نعتبر العبارة: $A = x^2 - 30x + 216$ حيث $x \in \mathbb{R}$
1) أحسب القيمة العددية للعبارة A في كل من الحالتين : أ- $x = 15$ ب- $x = 12$
2) أ- انشر واختصر العبارة $(x - 15)^2$
ب- استنتج أن : $A = (x - 15)^2 - 9$
ج- فكك العبارة A إلى جذاء عوامل
د- جد x إذا علمت أن $A = 0$
3) (وحدة قيس الطول هي المتر)
في هذا السؤال نريد البحث عن بعدي مستطيل محيطه $60m$ ومساحته $216m^2$
أ- ليكن a أحد أبعاد هذا المستطيل . تحقق أن $30 - a$ هو البعد الثاني :
ب- بين أن a هو حل للمساواة $x^2 - 30x + 216 = 0$
ج- استنتج إذن بعدي مستطيل
1) أ- $A = 15^2 - 30(15) + 216 = 225 - 450 + 216 = -9$
ب- $A = 12^2 - 30(12) + 216 = 144 - 360 + 216 = 0$
2) أ- $(x-15)^2 = x^2 - 30x + 225$
ب- $(x-15)^2 - 9 = x^2 - 30x + 225 - 9 = x^2 - 30x + 216 = A$
ج- $A = (x-15)^2 - 3^2 = (x-15-3)(x-15+3) = (x-18)(x-12)$
د- $A=0 \Rightarrow x-18=0 \text{ أو } x-12=0 \Rightarrow x=18 \text{ أو } x=12$
3) أ- المحيط $2(a+b)=60 \Rightarrow a+b=30 \Rightarrow b=30-a$
ب- المساحة $a \times b = 216 \Rightarrow a(30-a)=216 \Rightarrow 30a - a^2 = 216 \Rightarrow a^2 - 30a + 216 = 0$
ج- البعدان هما حلي المعادلة $A=0$ أي $18m$ و $12m$
I- 1) أحسب:
$a = 5^{-1} \times \sqrt{2}^2 - \sqrt{3}^2$
$b = \frac{1}{(\sqrt{5} - 2)^{-2012}} \times (\sqrt{5} + 2)^{2012}$
$c = \frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2} + 1} + \frac{2\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} - 1}$
2) اكتب في صيغة قوة عدد حقيقي:
$\frac{-5\sqrt{5} \times \sqrt{5}^4}{25^3}$ ; $\frac{0,00001^3 \times \frac{3}{100}}{0,0003 \times \frac{1}{10^{10}}}$ ; $\frac{(\sqrt{2} / 3)^{-7} \times (2/9)^2}{(3 / \sqrt{2})^{-9}}$
II- لتكن العبارة $F = \frac{(a^{-2}b)^{-3}a^{-3}b^2}{a^2b^{-5}(ab^{-6})^{-1}}$
1) بين أن $F = a^2b^{-2}$
2) أحسب F إذا علمت أن $\frac{a}{b} = 3\sqrt{2} - 5$ . ثم إذا علمت أن $a = b$
$a = \frac{1}{5} \times 2 - 3 = \frac{2}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{13}{5}$
$b = (\sqrt{5}-2)^{2012} \times (\sqrt{5}+2)^{2012} = [(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)]^{2012} = (5-4)^{2012} = 1$
$c = \frac{(2\sqrt{2}-1)^2 + (2\sqrt{2}+1)^2}{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)} = \frac{(8-4\sqrt{2}+1)+(8+4\sqrt{2}+1)}{8-1} = \frac{18}{7}$
$F = \frac{a^6b^{-3}a^{-3}b^2}{a^2b^{-5}a^{-1}b^6} = \frac{a^3b^{-1}}{ab} = a^2b^{-2}$
إذا كان $a/b = 3\sqrt{2}-5 \Rightarrow F = (3\sqrt{2}-5)^2 = 18 - 30\sqrt{2} + 25 = 43 - 30\sqrt{2}$
إذا كان $a=b \Rightarrow F = 1^2 = 1$
(وحدة القيس هي الصنتمتر)
يمثل الرسم مثلثاً ABC حيث: H المسقط العمودي لـ C على (AB) و I المسقط العمودي لـ H على (AC)
