\( |x| \) هو بعد النقطة ذات الأفصول \( x \) عن المبدأ، والشرط \( |x|<3 \) يعني أنّ هذا البعد أصغر من 3.

ومنه \( -3<x<3 \)، أي \( x \) ينتمي إلى المجال المفتوح \( \left]-3\,;\,3\right[ \).

الاقتراح أ) لا يصلح لأنّه لا يحتوي إلاّ على عددين، والاقتراح ب) هو مجموعة حلول \( |x|>3 \).

الجواب الصحيح: ج) \( M=\left]-3\,;\,3\right[ \)

جداءات الأطراف: \( 2\times(-3)=-6 \) و \( 2\times(-1)=-2 \) و \( 5\times(-3)=-15 \) و \( 5\times(-1)=-5 \).

أصغر هذه الجداءات هو \( -15 \) وأكبرها هو \( -2 \).

ومنه \( -15\le xy\le -2 \).

الجواب الصحيح: ب) \( -15\le xy\le -2 \)

\( O \) هو منتصف \( [AC] \) و \( [BD] \)، ومنه \( OA=OD=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{4x}{2}=2x \).

وبما أنّ \( AD=2x \) فإنّ \( OA=OD=AD=2x \): المثلث \( AOD \) متقايس الأضلاع وطول ضلعه \( 2x \).

الارتفاع الصادر من \( O \) هو إذن \( \dfrac{2x\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: أ) \( x\sqrt{3} \)

\( \sqrt{9}=3 \)، فالشرط يصبح \( 3<x \) أي \( x>3 \).

العدد 3 نفسه لا يحقّق الشرط لأنّ \( 3<3 \) خاطئ، فالمجال مفتوح في 3.

الجواب الصحيح: \( A=\left]3\,;\,+\infty\right[ \)

نضيف 1 إلى الطرفين: \( -3x\le 0 \).

نقسم على \( -3 \) وهو عدد سالب، فتنقلب المتفاوتة: \( x\ge 0 \).

العدد 0 حلّ لأنّ \( -3\times 0-1=-1\le -1 \)، فالمجال مغلق في 0.

الجواب الصحيح: \( \left[0\,;\,+\infty\right[ \)

عدد الكويرات الجملي: \( 2+4=6 \)، وهو عدد الحالات الممكنة.

عدد الكويرات البيضاء 4، وهو عدد الحالات الملائمة.

الاحتمال \( =\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \).

الجواب الصحيح: \( \dfrac{2}{3} \)

كلّ عنصر من \( \left]-1\,;\,3\right] \) يحقّق \( x\le 3 \)، وكلّ عنصر من \( \left]3\,;\,5\right] \) يحقّق \( x>3 \).

لا يمكن لعدد أن يحقّق الشرطين معا، والعدد 3 نفسه لا ينتمي إلى \( \left]3\,;\,5\right] \) لأنّ هذا المجال مفتوح في 3.

الجواب الصحيح: \( \varnothing \)

ننشر الطرف الأيسر: \( 1+2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=1+2x-3=2x-2 \).

تصبح المتراجحة \( 2x-\dfrac{1}{2}<2x-2 \).

نطرح \( 2x \) من الطرفين: \( -\dfrac{1}{2}<-2 \)، وهذا خاطئ لأنّ \( -0{,}5>-2 \).

لا يوجد إذن أيّ عدد حقيقي يحقّق المتراجحة.

الجواب الصحيح: \( S=\varnothing \)

المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 3 و 6 هو 6، وهو موجب، فنضرب فيه دون قلب المتفاوتة.

\( 2(1+x)-6>6x-(1-x) \).

ننشر: \( 2+2x-6>6x-1+x \)، أي \( 2x-4>7x-1 \).

نطرح \( 7x \) ونضيف 4: \( -5x>3 \).

نقسم على \( -5 \) وهو سالب فتنقلب المتفاوتة: \( x<-\dfrac{3}{5} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left]-\infty\,;\,-\dfrac{3}{5}\right[ \)

ننقل: \( -|1+x|\ge 1-\dfrac{5}{2} \) أي \( -|1+x|\ge -\dfrac{3}{2} \).

