اختر الإجابة الوحيدة الصحيحة من بين المقترحات المقدمة:
| السؤال | مقترح 1 | مقترح 2 | مقترح 3 |
|---|
| نتيجة العبارة: \( |5 - 2\sqrt{7}| - 5 \) |
\( -2\sqrt{7} \) |
\( 10 - 2\sqrt{7} \) |
\( 2\sqrt{7} - 10 \) |
| إذا كان \( 0 < x < 1 \) فإن: |
\( x^{-1} < x^{-2} \) |
\( x^{-1} > x^{-2} \) |
\( x^{-1} = x^{-2} \) |
| مساحة مربع قطر طوله \( 4 + \sqrt{2} \) |
\( 9 + 4\sqrt{2} \) |
\( 9 \) |
\( 18 \) |
| في الشكل (نصف دائرة)، الشعاع \( OA \) يساوي: |
\( 2\sqrt{3} \) |
\( \sqrt{3} \) |
\( \sqrt{2} \) |
1) بما أن \( 5 < 2\sqrt{7} \) (لأن \( 25 < 28 \))، فإن \( |5 - 2\sqrt{7}| = 2\sqrt{7} - 5 \). إذن: \( (2\sqrt{7} - 5) - 5 = 2\sqrt{7} - 10 \). (المقترح 3)
2) بما أن \( 0 < x < 1 \)، فإن \( x > x^2 \). بقلب الأطراف: \( \frac{1}{x} < \frac{1}{x^2} \) أي \( x^{-1} < x^{-2} \). (المقترح 1)
3) المساحة = \( \frac{d^2}{2} = \frac{(4 + \sqrt{2})^2}{2} = \frac{16 + 8\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{18 + 8\sqrt{2}}{2} = 9 + 4\sqrt{2} \). (المقترح 1)
4) المثلث ABC قائم في C. حسب بيتاغور: \( BC = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \). الشعاع \( OA = \frac{2\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3} \). (المقترح 2)
لتكن العبارة الجبرية \( E = x^2 - 6x + 5 \)
1) أ- بيّن أن: \( E = (x - 3)^2 - 4 \). ب- فكك E. ج- أوجد x إذا كان \( E = 0 \).
2) أ- احسب E إذا كان \( x = 2\sqrt{5} \). ب- استنتج كتابة مختصرة لـ \( \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} \).
1) أ- \( (x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5 = E \).
ب- \( E = (x - 3)^2 - 2^2 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1) \).
ج- \( E = 0 \) يعني \( x - 5 = 0 \) أو \( x - 1 = 0 \)، إذن \( x \in \{1, 5\} \).
2) أ- لـ \( x = 2\sqrt{5} \): \( E = (2\sqrt{5} - 3)^2 - 4 = (20 - 12\sqrt{5} + 9) - 4 = 25 - 12\sqrt{5} \).
ب- لدينا \( (2\sqrt{5} - 3)^2 = 29 - 12\sqrt{5} \). بما أن \( 2\sqrt{5} > 3 \)، فإن \( \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} - 3 \).
I.
1) نعتبر \( A = 4x^2 - 12x + 5 \) و \( B = 4x^2 - 4x + 1 \).
أ- احسب A لـ \( x = -1/2 \). 2) أ- بيّن أن \( A = (2x - 3)^2 - 4 \). ب- فكك A. 3) أ- فكك B. ب- بيّن أن \( A + B = 2(2x - 1)(2x - 3) \).
II.
\( a = 11 - 4\sqrt{7} \) و \( b = 8 + 2\sqrt{7} \)
1) اكتب a و b في صيغة جذاء معتبر. استنتج \( \sqrt{a} - \sqrt{b} = -3 \).
2) قارن \( 2\sqrt{5} \) و \( 3\sqrt{2} \). استنتج \( \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{2}} < 5 \).
3) قارن \( 4 - 3\sqrt{2} \) و \( \sqrt{2\sqrt{5} + 3} \). 4) اختصر \( d \). 5) قارن العبارات الكسرية.
I. 1) أ- لـ \( x = -1/2 \): \( A = 4(1/4) - 12(-1/2) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12 \).
2) ب- \( A = (2x - 3 - 2)(2x - 3 + 2) = (2x - 5)(2x - 1) \).
3) أ- \( B = (2x - 1)^2 \). ب- \( A+B = (2x-1)[(2x-5)+(2x-1)] = 2(2x-1)(2x-3) \).
II. 1) \( a = (\sqrt{7} - 2)^2 \)، \( b = (\sqrt{7} + 1)^2 \). إذن \( \sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt{7}-2) - (\sqrt{7}+1) = -3 \).
2) \( (2\sqrt{5})^2 = 20 \) و \( (3\sqrt{2})^2 = 18 \)، إذن \( 2\sqrt{5} > 3\sqrt{2} \).
5) أ- بما أن \( x > y \)، فإن \( \frac{1}{x} < \frac{1}{y} \)، ومنه \( \frac{-4}{x} > \frac{-4}{y} \). إذن \( \frac{-4}{x} + 5 > \frac{-4}{y} + 5 \).
1- أ) رسم الدائرة وتعيين النقطتين C و H.
2- ب) تبيان أن المثلث OBC متقايس الأضلاع.
3- ج) تبيان أن AH = 6 و CH = 2√3.
4- أ) برهنة أن المثلث ABC قائم في C.
5- ب) استنتاج أن AC = 4√3.
6- أ) تبيان أن (BD) // (CH).
7- ب) حساب BD و AD (طاليس).
8- أ+ب) تبيان أن OEB قائم و G مركز ثقل ABE.
9- أ+ب) تبيان أن ABE متقايس الأضلاع وانتماء F للدائرة.
1+2) المثلث OBC: لدينا \( OB=OC=4 \) (شعاع) و \( BC=4 \)، إذن هو متقايس الأضلاع.
3) حساب المسافات: H منتصف [OB] لأن OBC متقايس الأضلاع. إذن \( OH=2 \).
\( AH = AO + OH = 4 + 2 = 6 \).
حسب بيتاغور في OCH: \( CH = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
4+5) المثلث ABC: محاط بدائرة قطرها [AB] فهو قائم في C.
\( AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \).
6+7) مبرهنة طاليس (3 خطوات):
1- في المثلث ABD، لدينا \( C \in (AD) \) و \( H \in (AB) \).
2- بما أن \( (CH) // (BD) \) (لأنهما عموديان على AB).
3- حسب مبرهنة طاليس: \( \frac{AH}{AB} = \frac{AC}{AD} = \frac{CH}{BD} \).
إذن: \( \frac{6}{8} = \frac{2\sqrt{3}}{BD} \Rightarrow BD = \frac{8 \times 2\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \).
8) مركز الثقل G: في المثلث ABE، بما أن C منتصف [BE] فإن (AC) هو **موسط**.
بما أن O منتصف [AB] فإن (EO) هو **موسط**. تقاطعهما G هو مركز الثقل.
9) النقطة F والدائرة: ABE متقايس الأضلاع لأن أضلاعه تساوي 8. F منتصف [AE] (لأن BG موسط).
حسب قاعدة الربط: \( OF = BE/2 = 4 \). بما أن البعد يساوي الشعاع، فإن \( F \in (\zeta) \).