$BH = 12$ و $IA = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ و $IC = \frac{12\sqrt{5}}{5}$
1) أ- بين أن $IH = \frac{6\sqrt{5}}{5}$
ب- بين أن $CH = 6$ و $AH = 3$
ج- بين أن $BC = 6\sqrt{5}$
د- استنتج أن المثلث ABC قائم في C
2) عين النقطة E مناظرة A بالنسبة إلى H و النقطة G مناظرة H بالنسبة إلى E . أحسب $\frac{EG}{EB}$
3) عين النقطة K مناظرة C بالنسبة إلى E و النقطة L منتصف [BK]. بين أن النقاط C و G و L على استقامة واحدة
1) أ- في $AHC$ القائم في $H$: $IH^2 = IA \times IC = \frac{3\sqrt{5}}{5} \times \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{36 \times 5}{25} = \frac{36}{5} \Rightarrow IH = \frac{6\sqrt{5}}{5}$
ب- $CH^2 = IC \times AC = \frac{12\sqrt{5}}{5} \times 3\sqrt{5} = 36 \Rightarrow CH = 6$. و $AH^2 = IA \times AC = \frac{3\sqrt{5}}{5} \times 3\sqrt{5} = 9 \Rightarrow AH = 3$
ج- في $BHC$ القائم في $H$: $BC^2 = BH^2 + CH^2 = 12^2 + 6^2 = 180 \Rightarrow BC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$
د- $AB = 3 + 12 = 15 \Rightarrow AB^2 = 225$. و $AC^2 + BC^2 = 45 + 180 = 225$. إذن المثلث قائم في $C$ حسب عكس بيتاغور.
2) $E$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $H \Rightarrow HE=HA=3$. و $G$ مناظرة $H$ لـ $E \Rightarrow EG=EH=3$. إذن $EG=3$ و $EB = BH - HE = 12 - 3 = 9$. إذن $\frac{EG}{EB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
نعتبر العبارة: $E = 5x^2 + 3x - 26$
1) أحسب E في حالة $x = \sqrt{2} - 1$
2) أ- بين أن $E = (5x + 13)(x - 2)$
ب- جد x حيث $E = 0$
3) في الشكل ABC مثلث و D نقطة من [BC] و I, J من (AC) حيث (BI) // (DJ) و H حيث $(AD) \cap (BI) = \{H\}$ و $DC = a + 1$ و $a > 0$
أ- جد بدلالة a طول أضلع المثلث ADC إذا علمت أنها أعداد صحيحة طبيعية متتالية وأن أصغرها هو [CD] وأكبرها هو [AC]
ب- إذا علمت أن H المركز القائم للمثلث ABC و $DJ = \frac{12}{5}$. بين أن (DJ) ⊥ (AC) وأن المثلث ADC قائم ثم استنتج أن $5a^2 + 3a - 26 = 0$
ج- أحسب محيط المثلث ADC في حالة أن H المركز القائم للمثلث ABC .
1) $E = 5(\sqrt{2}-1)^2 + 3(\sqrt{2}-1) - 26 = 5(3-2\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} - 3 - 26 = 15 - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 29 = -14 - 7\sqrt{2}$
2) أ- $(5x+13)(x-2) = 5x^2 - 10x + 13x - 26 = 5x^2 + 3x - 26 = E$
ب- $E=0 \Rightarrow x = 2$ أو $x = -13/5$
3) أ- الأضلاع: $CD = a+1$, $AD = a+2$, $AC = a+3$
ب- $H$ مركز قائم $\Rightarrow (AD) \perp (BC)$ و $(BI) \perp (AC)$. بما أن $(DJ)//(BI)$ فإن $(DJ) \perp (AC)$. إذن $ADC$ قائم في $D$.
حسب بيتاغور: $(a+3)^2 = (a+1)^2 + (a+2)^2 \Rightarrow a^2 + 6a + 9 = 2a^2 + 6a + 5 \Rightarrow a^2 - 4 = 0$
ج- من $a^2-4=0$ نجد $a=2$. الأضلاع: $3, 4, 5$. المحيط $= 3+4+5 = 12$