نضرب في \( -1 \) فتنقلب المتفاوتة: \( |1+x|\le \dfrac{3}{2} \).

ومنه \( -\dfrac{3}{2}\le 1+x\le \dfrac{3}{2} \).

نطرح 1 من الأطراف الثلاثة: \( -\dfrac{5}{2}\le x\le \dfrac{1}{2} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left[-\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right] \)

لدينا \( 1\le a\le 3 \).

نطرح 1 من الأطراف الثلاثة: \( 0\le a-1\le 2 \).

وبما أنّ \( a-1 \) موجب، فإنّ التربيع يحافظ على الترتيب: \( 0^2\le (a-1)^2\le 2^2 \).

الجواب الصحيح: \( 0\le (a-1)^2\le 4 \)

ننطلق من الطرف الأيمن: \( 3(a-1)^2-12=3(a^2-2a+1)-12 \).

\( =3a^2-6a+3-12 \).

\( =3a^2-6a-9 \).

وهذا هو \( E \) بالضبط، إذن \( E=3(a-1)^2-12 \).

الجواب الصحيح: \( 3(a-1)^2-12 \)

انطلاقا من \( 0\le (a-1)^2\le 4 \) نضرب في 3 وهو موجب: \( 0\le 3(a-1)^2\le 12 \).

نطرح 12 من الأطراف الثلاثة: \( -12\le 3(a-1)^2-12\le 0 \).

وبما أنّ \( E=3(a-1)^2-12 \) فإنّ \( -12\le E\le 0 \).

الجواب الصحيح: \( -12\le E\le 0 \)

من الحصر السابق \( E\le 0 \)، ومنه \( |E|=-E=-3a^2+6a+9 \).

وننشر: \( 3a(a-2)=3a^2-6a \).

نجمع: \( |E|+3a(a-2)=(-3a^2+6a+9)+(3a^2-6a) \).

نختزل: \( |E|+3a(a-2)=9 \)، وهو عدد ثابت لا يتعلّق بـ \( a \).

الجواب الصحيح: \( 9 \)

\( A=9\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-12\times\dfrac{1}{3}+3 \).

\( =9\times\dfrac{1}{9}-4+3 \).

\( =1-4+3 \).

الجواب الصحيح: \( A=0 \)

ننطلق من الطرف الأيمن: \( (3x-2)^2-1=9x^2-12x+4-1 \).

\( =9x^2-12x+3 \).

وهذا هو \( A \) بالضبط، إذن \( A=(3x-2)^2-1 \).

الجواب الصحيح: \( (3x-2)^2-1 \)

لدينا \( 1<x<2 \)، نضرب في 3 وهو موجب: \( 3<3x<6 \).

نطرح 2: \( 1<3x-2<4 \).

الأطراف موجبة، فالتربيع يحافظ على الترتيب: \( 1<(3x-2)^2<16 \).

نطرح 1: \( 0<(3x-2)^2-1<15 \)، أي \( 0<A<15 \).

الجواب الصحيح: \( 0<A<15 \)

ننقل كلّ الحدود إلى طرف واحد: \( 9x^2-12x+3=0 \) أي \( A=0 \).

نستعمل الشكل \( (3x-2)^2-1=0 \)، وهو فرق مربّعين: \( (3x-2)^2-1^2=0 \).

نفكّك: \( (3x-2-1)(3x-2+1)=0 \) أي \( (3x-3)(3x-1)=0 \).

ومنه \( 3x-3=0 \) أو \( 3x-1=0 \)، أي \( x=1 \) أو \( x=\dfrac{1}{3} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left\{\dfrac{1}{3}\,;\,1\right\} \)

ننشر الطرف الأيسر: \( 3x(3x-1)=9x^2-3x \).

تصبح المتراجحة \( 9x^2-12x+3\le 9x^2-3x \).

نطرح \( 9x^2 \) من الطرفين: \( -12x+3\le -3x \).

نضيف \( 12x \): \( 3\le 9x \)، ثمّ نقسم على 9 وهو موجب: \( x\ge \dfrac{1}{3} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left[\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[ \)

لدينا \( A+1=(3x-2)^2 \)، وهو موجب دائما، فالجذر معرّف لكلّ عدد حقيقي \( x \).

