🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 7
🚀 التمرين رقم 1 🚀
أحط بدائرة كل إجابة صحيحة (يمكن أن يوجد أكثر من إجابة صحيحة)
السؤال الإجابات
$4^{21} + 5 \times 64^7$ يقبل القسمة على
7
12
14
العدد $20a348$ يقبل القسمة على 8 إذا كان $a$ يساوي
0
5
لا يمكن
إذا كان $2a = 3b$ فإن
$b$ مضاعف لـ 6
$a$ مضاعف لـ 6
$b$ مضاعف لـ 2
باقي قسمة الجداء $648 \times 5^m 5^m 5^m$ على 12 حيث $m$ عدد صحيح طبيعي هو
0
1
2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: $4^{21} + 5 \times 64^7$ يقبل القسمة على

الحل:

$4^{21} = (2^2)^{21} = 2^{42}$
$64^7 = (2^6)^7 = 2^{42}$

$4^{21} + 5 \times 64^7 = 2^{42} + 5 \times 2^{42}$
$= 2^{42}(1 + 5)$
$= 6 \times 2^{42}$
$= 2 \times 3 \times 2^{42}$
$= 2^{43} \times 3$

التحليل:

• قابل للقسمة على 7؟ نحتاج التحقق من $2^{43} \times 3$ قابل للقسمة على 7

لا يحتوي على عامل 7 ⟹ ❌

• قابل للقسمة على 12؟ $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$

$2^{43} \times 3$ يحتوي على $2^2$ و $3$ ⟹ ✓

• قابل للقسمة على 14؟ $14 = 2 \times 7$

يحتوي على 2 لكن لا يحتوي على 7 ⟹ ❌

✅ الإجابة الصحيحة: 12

السؤال 2: العدد $20a348$ يقبل القسمة على 8

الحل:

شرط القسمة على 8: آخر ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 8

آخر ثلاثة أرقام: $348$

نختبر: $348 \div 8 = 43{,}5$ ✗

العدد $348$ غير قابل للقسمة على 8 مهما كانت قيمة $a$

✅ الإجابة الصحيحة: لا يمكن

السؤال 3: إذا كان $2a = 3b$ فإن

الحل:

$2a = 3b$

$a = \dfrac{3b}{2}$

لكي يكون $a$ عدداً صحيحاً، يجب أن يكون $b$ زوجياً

نضع $b = 2k$ حيث $k$ عدد صحيح

$a = \dfrac{3 \times 2k}{2} = 3k$

إذن $a$ مضاعف لـ 3 و $b$ مضاعف لـ 2

من جهة أخرى:

$b = \dfrac{2a}{3}$

لكي يكون $b$ صحيحاً، يجب أن يكون $a$ مضاعفاً لـ 3

نضع $a = 3j$:

$b = \dfrac{2 \times 3j}{3} = 2j$

النتيجة:

• $a = 3k$ و $b = 2k$ ⟹ $b$ مضاعف لـ 2 ✓

• $a$ مضاعف لـ 3 وليس بالضرورة لـ 6

• $b$ مضاعف لـ 2 وليس بالضرورة لـ 6

✅ الإجابة الصحيحة: $b$ مضاعف لـ 2

السؤال 4: باقي قسمة $648 \times 5^m \times 5^m \times 5^m$ على 12

الحل:

$648 \times 5^{3m}$

نحلل $648$:
$648 = 8 \times 81 = 8 \times 3^4 = 2^3 \times 3^4$

$648 \times 5^{3m} = 2^3 \times 3^4 \times 5^{3m}$

لإيجاد الباقي عند القسمة على $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$:

$648 = 12 \times 54$
إذن $648$ قابل للقسمة على $12$

$648 \times 5^{3m} = 12 \times 54 \times 5^{3m}$

الباقي = 0

✅ الإجابة الصحيحة: 0

🎪 التمرين رقم 2 🎪
نعتبر العددين $x = 38aaa2$ حيث $a$ يمثل رقم عشراته ورقم مئاته ورقم آلافه و $y = 4x + 2$
❶ أ- بيّن أن باقي قسمة $x$ على 3 يساوي 1
ب- استنتج أن $y$ يقبل القسمة على 6
❷ أ- بيّن أن $(x - 1)^9 + y^{10}$ يقبل القسمة على $3^9$
ب- استنتج أن العدد $475551^9 + 951108^{10}$ يقبل القسمة على $3^9$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

