فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) 🚀

اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات التالية

1) $P$ عدد صحيح فردي إذا $(p+1)^2$ يقبل القسمة على:
أ) 3 ب) 4 ج) 5

2) أي الأعداد التالية هو عدد صحيح طبيعي:
أ) $\sqrt{139129}$ ب) $\sqrt{139123}$ ج) $\sqrt{139127}$

3) القيمة التقريبية بالنقصان لـ $6.35$ بـ 3 أرقام بعد الفاصل هي:
أ) $6.353$ ب) $6.354$ ج) $6.355$

4) نعتبر الكتابة $abc7.25$ حيث $a$ و $b$ و $c$ أرقام. إذا علمت أن الرقم الذي رتبته 3102 بعد الفاصل هو 5 فإن:
أ) $a=5$ ب) $b=5$ ج) $c=5$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: $P$ عدد صحيح فردي إذا $(p+1)^2$ يقبل القسمة على؟

الحل:

إذا كان $P$ فردياً، فإن $P = 2k+1$ حيث $k$ عدد صحيح

$P+1 = 2k+1+1 = 2k+2 = 2(k+1)$
إذن $P+1$ زوجي

$(P+1)^2 = [2(k+1)]^2 = 4(k+1)^2$

$(P+1)^2$ يقبل القسمة على 4

✅ الإجابة الصحيحة: 4

السؤال 2: أي الأعداد التالية هو عدد صحيح طبيعي؟

الحل:

نحسب كل جذر:

$373^2 = 139129$ ✓
$\sqrt{139129} = 373$ (عدد صحيح طبيعي)

$\sqrt{139123} \approx 373.00..$ (ليس عدداً صحيحاً)
$\sqrt{139127} \approx 372.99..$ (ليس عدداً صحيحاً)

✅ الإجابة الصحيحة: $\sqrt{139129} = 373$

السؤال 3: القيمة التقريبية بالنقصان لـ $6.35$ بـ 3 أرقام بعد الفاصل

الحل:

العدد: $6.35 = 6.350$
بثلاثة أرقام بعد الفاصل: $6.350$
بالنقصان (نحذف ما بعد الرقم الثالث): $6.350$

✅ الإجابة الصحيحة: $6.350$ أو $6.35$

ملاحظة: الإجابات المقترحة (6.353, 6.354, 6.355) كلها أكبر من 6.35

السؤال 4: الكتابة $abc7.25$ والرقم الذي رتبته 3102 بعد الفاصل هو 5

الحل:

الكتابة العشرية: $abc7.25252525...$ (دورية)

الدور = "25" (رقمان)
$3102 = 1551 \times 2 + 0$
الباقي = 0 ⟹ الرقم الأخير من الدور
الرتبة 3102 تقابل الرقم 5

الأرقام $a$، $b$، $c$ قبل الفاصل لا تؤثر على الرتبة بعد الفاصل

⚠️ السؤال غير واضح - يحتاج معلومات إضافية

🎪 التمرين رقم 2 (6 نقاط) 🎪

1) أ) بين أن $\dfrac{2n+16}{n+2} = 2 + \dfrac{12}{n+2}$ هو عدد صحيح طبيعي (حيث $n$ عدد صحيح طبيعي)

ب) أوجد القيم الممكنة للعدد $n$ حيث $\dfrac{2n+16}{n+2}$ هو عدد صحيح طبيعي

2) أرسم شجرة الاختيار لتبحث عن كل الأعداد الزوجية المتكونة من 3 أرقام مختلفة يكون رقم عشراتها مضاعف لـ 4 و رقم مئاتها يساوي جذره

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) أ) إثبات المساواة

$\dfrac{2n+16}{n+2} = \dfrac{2n+4+12}{n+2}$

$= \dfrac{2(n+2)+12}{n+2}$

$= \dfrac{2(n+2)}{n+2} + \dfrac{12}{n+2}$

$= 2 + \dfrac{12}{n+2}$

✅ ثبتت المساواة

1) ب) القيم الممكنة لـ $n$

لكي يكون $\dfrac{2n+16}{n+2}$ عدداً صحيحاً طبيعياً:

يجب أن يكون $\dfrac{12}{n+2}$ عدداً صحيحاً
أي $(n+2)$ يقسم 12

قواسم 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

$n+2 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
$n \in \{-1, 0, 1, 2, 4, 10\}$

بما أن $n$ عدد صحيح طبيعي (أي $n \geq 0$):

✅ $n \in \{0, 1, 2, 4, 10\}$

2) شجرة الاختيار

الشروط:

• العدد زوجي (الآحاد: 0, 2, 4, 6, 8)

• رقم العشرات مضاعف لـ 4: {0, 4, 8}

• رقم المئات يساوي جذره (أي رقم المئات = $\sqrt{\text{رقم المئات}}$)