\( \sqrt{A+1}=\sqrt{(3x-2)^2}=|3x-2| \).

تصبح المتراجحة \( |3x-2|<5 \)، أي \( -5<3x-2<5 \).

نضيف 2: \( -3<3x<7 \)، ثمّ نقسم على 3: \( -1<x<\dfrac{7}{3} \).

الجواب الصحيح: \( S=\left]-1\,;\,\dfrac{7}{3}\right[ \)

المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، فوتره \( [BC] \).

\( BC^2=AB^2+AC^2=(1{,}8)^2+(2{,}4)^2 \).

\( =3{,}24+5{,}76=9 \).

\( BC \) طول موجب، إذن نأخذ الجذر الموجب.

\( BC=\sqrt{9}=3 \)

الجواب الصحيح: \( 3 \)

في المثلث \( ABC \): النقطة \( D \) تنتمي إلى \( (AB) \) والنقطة \( E \) تنتمي إلى \( (AC) \).

وبما أنّ \( (DE)\parallel(BC) \)، فحسب مبرهنة طالس: \( \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC} \).

\( \dfrac{AD}{1{,}8}=\dfrac{6{,}4}{2{,}4} \).

\( AD=\dfrac{1{,}8\times 6{,}4}{2{,}4}=\dfrac{11{,}52}{2{,}4} \).

الجواب الصحيح: \( AD=4{,}8 \)

\( C \) تنتمي إلى \( (AC) \) و \( D \) تنتمي إلى \( (AB) \)، والمستقيمان متعامدان في \( A \): المثلث \( ACD \) قائم الزاوية في \( A \).

\( CD^2=AC^2+AD^2=(2{,}4)^2+(4{,}8)^2 \).

\( =5{,}76+23{,}04=28{,}8 \).

\( CD=\sqrt{28{,}8}=\sqrt{(2{,}4)^2\times 5}=2{,}4\sqrt{5} \).

الجواب الصحيح: \( CD=2{,}4\sqrt{5} \)

\( (CF) \) عمودي على \( (AC) \) و \( (DB) \) هو المستقيم \( (AB) \) العمودي أيضا على \( (AC) \)؛ ومستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \( (CF)\parallel(DB) \).

\( D \) و \( F \) تنتميان إلى \( \Delta \)، و \( \Delta\parallel(BC) \)، إذن \( (DF)\parallel(BC) \).

الرباعي \( BCFD \) له ضلعان متقابلان متوازيان \( [BC] \) و \( [FD] \)، وضلعان متقابلان متوازيان \( [CF] \) و \( [DB] \): فهو متوازي أضلاع.

النقطة \( B \) تنتمي إلى \( [AD] \) لأنّ \( AB=1{,}8<4{,}8=AD \)، ومنه \( DB=AD-AB=4{,}8-1{,}8=3 \).

وبما أنّ \( DB=CF \) (ضلعان متقابلان في متوازي أضلاع) فإنّ \( CF=3 \)، و \( BC=3 \) كذلك.

الضلعان المتتاليان \( [BC] \) و \( [CF] \) متقايسان في متوازي الأضلاع \( BCFD \).

الجواب الصحيح: \( BCFD \) معيّن طول ضلعه 3

نأخذ \( [CF] \) قاعدة؛ الارتفاع الموافق هو البعد بين المستقيمين المتوازيين \( (CF) \) و \( (DB) \).

هذان المستقيمان عموديان على \( (AC) \)، والبعد بينهما هو \( AC=2{,}4 \).

المساحة \( =CF\times AC=3\times 2{,}4 \).

الجواب الصحيح: المساحة \( =7{,}2 \) صم²

قطرا المعيّن \( BCFD \) هما \( [BF] \) و \( [CD] \).

ومنه \( 7{,}2=\dfrac{BF\times CD}{2} \)، أي \( BF\times CD=14{,}4 \).

وبما أنّ \( CD=2{,}4\sqrt{5} \) فإنّ \( BF=\dfrac{14{,}4}{2{,}4\sqrt{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \).

ننطق المقام: \( BF=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}=1{,}2\sqrt{5} \).

الجواب الصحيح: \( BF=1{,}2\sqrt{5} \)

السلّم \( \dfrac{1}{10000} \)، إذن نضرب أبعاد الرسم في 10000.

