dfrac{81}{9}-\dfrac{256}{9}=\dfrac{288}{9}=32 \).

\( EH^2=16 \)، و \( EH \) طول موجب.

\( EH=\sqrt{16}=4 \)

الجواب الصحيح: \( 4 \)

2) ب) استنتج \( AE \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث \( AEH \) القائم الزاوية في \( H \).

\( AE^2=AH^2+EH^2 \).

\( AE^2=3^2+4^2=9+16=25 \).

\( AE=\sqrt{25}=5 \)

الجواب الصحيح: \( 5 \)

3) أ) احسب \( CK \)

القاعدة: في مثلث قائم الزاوية، الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة يحقّق \( h\times \text{الوتر}=\text{جداء الضلعين القائمين} \)؛ ورباعي ضلعاه المتقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.

\( [AE] \) و \( [CG] \) حرفان جانبيان في متوازي المستطيلات، إذن هما متوازيان ومتقايسان: \( CG=AE=5 \).

ومنه الرباعي \( AEGC \) متوازي أضلاع، وزاويته في \( E \) قائمة (السؤال 1)، فهو مستطيل.

إذن المثلث \( ACG \) قائم الزاوية في \( C \)، ومنه \( AC^2=AG^2-CG^2=\dfrac{625}{9}-25=\dfrac{400}{9} \) و \( AC=\dfrac{20}{3} \).

\( [CK] \) هو الارتفاع الصادر من \( C \) في هذا المثلث، إذن \( CK\times AG=CA\times CG \).

\( CK=\dfrac{\dfrac{20}{3}\times 5}{\dfrac{25}{3}}=\dfrac{100}{3}\times\dfrac{3}{25} \).

\( CK=4 \)

الجواب الصحيح: \( 4 \)

3) ب) بيّن أنّ \( [EC] \) و \( [HK] \) يتقاطعان في منتصفهما

القاعدة: قطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفيهما؛ وإذا كانت نقطتان من قطعة على نفس البعد من طرفيها فمنتصف القطعة هو منتصف ما بينهما.

الرباعي \( AEGC \) مستطيل (السؤال السابق)، وقطراه هما \( [AG] \) و \( [EC] \).

إذن \( [AG] \) و \( [EC] \) يتقاطعان في منتصفيهما؛ نسمّي \( O \) هذا المنتصف المشترك.

\( H \) و \( K \) نقطتان من \( [AG] \) و \( AH=KG=3 \).

\( O \) منتصف \( [AG] \)، إذن \( OH=OA-AH \) و \( OK=OG-KG=OA-AH \).

ومنه \( OH=OK \) والنقطتان \( H \) و \( K \) على جانبي \( O \): فـ \( O \) منتصف \( [HK] \).

\( O \) هو إذن منتصف \( [EC] \) ومنتصف \( [HK] \) في آن واحد.

الجواب الصحيح: القطعتان \( [EC] \) و \( [HK] \) لهما نفس المنتصف \( O \)

\( [AE] \) حرف جانبي: على أيّ مستو هو عمودي؟

اكتب فيتاغور في \( AEH \) وفي \( EHG \) ثمّ اجمع، وقارن بـ \( AG^2 \).

استعمل المثلث \( AEH \) بعد أن حسبت \( EH \).

ما نوع الرباعي \( AEGC \)؟

أين يتقاطع قطرا المستطيل \( AEGC \)؟