• الأرقام مختلفة

رقم المئات الذي يساوي جذره:

إذا كان $m = \sqrt{m}$ حيث $m$ رقم (0-9)
$m^2 = m$
$m^2 - m = 0$
$m(m-1) = 0$
$m = 0$ أو $m = 1$

رقم المئات: {0, 1} لكن 0 لا يصلح (ليس عدد من 3 أرقام)

إذن رقم المئات = 1

البحث عن الأعداد:

المئات = 1
العشرات ∈ {0, 4, 8}
الآحاد ∈ {0, 2, 4, 6, 8} (زوجية ومختلفة)

الحالة 1: 1-0-؟
الآحاد: {2, 4, 6, 8} → الأعداد: 102, 104, 106, 108

الحالة 2: 1-4-؟
الآحاد: {0, 2, 6, 8} → الأعداد: 140, 142, 146, 148

الحالة 3: 1-8-؟
الآحاد: {0, 2, 4, 6} → الأعداد: 180, 182, 184, 186

✅ المجموع = 12 عدداً

الأعداد: 102, 104, 106, 108, 140, 142, 146, 148, 180, 182, 184, 186

🔬 التمرين رقم 3 (4 نقاط) 🔬

نعتبر المجموعة التالية:

$$A = \left\{\sqrt{\dfrac{18}{50}}; 3.27; 0; \sqrt{2}; -\dfrac{11}{\sqrt{8^2+6^2}}; -\dfrac{45}{15}\right\}$$ $$B = \left\{\sqrt{5}-\sqrt{2}; \dfrac{43478}{12}; -\sqrt{10}; 0.36; \dfrac{5}{2}; 0; -\sqrt{2}\right\}$$

1) حدد المجموعات التالية: $A \cap D$ ; $B \cap I$ ; $B \cap \mathbb{N}$ ; $B \cap I$ ; $A \cap B$
حيث $I$ هي مجموعة الأعداد الصماء

2) نعتبر المستقيم العددي $(xy)$ المدرج بالمعيّن $(O,J)$ حيث $(OJ=2\text{cm})$
عيّن النقاط $P$ و $Q$ و $R$ التي فاصلاتها على التوالي: $-\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ و $-\sqrt{2}$ و $\dfrac{2\sqrt{2}+3\sqrt{4}}{4}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

تبسيط عناصر $A$:

• $\sqrt{\dfrac{18}{50}} = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$ ∈ ℚ

• $3.27$ ∈ ℚ

• $0$ ∈ ℕ

• $\sqrt{2}$ ∉ ℚ (أصم)

• $-\dfrac{11}{\sqrt{8^2+6^2}} = -\dfrac{11}{\sqrt{64+36}} = -\dfrac{11}{\sqrt{100}} = -\dfrac{11}{10}$ ∈ ℚ

• $-\dfrac{45}{15} = -3$ ∈ ℤ

تبسيط عناصر $B$:

• $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ ∉ ℚ (أصم)

• $\dfrac{43478}{12}$ ∈ ℚ

• $-\sqrt{10}$ ∉ ℚ (أصم)

• $0.36 = \dfrac{36}{100}$ ∈ ℚ

• $\dfrac{5}{2}$ ∈ ℚ

• $0$ ∈ ℕ

• $-\sqrt{2}$ ∉ ℚ (أصم)

الإجابات:

$A \cap D = \left\{\dfrac{3}{5}; 3.27; -\dfrac{11}{10}; -3; 0\right\}$

$B \cap I = \{\sqrt{5}-\sqrt{2}; -\sqrt{10}; -\sqrt{2}\}$

$B \cap \mathbb{N} = \{0\}$

$A \cap B = \{0\}$

2) تعيين النقاط

المعيّن: $(O,J)$ حيث $OJ = 2\text{cm}$

إذن وحدة القياس = 2 cm

النقطة $P$: فاصلتها $-\sqrt{2} \approx -1.414$

المسافة من $O$ = $1.414 \times 2 = 2.828$ cm يساراً

النقطة $Q$: فاصلتها $\sqrt{5} \approx 2.236$

المسافة من $O$ = $2.236 \times 2 = 4.472$ cm يميناً

النقطة $R$: فاصلتها $\dfrac{2\sqrt{2}+3\sqrt{4}}{4} = \dfrac{2\sqrt{2}+6}{4} = \dfrac{\sqrt{2}+3}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}+3}{2} \approx \dfrac{1.414+3}{2} = \dfrac{4.414}{2} = 2.207$