\( AB=4\times 10000=40000 \) صم \( =400 \) م.

\( AC=2\times 10000=20000 \) صم \( =200 \) م.

الجواب الصحيح: \( 400\,;\,200 \) بالمتر

المثلث قائم الزاوية في \( A \)، فالضلعان القائمان هما \( [AB] \) و \( [AC] \).

المساحة \( =\dfrac{400\times 200}{2}=\dfrac{80000}{2} \).

الجواب الصحيح: \( 40000 \)

في المثلث \( CAB \): \( M\in[CA] \) و \( N\in[CB] \) و \( (MN)\parallel(AB) \).

حسب مبرهنة طالس: \( \dfrac{CM}{CA}=\dfrac{MN}{AB} \)، أي \( \dfrac{x}{2}=\dfrac{MN}{4} \).

ومنه \( MN=\dfrac{4x}{2} \).

\( MN=2x \)

الجواب الصحيح: \( 2x \)

مساحة المثلث الكبير على الرسم: \( \dfrac{4\times 2}{2}=4 \) صم².

\( S=\dfrac{CM\times MN}{2}=\dfrac{x\times 2x}{2}=x^2 \)، و \( S'=4-x^2 \).

من أجل \( x=1{,}5 \): \( S=2{,}25 \) و \( S'=4-2{,}25=1{,}75 \)، إذن \( S>S' \).

من أجل \( x=1{,}4 \): \( S=1{,}96 \) و \( S'=4-1{,}96=2{,}04 \)، إذن \( S<S' \).

الجواب الصحيح: \( S>S' \) لمّا \( x=1{,}5 \) و \( S<S' \) لمّا \( x=1{,}4 \)

مساحة المثلث \( ABC \) على الرسم هي \( \dfrac{4\times 2}{2}=4 \) صم².

\( S=x^2 \) هي مساحة المثلث \( CMN \).

ومنه \( S'=4-x^2 \) لأنّ \( [MN] \) يقسم المثلث إلى \( CMN \) و \( ABNM \).

الجواب الصحيح: \( 4-x^2 \)

\( x^2=4-x^2 \) يكافئ \( 2x^2=4 \).

أي \( x^2=2 \).

ومنه \( x=\sqrt{2} \) أو \( x=-\sqrt{2} \).

الجواب الصحيح: \( S=\{-\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}\} \)

تساوي المساحتين يعني \( x^2=4-x^2 \)، وقد وجدنا \( x=\sqrt{2} \) أو \( x=-\sqrt{2} \).

وبما أنّ \( x=CM \) بعد فهو موجب، إذن \( x=\sqrt{2} \) صم على الرسم.

البعد الحقيقي: \( CM=\sqrt{2}\times 10000 \) صم \( =10000\sqrt{2} \) صم.

\( =100\sqrt{2} \) م.

الجواب الصحيح: \( CM=100\sqrt{2} \) م

لدينا \( 1{,}414<\sqrt{2}<1{,}415 \) لأنّ \( (1{,}414)^2=1{,}999396<2 \) و \( (1{,}415)^2=2{,}002225>2 \).

نضرب الأطراف الثلاثة في 100 وهو موجب: \( 141{,}4<100\sqrt{2}<141{,}5 \).

الجواب الصحيح: \( 141{,}4<CM<141{,}5 \) م

المثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \)، إذن \( BC^2=AB^2+AC^2 \).

\( AB^2=(3\sqrt{5})^2=9\times 5=45 \) و \( AC^2=6^2=36 \).

\( BC^2=45+36=81 \).

\( BC \) طول موجب، إذن نأخذ الجذر الموجب.

\( BC=\sqrt{81}=9 \)

الجواب الصحيح: \( 9 \)

\( H \) تنتمي إلى \( (\mathcal{C}) \) التي قطرها \( [AB] \)، إذن المثلث \( AHB \) قائم الزاوية في \( H \)، أي \( (HB)\perp(AH) \).

\( H \) تنتمي إلى \( (\mathcal{C}') \) التي قطرها \( [AC] \)، إذن المثلث \( AHC \) قائم الزاوية في \( H \)، أي \( (HC)\perp(AH) \).

