إصلاح فرض مراقبة عدد 5 — التاسعة أساسي

تمرين رقم 1

ضع دائرة حول الإجابة الصحيحة.

الإصلاح

1) نعتبر المجموعتين \( I=\{x\in\mathbb{R}\ ;\ |x|<2\} \) و \( J=\{x\in\mathbb{R}\ ;\ x<0\} \). إذن: \( I\cap J=\left]-\infty\,;\,2\right[ \) — \( I\cap J=\left]-2\,;\,0\right[ \) — \( I\cap J=\left]0\,;\,2\right[ \)

القاعدة: \( |x|\lt r \) يكافئ \( -r\lt x\lt r \)؛ وتقاطع مجالين هو مجموعة الأعداد المنتمية إليهما معا.

\( |x|<2 \) يكافئ \( -2<x<2 \)، إذن \( I=\left]-2\,;\,2\right[ \).

\( J=\left]-\infty\,;\,0\right[ \).

العدد ينتمي إلى المجموعتين إذا كان \( -2<x \) و \( x<0 \) في آن واحد.

\( I\cap J=\left]-2\,;\,0\right[ \)

الجواب الصحيح: \( \left]-2\,;\,0\right[ \)

2) نعتبر السلسلة الإحصائية: القيم \( 3\,;\,4\,;\,6\,;\,9 \) وتكراراتها على التوالي \( 6\,;\,3\,;\,4\,;\,4 \). العدد 4 بالنسبة إلى هذه السلسلة هو: المنوال — المدى — الموسط

القاعدة: المنوال هو القيمة ذات التكرار الأكبر؛ المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغرها؛ والموسط هو فاصلة النقطة من مخطّط التكرارات التراكمية الصاعدة التي ترتيبها \( \dfrac{N}{2} \) (أي \( 50\% \) في التواترات التراكمية).

المنوال هو القيمة ذات التكرار الأكبر، والتكرار الأكبر هو 6 وهو تكرار القيمة 3، إذن المنوال \( =3 \) وليس 4.

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغرها: \( 9-3=6 \) وليس 4.

نبحث عن الموسط. التكرار الجملي: \( N=6+3+4+4=17 \)، ومنه \( \dfrac{N}{2}=8{,}5 \).

نبني التكرارات التراكمية الصاعدة: \( 6 \) للقيمة 3، ثمّ \( 9 \) للقيمة 4، ثمّ \( 13 \) للقيمة 6، ثمّ \( 17 \) للقيمة 9.

نبحث عن فاصلة النقطة التي ترتيبها \( 8{,}5 \): بما أنّ \( 6<8{,}5\le 9 \)، فهذه الفاصلة هي القيمة 4.

إذن الموسط يساوي 4.

الجواب الصحيح: الموسط

3) \( a \) و \( b \) عددان حقيقيان مخالفان للصفر حيث \( -3<a<-1 \) و \( 2<\dfrac{1}{b}<3 \). إذن: \( ab\in\left]-1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[ \) — \( ab\in\left]-9\,;\,-2\right[ \) — \( ab\in\left]-\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{1}{3}\right[ \)

القاعدة: إذا كان \( 0\lt u\lt v \) فإنّ \( \dfrac{1}{v}\lt\dfrac{1}{u} \) (قلب الأعداد الموجبة يقلب الترتيب)؛ ولحصر جداء نأخذ أصغر وأكبر جداءات الأطراف.

من \( 2<\dfrac{1}{b}<3 \) نستنتج أنّ \( \dfrac{1}{b} \) موجب، إذن \( b \) موجب.

بقلب الأطراف الموجبة: \( \dfrac{1}{3}<b<\dfrac{1}{2} \).

جداءات الأطراف: \( (-3)\times\dfrac{1}{3}=-1 \) و \( (-3)\times\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2} \) و \( (-1)\times\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3} \) و \( (-1)\times\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2} \).

أصغرها \( -\dfrac{3}{2} \) وأكبرها \( -\dfrac{1}{3} \).

الجواب الصحيح: \( ab\in\left]-\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{1}{3}\right[ \)

4) القيمة المطلقة لعدد حقيقي تفوقه بـ \( \sqrt{2} \). إذن هذا العدد هو: \( -\sqrt{2} \) — \( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) — \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

القاعدة: \( |x|=x \) إذا كان \( x\ge 0 \)، و \( |x|=-x \) إذا كان \( x\lt 0 \).

