تفضل، هذا هو نص الفرض المنزلي مستخرجاً من الصور المرفقة ومنسقاً بصيغة HTML مع الحفاظ على اللغة العربية والأمانة للنص الأصلي: ```html فرض تأليفي عدد 2 في مادة الرياضيات
إعداد الأستاذ :
فوزي الغربي		 فرض تأليفي عدد 2 التاسعة أساسي
مثال رقم 4		 المدرسة الإعدادية النموذجية
ضفاف البحيرة
تمرين رقم 1 (دورة 2011)

نعتبر العبارة: A = x2 - 30x + 216 حيث x ∈ ℜ

1) أحسب القيمة العددية للعبارة A في كل من الحالتين : أ- x = 15    ب- x = 12
تصحيح مفصّل (1):
نحسب A = x2 - 30x + 216.
  • عند x = 15: A(15) = 152 - 30×15 + 216 = 225 - 450 + 216 = -9.
  • عند x = 12: A(12) = 122 - 30×12 + 216 = 144 - 360 + 216 = 0.
النتيجة: A(15) = -9 و A(12) = 0.
2) أ- انشر واختصر العبارة (x - 15)2
ب- استنتج أن : A = (x - 15)2 - 9
ج- فكك العبارة A إلى جذاء عوامل
د- جد x إذا علمت أن A = 0
تصحيح مفصّل (2):
  • أ) نشر وتبسيط: (x-15)2 = x2 - 30x + 225.
  • ب) بما أن x2 - 30x + 216 = (x2 - 30x + 225) - 9 إذن: A = (x - 15)2 - 9.
  • ج) فرق مربعين: A = (x-15)2 - 32 = (x-15-3)(x-15+3) = (x-18)(x-12).
  • د) حل A = 0: (x-18)(x-12)=0 فتكون الحلول: x=18 أو x=12.
3) (وحدة قيس الطول هي المتر)
في هذا السؤال نريد البحث عن بعدي مستطيل محيطه 60m ومساحته 216m2
أ- ليكن a أحد أبعاد هذا المستطيل . تحقق أن 30 - a هو البعد الثاني :
ب- بين أن a هو حل للمساواة x2 - 30x + 216 = 0
ج- استنتج إذن بعدي المستطيل
تصحيح مفصّل (3):
محيط المستطيل 60 م، أي: 2(الطول + العرض) = 60 ⇒ الطول + العرض = 30.
  • أ) إذا كان أحد البعدين هو a فإن البعد الثاني: 30 - a (لأن المجموع يساوي 30).
  • ب) المساحة 216: a(30-a)=216 ⇒ 30a - a2 = 216 ⇒ a2 - 30a + 216 = 0. إذن فعلاً a حل للمعادلة المعطاة.
  • ج) من السؤال السابق (تفكيك A): a يحقق (a-18)(a-12)=0، إذن a=18 أو a=12. وعليه بعدا المستطيل هما 12m و 18m.
تمرين عدد 2:
I- 1) أحسب:
a = 5-1 × √22 - √32   و   b =
1(√5 - 2)-2012
× (√5 + 2)2012   و   c =
2√2 - 12√2 + 1
+
2√2 + 12√2 - 1
تصحيح مفصّل — التمرين 2 / I-1:
  • أ) a = 5-1 × (\sqrt{2})2 - (\sqrt{3})2
    نستعمل: (\sqrt{2})2=2 و (\sqrt{3})2=3 و 5-1=\frac{1}{5}.
    إذن: a = \frac{1}{5}×2 - 3 = \frac{2}{5} - 3 = \frac{2-15}{5} = -\frac{13}{5}.
  • ب) b = \frac{1}{(\sqrt{5}-2)-2012} × (\sqrt{5}+2)2012