❶ أ- باقي قسمة $x$ على 3

الحل:

$x = 38aaa2$
$= 380002 + 1000a + 100a + 10a$
$= 380002 + 1110a$

نحسب باقي قسمة كل حد على 3:

$380002 = 3 + 8 + 0 + 0 + 0 + 2 = 13$
$13 = 12 + 1$ حيث $12$ قابل للقسمة على 3
إذن باقي قسمة $380002$ على 3 هو 1

$1110 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3$
$1110$ قابل للقسمة على 3
إذن $1110a$ قابل للقسمة على 3

الخلاصة:

باقي قسمة $x$ على 3 = باقي قسمة $(380002 + 1110a)$ على 3

= باقي قسمة $380002$ على 3 = 1

✅ باقي قسمة $x$ على 3 يساوي 1

ب- $y$ يقبل القسمة على 6

الحل:

$y = 4x + 2$
$y = 4x + 2 = 2(2x + 1)$

إذن $y$ زوجي (قابل للقسمة على 2) ✓

نحسب باقي قسمة $y$ على 3:

بما أن باقي قسمة $x$ على 3 يساوي 1، نكتب:

$x = 3k + 1$ لعدد صحيح $k$

$y = 4x + 2 = 4(3k + 1) + 2$
$= 12k + 4 + 2$
$= 12k + 6$
$= 6(2k + 1)$

إذن $y$ قابل للقسمة على 6

✅ $y$ يقبل القسمة على 6

❷ أ- $(x-1)^9 + y^{10}$ يقبل القسمة على $3^9$

الحل:

من السؤال السابق: $x = 3k + 1$

$x - 1 = 3k$
$(x-1)^9 = (3k)^9 = 3^9 \times k^9$

إذن $(x-1)^9$ قابل للقسمة على $3^9$ ✓

من السؤال السابق: $y = 6(2k + 1)$

$y = 6m$ حيث $m = 2k + 1$
$y^{10} = (6m)^{10} = 6^{10} \times m^{10}$
$= (2 \times 3)^{10} \times m^{10}$
$= 2^{10} \times 3^{10} \times m^{10}$

إذن $y^{10}$ قابل للقسمة على $3^{10}$ وبالتالي على $3^9$ ✓

الخلاصة:

$(x-1)^9 + y^{10}$ هو مجموع عددين كل منهما قابل للقسمة على $3^9$

✅ إذن $(x-1)^9 + y^{10}$ يقبل القسمة على $3^9$

ب- $475551^9 + 951108^{10}$ يقبل القسمة على $3^9$

الحل:

نتحقق من أن $475551 = x - 1$ و $951108 = y$:

إذا $x - 1 = 475551$ فإن $x = 475552$
نتحقق: $x = 38aaa2$ ⟹ $a = 7$ (من الأرقام)
$x = 387772$ ✗ (لا يتطابق)

نعيد التحقق:
$475551 = 475551$
$475551 + 1 = 475552$

لنتحقق من $y = 4x + 2$:
$y = 4 \times 475552 + 2 = 1902208 + 2 = 1902210$ ✗

نحاول بطريقة أخرى:

نتحقق من باقي قسمة $475551$ على 3:

مجموع الأرقام: $4+7+5+5+5+1 = 27$
$27$ قابل للقسمة على 3
إذن $475551$ قابل للقسمة على 3
$475551 = 3 \times 158517$

$(475551)^9 = (3 \times 158517)^9 = 3^9 \times 158517^9$

إذن $475551^9$ قابل للقسمة على $3^9$ ✓

نتحقق من $951108$:

مجموع الأرقام: $9+5+1+1+0+8 = 24$
$24$ قابل للقسمة على 3 لكن ليس على 9
$951108 = 3 \times 317036$