نترجم الجملة: \( |x|=x+\sqrt{2} \).

إذا كان \( x\ge 0 \) فإنّ \( |x|=x \)، فتصبح المعادلة \( x=x+\sqrt{2} \) أي \( 0=\sqrt{2} \)، وهذا مستحيل.

إذن \( x<0 \) ومنه \( |x|=-x \)، فتصبح المعادلة \( -x=x+\sqrt{2} \).

\( -2x=\sqrt{2} \)، ومنه \( x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)، وهو فعلا عدد سالب.

الجواب الصحيح: \( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

اكتب كلّ مجموعة على شكل مجال قبل أن تبحث عن التقاطع.

احسب المنوال والمدى والموسط واحدا واحدا، وقارن كلّا منها بالعدد 4.

ابدأ بقلب الحصر \( 2<\dfrac{1}{b}<3 \) للحصول على حصر لـ \( b \).

ناقش حسب إشارة العدد: هل يمكن أن يكون موجبا؟

تمرين رقم 2

ليكن \( x \) و \( y \) عددين حقيقيين حيث \( -3<-2x-1<5 \) و \( y\in\left]2\,;\,3\right[ \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ \( x\in\left]-3\,;\,1\right[ \)

القاعدة: إضافة عدد إلى أطراف حصر لا تغيّر المتفاوتات؛ أمّا القسمة على عدد سالب فتقلبها وتقلب معها ترتيب الأطراف.

ننطلق من \( -3<-2x-1<5 \) ونضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة: \( -2<-2x<6 \).

نقسم على \( -2 \) وهو سالب، فتنقلب المتفاوتتان: \( 1>x>-3 \).

نعيد ترتيب الكتابة: \( -3<x<1 \).

الجواب الصحيح: \( x\in\left]-3\,;\,1\right[ \)

2) أوجد حصرا لـ \( x-2 \) ثمّ حصرا لـ \( xy-2y \)

القاعدة: لحصر جداء عاملين نحسب جداءات الأطراف الأربعة ونأخذ أصغرها وأكبرها.

من \( -3<x<1 \) نطرح 2 من الأطراف: \( -5<x-2<-1 \).

نلاحظ أنّ \( xy-2y=y(x-2) \).

ولدينا \( 2<y<3 \) و \( -5<x-2<-1 \).

جداءات الأطراف: \( 2\times(-5)=-10 \) و \( 2\times(-1)=-2 \) و \( 3\times(-5)=-15 \) و \( 3\times(-1)=-3 \).

أصغرها \( -15 \) وأكبرها \( -2 \)، إذن \( -15<xy-2y<-2 \).

الجواب الصحيح: \( -15<xy-2y<-2 \)

3) استنتج علامة \( xy-2y+15 \)

القاعدة: إذا كان \( X\gt m \) فإنّ \( X-m\gt 0 \)؛ فالحصر يكفي لتعيين العلامة دون حساب.

من الحصر السابق: \( xy-2y>-15 \).

نضيف 15 إلى الطرفين: \( xy-2y+15>0 \).

إذن العبارة \( xy-2y+15 \) موجبة قطعا مهما كان \( x \) و \( y \) في المجالين المعطيين.

الجواب الصحيح: \( xy-2y+15 \) موجب قطعا

أضف 1 إلى الأطراف ثمّ اقسم على \( -2 \) دون أن تنسى قلب المتفاوتات.

لاحظ أنّ \( xy-2y \) هو جداء \( y \) في \( (x-2) \).

انظر إلى الطرف الأصغر في الحصر السابق.

تمرين رقم 3

نعتبر العبارة \( E=3x^2+8x-11 \) حيث \( x\in\mathbb{R} \). وفي الشكل المرافق، \( ABC \) مثلث قائم الزاوية في \( A \) حيث \( AB=x+2 \) و \( AC=4 \) و \( BC=2x+3 \)، مع \( x>-\dfrac{3}{2} \).

الإصلاح

1) أ) بيّن أنّ \( E=(3x+11)(x-1) \)

القاعدة: لإثبات مساواة ننشر الطرف المكتوب على شكل جداء ونصل إلى الطرف الآخر.

ننشر: \( (3x+11)(x-1)=3x^2-3x+11x-11 \).

نجمع الحدّين المتشابهين: \( -3x+11x=8x \).