المسافة من $O$ = $2.207 \times 2 = 4.414$ cm يميناً

📐 التمرين رقم 4 (6 نقاط) 📐

نعتبر العبارتين:

$$N = x - \left[3 - \left(x-\sqrt{2}\right)\right] - \left[\dfrac{1}{2} + \left(x - \dfrac{5}{2}\right) - (-1 + \sqrt{2})\right]$$ $$M = -(\sqrt{3} - 11) - \left[-\left(-x+\sqrt{3}\right) - (y - 11) + \sqrt{3}\right]$$

1) بيّن أن $N = x - 2$ و $M = y - x - \sqrt{3}$

2) أحسب $y$ إذا علمت أن $M$ و $N$ متقابلان

3) أحسب $M$ إذا علمت أن $x = 29 - \sqrt{19} - \sqrt{9}$ و $y = \sqrt{\dfrac{135 \times 25^3}{15^5}}$

4) أحسب $y - x$ إذا علمت أن $M = \sqrt{2 + \sqrt{\dfrac{98}{162}}}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) تبسيط $N$

$N = x - [3 - (x-\sqrt{2})] - [\dfrac{1}{2} + (x - \dfrac{5}{2}) - (-1 + \sqrt{2})]$

$= x - [3 - x + \sqrt{2}] - [\dfrac{1}{2} + x - \dfrac{5}{2} + 1 - \sqrt{2}]$

$= x - 3 + x - \sqrt{2} - \dfrac{1}{2} - x + \dfrac{5}{2} - 1 + \sqrt{2}$

$= x + (x - x) + (-3 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} - 1) + (-\sqrt{2} + \sqrt{2})$

$= x + (-3 + 2 - 1) + 0$

$= x - 2$

✅ $N = x - 2$

تبسيط $M$

$M = -(\sqrt{3} - 11) - [-(-x+\sqrt{3}) - (y - 11) + \sqrt{3}]$

$= -\sqrt{3} + 11 - [x - \sqrt{3} - y + 11 + \sqrt{3}]$

$= -\sqrt{3} + 11 - x + \sqrt{3} + y - 11 - \sqrt{3}$

$= y - x + (-\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3}) + (11 - 11)$

$= y - x - \sqrt{3}$

✅ $M = y - x - \sqrt{3}$

2) حساب $y$ حيث $M$ و $N$ متقابلان

$M$ و $N$ متقابلان ⟹ $M + N = 0$

$(y - x - \sqrt{3}) + (x - 2) = 0$
$y - x - \sqrt{3} + x - 2 = 0$
$y - \sqrt{3} - 2 = 0$
$y = \sqrt{3} + 2$

✅ $y = \sqrt{3} + 2$

3) حساب $M$ مع قيم $x$ و $y$ المعطاة

$x = 29 - \sqrt{19} - \sqrt{9} = 29 - \sqrt{19} - 3 = 26 - \sqrt{19}$

$y = \sqrt{\dfrac{135 \times 25^3}{15^5}} = \sqrt{\dfrac{135 \times 15625}{759375}}$
$= \sqrt{\dfrac{27 \times 5 \times 5^6}{3^5 \times 5^5}} = \sqrt{\dfrac{27 \times 5}{243}} = \sqrt{\dfrac{135}{243}}$
$= \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$M = y - x - \sqrt{3}$
$= \dfrac{\sqrt{5}}{3} - (26 - \sqrt{19}) - \sqrt{3}$
$= \dfrac{\sqrt{5}}{3} - 26 + \sqrt{19} - \sqrt{3}$

✅ $M = \dfrac{\sqrt{5}}{3} + \sqrt{19} - \sqrt{3} - 26$

4) حساب $y - x$ مع قيمة $M$ المعطاة

$M = \sqrt{2 + \sqrt{\dfrac{98}{162}}}$

$\dfrac{98}{162} = \dfrac{49}{81}$
$\sqrt{\dfrac{49}{81}} = \dfrac{7}{9}$

$M = \sqrt{2 + \dfrac{7}{9}} = \sqrt{\dfrac{18+7}{9}} = \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}$

$M = y - x - \sqrt{3}$
$\dfrac{5}{3} = y - x - \sqrt{3}$
$y - x = \dfrac{5}{3} + \sqrt{3}$

✅ $y - x = \dfrac{5}{3} + \sqrt{3}$

📊 التمرين رقم 5 (هندسة في المستوي) 📊

معلّم من المستوي بحيث $(OI)$ و $(OJ)$ متعامدان و $OI=OJ=1\text{cm}$

النقاط: $A(-4, 2)$ ; $B(-4, -4)$ ; $C(4, -4)$ ; $D(4, 3)$

1) ارسم النقاط

2) بيّن أن $(AB) \parallel (CD)$

3) لتكن $E$ منتصف $[AB]$، حدد إحداثيات $E$

4) المستقيم المار من $E$ والموازي لـ $(BC)$ يقطع $[AC]$ في النقطة $F$
أ) بيّن أن $F$ منتصف $[AC]$
ب) بيّن أن $BC = 2 \times EF$