نحتاج التحقق من أن $951108$ قابل للقسمة على 6:

زوجي ✓ وقابل للقسمة على 3 ✓ ⟹ قابل للقسمة على 6

إذن $951108 = 6n$:

$951108^{10} = (6n)^{10} = 3^{10} \times 2^{10} \times n^{10}$

قابل للقسمة على $3^{10}$ وبالتالي على $3^9$ ✓

✅ إذن $475551^9 + 951108^{10}$ يقبل القسمة على $3^9$

🔬 التمرين رقم 3 🔬
1) أحسب: $\sqrt{\dfrac{72}{98}}$، $\sqrt{729}$، $\sqrt{49}$، $\sqrt{0.0004}$
2) أوجد المجموعات التالية: $$\left\{\dfrac{16}{8}; -3; -\sqrt{\dfrac{25}{49}}; -(-2); \sqrt{0.004}\right\} \cap \mathbb{Z}$$ $$\left\{5; -\sqrt{64}; \sqrt{\dfrac{16}{729}}; \sqrt{\dfrac{72}{98}}; 2.3\right\} \cap ID$$ $$\left\{-\sqrt{3}; \dfrac{16}{15}; \Pi; \sqrt{(-6)^2}; 3.547\right\} \cap \mathbb{R}_+$$ و $\mathbb{R} \cap ID$ و $\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Z}_-$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) الحسابات

$\sqrt{\dfrac{72}{98}} = \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{98}} = \dfrac{\sqrt{36 \times 2}}{\sqrt{49 \times 2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \dfrac{6}{7}$

$\sqrt{729} = \sqrt{3^6} = 3^3 = 27$

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{0.0004} = \sqrt{\dfrac{4}{10000}} = \dfrac{2}{100} = 0.02$

✅ $\dfrac{6}{7}$ ; $27$ ; $7$ ; $0.02$

2) المجموعات

المجموعة الأولى:

$\dfrac{16}{8} = 2$ ∈ ℤ
$-3$ ∈ ℤ
$-\sqrt{\dfrac{25}{49}} = -\dfrac{5}{7}$ ∉ ℤ
$-(-2) = 2$ ∈ ℤ
$\sqrt{0.004} = \sqrt{\dfrac{4}{1000}} = \dfrac{2}{\sqrt{1000}}$ ∉ ℤ

$\{2; -3; 2\} \cap \mathbb{Z} = \{-3; 2\}$

المجموعة الثانية:

$5$ ∈ ID (ℚ)
$-\sqrt{64} = -8$ ∈ ID
$\sqrt{\dfrac{16}{729}} = \dfrac{4}{27}$ ∈ ID
$\sqrt{\dfrac{72}{98}} = \dfrac{6}{7}$ ∈ ID
$2.3$ ∈ ID

كلها كسرية: $\{5; -8; \dfrac{4}{27}; \dfrac{6}{7}; 2.3\}$

المجموعة الثالثة:

$-\sqrt{3}$ < 0 ∉ ℝ₊
$\dfrac{16}{15}$ > 0 ∈ ℝ₊
$\Pi$ > 0 ∈ ℝ₊
$\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$ > 0 ∈ ℝ₊
$3.547$ > 0 ∈ ℝ₊

$\{\dfrac{16}{15}; \Pi; 6; 3.547\}$

$\mathbb{R} \cap ID$:

$ID$ ⊂ ℝ إذن: $\mathbb{R} \cap ID = ID$

$\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Z}_-$:

اتحاد الأعداد الكسرية الموجبة مع الأعداد الصحيحة السالبة

كل الأعداد الكسرية الموجبة وكل الأعداد الصحيحة السالبة

🧮 التمرين رقم 4 🧮
لتكن العبارتين $A$ و $B$ التاليتين حيث $x$ و $y$ عددين حقيقيين:
$$A = \sqrt{3} - \left(\dfrac{4}{5} - \pi\right) - \left[x + \sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\right]$$ $$B = \dfrac{7}{5} + \sqrt{3} - \left[1.4 - (y - \pi)\right]$$
1) بيّن أن $A = \dfrac{-3}{10} + x + \pi$ و $B = \sqrt{3} - \pi + y$
2) أحسب $A$ إذا علمت أن $x = \pi - \dfrac{2}{5}$
3) أحسب $y - x$ إذا علمت أن $A + B = \sqrt{3}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) اختصار $A$ و $B$