\( (3x+11)(x-1)=3x^2+8x-11 \)

الجواب الصحيح: \( 3x^2+8x-11 \)

1) ب) (*) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( E=0 \)

القاعدة: جداء عاملين منعدم يعني أنّ أحدهما على الأقلّ منعدم.

\( E=0 \) يكافئ \( (3x+11)(x-1)=0 \).

إذن \( 3x+11=0 \) أو \( x-1=0 \).

\( 3x=-11 \) أي \( x=-\dfrac{11}{3} \)، أو \( x=1 \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{-\dfrac{11}{3}\,;\,1\right\} \)

1) ب) (**) حلّ في \( \mathbb{R} \) المعادلة \( E=x^2-1 \)

القاعدة: ننقل كلّ الحدود إلى طرف واحد ثمّ نفكّك بالعامل المشترك؛ و \( x^2-1=(x-1)(x+1) \) (فرق مربّعين).

\( E=x^2-1 \) يكافئ \( (3x+11)(x-1)=(x-1)(x+1) \).

ننقل: \( (3x+11)(x-1)-(x-1)(x+1)=0 \).

العامل المشترك هو \( (x-1) \): \( (x-1)\left[(3x+11)-(x+1)\right]=0 \).

\( (x-1)(2x+10)=0 \).

إذن \( x=1 \) أو \( 2x=-10 \) أي \( x=-5 \).

الجواب الصحيح: \( S=\{-5\,;\,1\} \)

1) ج) حلّ في \( \mathbb{R} \) المتراجحة \( E\le 3(x+2)^2-1 \)

القاعدة: المتطابقة \( (u+v)^2=u^2+2uv+v^2 \)؛ وننشر الطرفين ثمّ نبسّط الحدود من الدرجة الثانية إذا تشابهت.

ننشر الطرف الأيسر: \( 3(x+2)^2-1=3(x^2+4x+4)-1=3x^2+12x+11 \).

تصبح المتراجحة \( 3x^2+8x-11\le 3x^2+12x+11 \).

نطرح \( 3x^2 \) من الطرفين: \( 8x-11\le 12x+11 \).

نطرح \( 12x \) ونضيف 11: \( -4x\le 22 \).

نقسم على \( -4 \) وهو سالب فتنقلب المتفاوتة: \( x\ge -\dfrac{11}{2} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left[-\dfrac{11}{2}\,;\,+\infty\right[ \)

2) أ) بيّن أنّ \( x=1 \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث القائم الزاوية في \( A \): \( BC^2=AB^2+AC^2 \).

المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، إذن \( (2x+3)^2=(x+2)^2+4^2 \).

ننشر: \( 4x^2+12x+9=x^2+4x+4+16 \).

ننقل كلّ الحدود إلى الطرف الأيمن: \( 3x^2+8x-11=0 \)، أي \( E=0 \).

ومن السؤال (*) الحلّان هما \( -\dfrac{11}{3} \) و 1.

وبما أنّ \( x>-\dfrac{3}{2} \) و \( -\dfrac{11}{3}<-\dfrac{3}{2} \)، فالحلّ \( -\dfrac{11}{3} \) مرفوض.

الجواب الصحيح: \( x=1 \)

2) ب) لتكن النقطتان \( F \) و \( G \) مناظرتَي \( B \) و \( C \) على التوالي بالنسبة إلى \( A \). بيّن أنّ الرباعي \( FCBG \) معيّن

القاعدة: رباعي تنصّف قطراه بعضهما هو متوازي أضلاع؛ ومتوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن.

من أجل \( x=1 \): \( AB=3 \) و \( AC=4 \) و \( BC=5 \).

\( F \) مناظرة \( B \) بالنسبة إلى \( A \)، إذن \( A \) منتصف \( [BF] \).

\( G \) مناظرة \( C \) بالنسبة إلى \( A \)، إذن \( A \) منتصف \( [CG] \).

قطرا الرباعي \( FCBG \) هما \( [FB] \) و \( [CG] \)، وهما يتقاطعان في منتصفيهما \( A \): فالرباعي متوازي أضلاع.

\( [FB] \) محمول على \( (AB) \) و \( [CG] \) محمول على \( (AC) \)، و \( (AB)\perp(AC) \): فالقطران متعامدان.

الجواب الصحيح: \( FCBG \) معيّن طول ضلعه 5

2) ج) احسب \( h \) ارتفاع المعيّن \( FCBG \)

القاعدة: مساحة المعيّن تساوي \( \dfrac{d_1\times d_2}{2} \) وتساوي أيضا القاعدة \( \times \) الارتفاع.