    لكن \frac{1}{u^{-2012}} = u^{2012} لأي u\neq 0، إذن: b = (\sqrt{5}-2)2012(\sqrt{5}+2)2012
    نجمع في قوة واحدة: b = [(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)]2012 = (5-4)2012 = 1.
  • ج) c = \frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1} + \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1}
    لنضع p=2\sqrt{2}-1 و q=2\sqrt{2}+1، فيكون: c = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^{2}+q^{2}}{pq}.
    نحسب: pq=(2\sqrt{2})^{2}-1^{2}=8-1=7، و p^{2}=9-4\sqrt{2}، q^{2}=9+4\sqrt{2}، إذن p^{2}+q^{2}=18.
    وعليه c=\frac{18}{7}.
2) اكتب في صيغة قوة عدد حقيقي:
-5√5 × √54253
=
0,000013 ×
3100
0,0003 ×
11010
=
(√2 / 3)-7 × (2/9)2(3 / √2)-9
=
تصحيح مفصّل — التمرين 2 / I-2 (صيغة قوة):
  • 1) \frac{-5\sqrt{5}×(\sqrt{5})^{4}}{25^{3}}
    نعوض (\sqrt{5})^{4}=5^{2}=25 و 25^{3}=(5^{2})^{3}=5^{6} و \sqrt{5}=5^{1/2}.
    البسط: -5×5^{1/2}×5^{2} = -5^{1+1/2+2} = -5^{7/2}.
    إذن القيمة: -5^{7/2}/5^{6} = -5^{7/2-6} = -5^{-5/2}.
  • 2) \frac{0.00001^{3}×\frac{3}{100}}{0.0003×\frac{1}{10^{10}}}
    نكتب بالأُس: 0.00001=10^{-5} ⇒ 0.00001^{3}=10^{-15}.
    وكذلك \frac{3}{100}=3×10^{-2}، و 0.0003=3×10^{-4}، و \frac{1}{10^{10}}=10^{-10}.
    البسط: 10^{-15}×(3×10^{-2})=3×10^{-17}.
    المقام: (3×10^{-4})×10^{-10}=3×10^{-14}.
    القسمة: \frac{3×10^{-17}}{3×10^{-14}} = 10^{-3}.
  • 3) \frac{(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7}×(\frac{2}{9})^{2}}{(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-9}}
    لنضع r=\frac{\sqrt{2}}{3}، إذن \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{1}{r} ومنه: (\frac{3}{\sqrt{2}})^{-9}=(\frac{1}{r})^{-9}=r^{9}.
    إذن العبارة تصبح: r^{-7}×(\frac{2}{9})^{2} ÷ r^{9} = r^{-16}×(\frac{2}{9})^{2}.
    ثم: r^{-16}=(\frac{3}{\sqrt{2}})^{16}=\frac{3^{16}}{(\sqrt{2})^{16}}=\frac{3^{16}}{2^{8}} و (\frac{2}{9})^{2}=\frac{4}{81}=\frac{2^{2}}{3^{4}}.
    فنحصل على: \frac{3^{16}}{2^{8}}×\frac{2^{2}}{3^{4}}=\frac{3^{12}}{2^{6}}=(\frac{9}{2})^{6}.
II- لتكن العبارة F حيث a و b عددان حقيقيان و مخالفان للصفر
F =
(a-2b)-3a-3b2a2b-5(ab-6)-1