5) المستقيم $(BC)$ يقطع محور التراتيب في النقطة $K$. بيّن أن الرباعي $EFKB$ مستطيل

6) لتكن النقاط $G$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $(IO)$ و $H$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $(OJ)$ و $L$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $O$. حدد إحداثيات $G$, $H$, $L$

7) ما هي مجموعة نقاط المستوي $M(x,y)$ بحيث $x=-4$ و $y \geq 2$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

1) رسم النقاط

في معلّم $(O,I,J)$ نضع:

$A(-4, 2)$ ; $B(-4, -4)$ ; $C(4, -4)$ ; $D(4, 3)$

(يرسم الطالب المعلّم والنقاط)

2) إثبات $(AB) \parallel (CD)$

النقاط: $A(-4, 2)$، $B(-4, -4)$، $C(4, -4)$، $D(4, 3)$

$(AB)$: فاصلة $A$ = فاصلة $B$ = $-4$
إذن $(AB)$ موازي لمحور $(OJ)$

$(CD)$: فاصلة $C$ = فاصلة $D$ = $4$
إذن $(CD)$ موازي لمحور $(OJ)$

$(AB)$ و $(CD)$ كلاهما موازي لـ $(OJ)$

✅ إذن $(AB) \parallel (CD)$

3) إحداثيات $E$ منتصف $[AB]$

$E = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

$= \left(\dfrac{-4 + (-4)}{2}, \dfrac{2 + (-4)}{2}\right)$

$= \left(\dfrac{-8}{2}, \dfrac{-2}{2}\right)$

$= (-4, -1)$

✅ $E(-4, -1)$

4) أ) إثبات أن $F$ منتصف $[AC]$

المستقيم المار من $E$ والموازي لـ $(BC)$ يقطع $[AC]$ في $F$

$(BC)$: $B(-4, -4)$ و $C(4, -4)$
ترتيبة $B$ = ترتيبة $C$ = $-4$
إذن $(BC)$ أفقي (موازي لمحور $(OI)$)

المستقيم المار من $E(-4, -1)$ والموازي لـ $(BC)$
هو مستقيم أفقي ترتيبته = $-1$

نبحث عن نقطة $F$ على $[AC]$ بترتيبة $-1$:

$A(-4, 2)$ و $C(4, -4)$
منتصف $[AC]$: $\left(\dfrac{-4+4}{2}, \dfrac{2+(-4)}{2}\right) = (0, -1)$

✅ إذن $F(0, -1)$ هي منتصف $[AC]$

ب) إثبات $BC = 2 \times EF$

$BC$: من $B(-4, -4)$ إلى $C(4, -4)$
$BC = |4 - (-4)| = 8$

$EF$: من $E(-4, -1)$ إلى $F(0, -1)$
$EF = |0 - (-4)| = 4$

$2 \times EF = 2 \times 4 = 8 = BC$

✅ $BC = 2 \times EF$

5) إثبات أن $EFKB$ مستطيل

$(BC)$ يقطع محور $(OJ)$ (محور التراتيب) في $K$

$(BC)$ أفقي بترتيبة $-4$
محور $(OJ)$: $x = 0$
إذن $K(0, -4)$

النقاط: $E(-4, -1)$, $F(0, -1)$, $K(0, -4)$, $B(-4, -4)$

$(EF)$ أفقي: $y = -1$
$(BK)$ أفقي: $y = -4$
إذن $(EF) \parallel (BK)$

$(EB)$ رأسي: $x = -4$
$(FK)$ رأسي: $x = 0$
إذن $(EB) \parallel (FK)$

$EFKB$ متوازي أضلاع، وبما أن الأضلاع أفقية ورأسية

✅ $EFKB$ مستطيل

6) إحداثيات $G$، $H$، $L$

$E(-4, -1)$

$G$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $(IO)$:

التناظر بالنسبة إلى محور الفواصل: $(x, y) \to (x, -y)$

$G(-4, 1)$

$H$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $(OJ)$:

التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب: $(x, y) \to (-x, y)$

$H(4, -1)$

$L$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $O$:

التناظر المركزي بالنسبة إلى $O$: $(x, y) \to (-x, -y)$

$L(4, 1)$

7) مجموعة نقاط $M(x,y)$ حيث $x=-4$ و $y \geq 2$

$x = -4$: نقاط على مستقيم رأسي يمر بـ $(-4, 0)$
$y \geq 2$: نقاط فوق أو على المستقيم الأفقي $y = 2$

✅ المجموعة: نصف مستقيم رأسي يبدأ من النقطة $(-4, 2)$ ويمتد نحو الأعلى

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5