\( FB=2\times AB=6 \) و \( CG=2\times AC=8 \).

المساحة \( =\dfrac{6\times 8}{2}=24 \).

طول ضلع المعيّن هو \( BC=5 \) (المثلث \( ABC \) قائم في \( A \) و \( BC=2\times 1+3=5 \)).

المساحة \( =BC\times h \)، إذن \( 24=5h \).

\( h=\dfrac{24}{5}=4{,}8 \)

الجواب الصحيح: \( 4{,}8 \)

انشر الجداء \( (3x+11)(x-1) \) وقارنه بـ \( E \).

استعمل الشكل المفكّك: جداء منعدم.

\( x^2-1 \) فرق مربّعين: أخرج العامل المشترك \( (x-1) \).

انشر \( 3(x+2)^2-1 \) ثمّ بسّط حدود الدرجة الثانية.

اكتب فيتاغور: ماذا تجد؟ إنّها المعادلة \( E=0 \).

ما هي قطرا الرباعي \( FCBG \)؟ وأين يتقاطعان؟

احسب المساحة بالقطرين ثمّ بالقاعدة والارتفاع.

تمرين رقم 4

ليكن \( ABC \) مثلثا حيث \( AB=4 \) و \( AC=2\sqrt{5} \) و \( BC=6 \). المستقيم العمودي على \( (BC) \) والمارّ من \( B \) يقطع \( (AC) \) في نقطة \( D \). نعيّن النقطة \( I \) منتصف \( [CD] \) والنقطة \( J \) منتصف \( [BC] \)، ثمّ نبني النقطة \( E \) مناظرة \( I \) بالنسبة إلى \( J \)، وأخيرا النقطة \( F \) المسقط العمودي للنقطة \( D \) على \( (IE) \).

الإصلاح

1) بيّن أنّ المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، ثمّ أنجز الرسم

القاعدة: مبرهنة فيتاغور العكسية — إذا كان مربّع أطول ضلع يساوي مجموع مربّعي الضلعين الآخرين فإنّ المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع.

أطول ضلع هو \( [BC] \) لأنّ \( 6>4 \) و \( 6>2\sqrt{5}\approx 4{,}47 \).

\( BC^2=6^2=36 \).

\( AB^2+AC^2=4^2+(2\sqrt{5})^2=16+4\times 5=16+20=36 \).

نلاحظ أنّ \( BC^2=AB^2+AC^2 \)، فحسب مبرهنة فيتاغور العكسية المثلث قائم الزاوية في \( A \).

للرسم: نرسم \( [AB]=4 \) ثمّ العمودي على \( (AB) \) في \( A \) ونحمل عليه \( AC=2\sqrt{5}\approx 4{,}5 \).

الجواب الصحيح: \( BC^2=36 \) و \( AB^2+AC^2=36 \) فالمثلث قائم الزاوية في \( A \)

2) أ) بيّن أنّ \( AD=\dfrac{8\sqrt{5}}{5} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في مثلثين قائمين، ثمّ إنطاق المقام: \( \dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b} \).

\( D \) على المستقيم \( (AC) \) و \( (AB)\perp(AC) \)، إذن المثلث \( ABD \) قائم الزاوية في \( A \): \( BD^2=AB^2+AD^2=16+AD^2 \).

والمثلث \( DBC \) قائم الزاوية في \( B \) بالبناء، إذن \( DC^2=BD^2+BC^2 \).

ولدينا \( DC=AD+AC=AD+2\sqrt{5} \) لأنّ \( A \) بين \( D \) و \( C \).

نعوّض: \( (AD+2\sqrt{5})^2=(16+AD^2)+36 \).

ننشر: \( AD^2+4\sqrt{5}\,AD+20=AD^2+52 \).

\( 4\sqrt{5}\,AD=32 \)، ومنه \( AD=\dfrac{32}{4\sqrt{5}}=\dfrac{8}{\sqrt{5}} \).

ننطق المقام: \( AD=\dfrac{8\sqrt{5}}{5} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{8\sqrt{5}}{5} \)

2) ب) استنتج أنّ \( BD=\dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)

القاعدة: مبرهنة فيتاغور في المثلث \( ABD \) القائم الزاوية في \( A \).

\( AD^2=\left(\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2=\dfrac{64\times 5}{25}=\dfrac{64}{5} \).