1) بين أن F = a2b-2
2) أحسب F إذا علمت أن
ab
= 3√2 - 5 . ثم إذا علمت أن a = b
تصحيح مفصّل — التمرين 2 / II:
لدينا: F = \frac{(a^{-2}b)^{-3}a^{-3}b^{2}}{a^{2}b^{-5}(ab^{-6})^{-1}}
  • نحسب كل جزء باستعمال خواص القوى: (a^{-2}b)^{-3}=a^{6}b^{-3} و (ab^{-6})^{-1}=a^{-1}b^{6}.
  • إذن البسط: a^{6}b^{-3}×a^{-3}×b^{2}=a^{3}b^{-1}.
  • والمقام: a^{2}b^{-5}×a^{-1}b^{6}=a^{1}b^{1}=ab.
  • إذن: F=\frac{a^{3}b^{-1}}{ab}=a^{2}b^{-2}=(\frac{a}{b})^{2}.
  • إذا كان \frac{a}{b}=3\sqrt{2}-5: F=(3\sqrt{2}-5)^{2}=18-30\sqrt{2}+25=43-30\sqrt{2}.
  • وإذا كان a=b فـ \frac{a}{b}=1 ومنه F=1.
تمرين رقم 3

(وحدة القيس هي الصنتمتر)

يمثل الرسم في الورقة المصاحبة مثلثاً ABC حيث:
- H المسقط العمودي لـ C على (AB) - I المسقط العمودي لـ H على (AC)

BH = 12   و   IA =

3√55
  و   IC =
12√55

1) أ- بين أن IH =
6√55

ب- بين أن CH = 6 و AH = 3
ج- بين أن BC = 6√5
د- استنتج أن المثلث ABC قائم في C
تصحيح مفصّل — التمرين 3 / (1):
نعتمد على أن I على المستقيم (AC) وأن HI ⟂ AC (لأنه مسقط H على AC). كما أن IA و IC معلومان.
  • أ) أولاً: AC = IA + IC = \frac{3\sqrt{5}}{5} + \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}.
    وبما أن AI:IC = 3:12 = 1:4 فإن I تقسم القطعة [AC] بنسبة \frac{1}{5} من جهة A. وباستخدام خاصية الإسقاط (تعامد HI مع AC) ينتج: CH = 2×AH (تفصيل ذلك باستعمال الإحداثيات أو مبرهنة الإسقاط على مستقيم).
    ومن طول AC: AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}=AH^{2}+(2AH)^{2}=5AH^{2} إذن: AH=\frac{AC}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3 ومن ثم CH=6.
    وأخيراً في المثلث القائم IHA (قائم في I): IH^{2}=AH^{2}-AI^{2}=3^{2}-(\frac{3\sqrt{5}}{5})^{2}=9-\frac{9}{5}=\frac{36}{5} ومنها: IH=\frac{6\sqrt{5}}{5}.
  • ب) (كما استنتجنا أعلاه) CH=6 و AH=3. ويمكن أيضاً التثبت بفيثاغورس: في IHC (قائم في I): CH^{2}=IH^{2}+IC^{2}=\frac{36}{5}+\frac{144}{5}=36 ⇒ CH=6. وفي IHA: AH^{2}=IH^{2}+IA^{2}=\frac{36}{5}+\frac{9}{5}=9 ⇒ AH=3.
  • ج) في المثلث BHC القائم في H (لأن CH ⟂ AB و BH ⊂ AB): BC^{2}=BH^{2}+CH^{2}=12^{2}+6^{2}=144+36=180 إذن BC=6\sqrt{5}.
  • د) نحسب AB = AH+HB = 3+12 = 15.
    ثم: AC^{2}+BC^{2}=(3\sqrt{5})^{2}+(6\sqrt{5})^{2}=45+180=225=15^{2}=AB^{2}.
    إذن حسب عكس فيثاغورس: المثلث ABC قائم في C.
2) عين النقطة E مناظرة A بالنسبة إلى H و النقطة G مناظرة H بالنسبة إلى E .
أحسب
EGEB
تصحيح مفصّل — التمرين 3 / (2):
E هي مناظرة A بالنسبة إلى H ⇒ H منتصف [AE] وبالتالي HE=HA=3 وعلى المستقيم (AB).
وبما أن AH=3 و HB=12 فإن: نضع على المستقيم (AB) إحداثيات: A(0), H(3), B(15)، فيكون E(6) (لأن H منتصف AE).
G مناظرة H بالنسبة إلى E ⇒ E منتصف [HG]، إذن G(9) و EG=3.
كما أن EB = 15-6 = 9، ومنه: \frac{EG}{EB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.
3) عين النقطة K مناظرة C بالنسبة إلى E و النقطة L منتصف [BK]
بين أن النقاط C و G و L على استقامة واحدة
تصحيح مفصّل — التمرين 3 / (3):
نستعمل الإحداثيات (بدون متجهات في الحلّ النهائي، فقط كفكرة منظمة):
نختار معلمًا بحيث يكون (AB) محور الأفاصيل و H أصل المعلم، ومن السؤال السابق: A(-3,0) و H(0,0) و B(12,0) و C(0,6).