المستقيمان \( (HB) \) و \( (HC) \) يمرّان من \( H \) وكلاهما عمودي على \( (AH) \)، فهما نفس المستقيم.

الجواب الصحيح: النقاط \( B \) و \( H \) و \( C \) على استقامة واحدة

من السؤال السابق \( H\in(BC) \) و \( (AH)\perp(BC) \)، إذن \( [AH] \) هو الارتفاع الصادر من \( A \).

\( AH\times BC=AB\times AC \) يعطي \( AH\times 9=3\sqrt{5}\times 6=18\sqrt{5} \).

\( AH=\dfrac{18\sqrt{5}}{9}=2\sqrt{5} \).

المثلث \( AHC \) قائم الزاوية في \( H \)، إذن \( HC^2=AC^2-AH^2=36-(2\sqrt{5})^2=36-20=16 \).

الجواب الصحيح: \( AH=2\sqrt{5} \) و \( HC=4 \)

\( H\in[BC] \) و \( BC=9 \) و \( HC=4 \)، إذن \( BH=BC-HC=9-4=5 \).

\( R\in[BH] \) و \( HR=1 \)، إذن \( BR=BH-HR=5-1=4 \).

في متوازي الأضلاع \( BADR \)، الضلعان \( [AD] \) و \( [RB] \) متقابلان، إذن \( AD=RB \).

\( AD=RB=4 \)

الجواب الصحيح: \( 4 \)

في متوازي الأضلاع \( BADR \) لدينا \( (AD)\parallel(BR) \)، و \( (BR) \) هو المستقيم \( (BC) \) لأنّ \( R\in[BH]\subset[BC] \).

إذن \( (AD)\parallel(HC) \)، وقد وجدنا \( AD=4=HC \)، والنقطتان \( A \) و \( D \) في نفس الجهة بالنسبة إلى \( (BC) \) كما يعطيه البناء.

الرباعي \( AHCD \) ضلعاه المتقابلان \( [AD] \) و \( [HC] \) متوازيان ومتقايسان: فهو متوازي أضلاع.

وزاويته في \( H \) قائمة لأنّ \( (AH)\perp(BC) \)، إذن \( AHCD \) مستطيل.

ومنه الزاوية \( \widehat{ADC} \) قائمة، أي المثلث \( ADC \) قائم الزاوية في \( D \).

فالنقطة \( D \) تنتمي إلى الدائرة التي قطرها \( [AC] \).

الجواب الصحيح: \( D\in(\mathcal{C}') \)

\( EF=x\sqrt{3}+\sqrt{3} \).

العامل المشترك بين الحدّين هو \( \sqrt{3} \).

الجواب الصحيح: \( EF=\sqrt{3}\,(x+1) \)

\( EF^2=\left(\sqrt{3}\,(x+1)\right)^2=(\sqrt{3})^2(x+1)^2=3(x+1)^2 \).

\( EG^2=(x+1)^2 \).

\( EF^2+EG^2=3(x+1)^2+(x+1)^2 \).

نجمع الحدّين المتشابهين: \( EF^2+EG^2=4(x+1)^2 \).

الجواب الصحيح: \( 4(x+1)^2 \)

المثلث \( EFG \) قائم الزاوية في \( E \)، إذن \( FG^2=EF^2+EG^2=4(x+1)^2 \).

\( FG=\sqrt{4(x+1)^2}=2|x+1| \).

وبما أنّ \( x \) موجب فإنّ \( x+1>0 \) ومنه \( |x+1|=x+1 \).

\( FG=2(x+1)=2x+2 \)

الجواب الصحيح: \( 2x+2 \)

\( [EI] \) هو المتوسّط الصادر من الزاوية القائمة \( E \) في المثلث \( EFG \)، إذن \( EI=\dfrac{FG}{2}=\dfrac{2(x+1)}{2}=x+1 \).

\( I \) منتصف \( [FG] \)، إذن \( IG=\dfrac{FG}{2}=x+1 \).

ولدينا \( EG=x+1 \) من المعطيات.

ومنه \( EI=IG=EG=x+1 \): الأضلاع الثلاثة متقايسة.

الجواب الصحيح: المثلث \( IEG \) متقايس الأضلاع طول ضلعه \( x+1 \)