\( BD^2=AB^2+AD^2=16+\dfrac{64}{5}=\dfrac{80+64}{5}=\dfrac{144}{5} \).

\( BD=\sqrt{\dfrac{144}{5}}=\dfrac{12}{\sqrt{5}} \).

ننطق المقام: \( BD=\dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)

3) أ) بيّن أنّ الرباعي \( IBEC \) معيّن

القاعدة: رباعي تنصّف قطراه بعضهما هو متوازي أضلاع؛ ومتوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معيّن. وفي مثلث قائم الزاوية، المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.

قطرا الرباعي \( IBEC \) هما \( [IE] \) و \( [BC] \).

\( E \) مناظرة \( I \) بالنسبة إلى \( J \)، إذن \( J \) منتصف \( [IE] \)؛ و \( J \) منتصف \( [BC] \) بالتعريف.

القطران يتقاطعان في منتصفيهما \( J \)، إذن \( IBEC \) متوازي أضلاع.

المثلث \( DBC \) قائم الزاوية في \( B \) و \( I \) منتصف وتره \( [DC] \)، إذن \( IB=\dfrac{DC}{2} \).

ولدينا \( IC=\dfrac{DC}{2} \) لأنّ \( I \) منتصف \( [DC] \)، ومنه \( IB=IC \).

متوازي الأضلاع \( IBEC \) له ضلعان متتاليان متقايسان \( [IB] \) و \( [IC] \).

الجواب الصحيح: \( IBEC \) معيّن

3) ب) احسب مساحة المعيّن \( IBEC \)

القاعدة: قاعدة الربط — القطعة الرابطة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وطولها نصف طوله؛ ومساحة المعيّن \( =\dfrac{d_1\times d_2}{2} \).

في المثلث \( CDB \): \( I \) منتصف \( [CD] \) و \( J \) منتصف \( [CB] \)، إذن \( IJ=\dfrac{DB}{2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{12\sqrt{5}}{5}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5} \).

\( J \) منتصف \( [IE] \)، إذن \( IE=2\times IJ=\dfrac{12\sqrt{5}}{5} \).

القطر الآخر هو \( BC=6 \).

المساحة \( =\dfrac{IE\times BC}{2}=\dfrac{\dfrac{12\sqrt{5}}{5}\times 6}{2}=\dfrac{36\sqrt{5}}{5} \)

الجواب الصحيح: \( \dfrac{36\sqrt{5}}{5} \)

4) \( F \) هي المسقط العمودي للنقطة \( D \) على \( (IE) \). بيّن أنّ \( BF=DJ \)

القاعدة: قطرا المستطيل متقايسان؛ ومتوازي أضلاع له زاوية قائمة هو مستطيل؛ ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان.

قطرا المعيّن \( IBEC \) متعامدان، إذن \( (IE)\perp(BC) \).

\( (BD)\perp(BC) \) بالبناء، و \( (IE)\perp(BC) \)، إذن \( (BD)\parallel(IE) \)، أي \( (BD)\parallel(JF) \) لأنّ \( J \) و \( F \) على \( (IE) \).

\( (DF)\perp(IE) \) بالبناء، و \( (BC)\perp(IE) \)، إذن \( (DF)\parallel(BC) \)، أي \( (DF)\parallel(BJ) \) لأنّ \( J \) على \( (BC) \).

الرباعي \( BDFJ \) ضلعاه المتقابلان متوازيان مثنى مثنى: فهو متوازي أضلاع.

وزاويته في \( B \) قائمة لأنّ \( (BD)\perp(BC) \)، إذن \( BDFJ \) مستطيل.

قطراه \( [BF] \) و \( [DJ] \) متقايسان لأنّ قطري المستطيل متقايسان.

الجواب الصحيح: \( BF=DJ \)

قارن \( BC^2 \) بـ \( AB^2+AC^2 \).

اكتب فيتاغور في \( ABD \) ثمّ في \( DBC \)، ولاحظ أنّ \( DC=AD+AC \).

استعمل \( BD^2=AB^2+AD^2 \) بعد أن حسبت \( AD \).

ما هما قطرا \( IBEC \)؟ وأين يتقاطعان؟ ثمّ قارن \( IB \) و \( IC \).

\( [IJ] \) قطعة رابطة في المثلث \( CDB \).

ابحث عن التوازيات: \( BDFJ \) ما نوعه؟