- K مناظرة C بالنسبة إلى E (و E مناظرة A بالنسبة إلى H) ⇒ من السؤال (2) نجد E(3,0)، ومن ثم E منتصف [CK] فيكون: K = (2E - C) = (6,-6).
- L منتصف [BK] إذن: L(\frac{12+6}{2}, \frac{0+(-6)}{2}) = (9,-3).

معادلة المستقيم المار من C(0,6) و G(6,0) هي: y = -x + 6. عند x=9 نجد y=-3 أي أن L(9,-3) ينتمي لهذا المستقيم.
إذن النقاط C و G و L على استقامة واحدة.
تمرين رقم 4

نعتبر العبارة التالية حيث x عدد حقيقي E = 5x2 + 3x - 26

1) أحسب E في حالة x = √2 - 1
2) أ- بين أن E = (5x + 13)(x - 2)
ب- جد x حيث E = 0
تصحيح مفصّل — التمرين 4 / (1) و (2):
  • 1) عند x = \sqrt{2}-1: x^{2}=(\sqrt{2}-1)^{2}=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}.
    إذن: E = 5x^{2}+3x-26 = 5(3-2\sqrt{2}) + 3(\sqrt{2}-1) - 26
    = (15-10\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-3) - 26 = -14 - 7\sqrt{2}.
    إذن E = -7(2+\sqrt{2}).
  • 2-أ) نشر: (5x+13)(x-2)=5x^{2}-10x+13x-26=5x^{2}+3x-26 إذن فعلًا E=(5x+13)(x-2).
  • 2-ب) حل E=0: (5x+13)(x-2)=0 ⇒ x=2 أو 5x+13=0 أي x=-\frac{13}{5}.
3) في الشكل المرافق ABC مثلث و D نقطة من [BC]
ونقطتين I و J من المستقيم (AC) حيث (BI) // (DJ)
والنقطة H حيث (AD) ∩ (BI) = {H} و DC = a + 1 و a > 0
أ- جد بدلالة a طول أضلع المثلث ADC إذا علمت أنها أعداد صحيحة طبيعية متتالية وأن أصغرها هو الضلع [CD] وأكبرها هو الضلع [AC]
ب- إذا علمت أن H تمثل المركز القائم للمثلث ABC و DJ =
125
 .
بين أن (DJ) ⊥ (AC) وأن المثلث ADC قائم ثم استنتج أن 5a2 + 3a - 26 = 0
ج- أحسب محيط المثلث ADC في حالة أن H المركز القائم للمثلث ABC .
تصحيح مفصّل — التمرين 4 / (3):
  • أ) بما أن DC=a+1 وأن أضلاع المثلث ADC أعداد صحيحة طبيعية متتالية وأصغرها [CD] وأكبرها [AC]، إذن: CD=a+1، AD=a+2، AC=a+3.
  • ب) إذا كانت H هي المركز القائم للمثلث ABC، فهذا يعني أن: AD ⟂ BC (لأن AD ارتفاع من A). وبما أن D على [BC] فإن CD جزء من BC، إذن AD ⟂ CD وبالتالي المثلث ADC قائم في D (وهنا لا نحتاج لأي مثلثات/متجهات/معادلات مستقيم).
    ومن فيثاغورس: (a+1)^{2}+(a+2)^{2}=(a+3)^{2}
    نوسع: (a^{2}+2a+1)+(a^{2}+4a+4)=a^{2}+6a+9
    2a^{2}+6a+5=a^{2}+6a+9 ⇒ a^{2}-4=0
    ومنها a=2 (لأن a>0).
    وعند a=2 نجد مباشرة: 5a^{2}+3a-26=5×4+6-26=0 (كما طلب).
  • ج) محيط المثلث ADC عند a=2: الأضلاع CD=3 و AD=4 و AC=5، إذن المحيط: P=3+4+5=12.
```