اختصار $A$:

$A = \sqrt{3} - \left(\dfrac{4}{5} - \pi\right) - \left[x + \sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\right]$

$= \sqrt{3} - \dfrac{4}{5} + \pi - x - \sqrt{3} + \dfrac{1}{2}$

$= (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + \left(-\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2}\right) + \pi - x$

$= -\dfrac{8}{10} + \dfrac{5}{10} + \pi - x$

$= -\dfrac{3}{10} + \pi - x$

⚠️ هناك فرق في الإشارة!

إعادة الحساب:

$A = \sqrt{3} - \dfrac{4}{5} + \pi - [x + \sqrt{3} - \dfrac{1}{2}]$
$= -\dfrac{4}{5} + \pi + \dfrac{1}{2} - x$
$= -\dfrac{8}{10} + \dfrac{5}{10} + \pi - x$
$= -\dfrac{3}{10} + \pi - x$

لنفترض الصيغة المطلوبة: $A = \dfrac{-3}{10} + x + \pi$

إذن هناك خطأ في علامة $x$، ولنكمل بالصيغة الصحيحة حسابياً

اختصار $B$:

$B = \dfrac{7}{5} + \sqrt{3} - [1.4 - (y - \pi)]$

$= \dfrac{7}{5} + \sqrt{3} - [1.4 - y + \pi]$

$= \dfrac{7}{5} + \sqrt{3} - 1.4 + y - \pi$

$1.4 = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5}$

$= \dfrac{7}{5} + \sqrt{3} - \dfrac{7}{5} + y - \pi$

$= \sqrt{3} + y - \pi$

✅ $B = \sqrt{3} - \pi + y$

2) حساب $A$ حيث $x = \pi - \dfrac{2}{5}$

بافتراض $A = \dfrac{-3}{10} + x + \pi$:

$A = \dfrac{-3}{10} + \left(\pi - \dfrac{2}{5}\right) + \pi$

$= \dfrac{-3}{10} - \dfrac{4}{10} + 2\pi$

$= -\dfrac{7}{10} + 2\pi$

$= 2\pi - \dfrac{7}{10}$

✅ $A = 2\pi - \dfrac{7}{10}$

3) حساب $y - x$ حيث $A + B = \sqrt{3}$

$A + B = \sqrt{3}$

$\left(\dfrac{-3}{10} + x + \pi\right) + (\sqrt{3} - \pi + y) = \sqrt{3}$

$\dfrac{-3}{10} + x + \pi + \sqrt{3} - \pi + y = \sqrt{3}$

$\dfrac{-3}{10} + x + y + \sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\dfrac{-3}{10} + x + y = 0$

$x + y = \dfrac{3}{10}$

$y - x = \dfrac{3}{10} - 2x$

نحتاج معلومة إضافية لحساب $y - x$ بدقة

من $x + y = \dfrac{3}{10}$ يمكننا استنتاج علاقة لكن ليس قيمة محددة لـ $y - x$

من المعطيات: $y - x$ يحتاج معلومة إضافية

📐 التمرين رقم 5 📐
$D$ و $D'$ مستقيمان متقاطعان في $O$، نعتبر الإسقاط على $D$ بموازاة $D'$، $M$ و $N$ نقطتان مختلفتان من المستوي
1) في أيّ حالة يكون إسقاط $M$ هو إسقاط $N$
2) متى يكون لـ $M$ و $N$ مسقطان مختلفان
3) في حالة يكون مسقط $M$ هو $M'$ ومسقط $N$ هو $N'$، و $M'$ و $N'$ مختلفان، بيّن أن المستقيمان $(MM')$ و $(NN')$ متوازيان

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

1) متى يكون إسقاط $M$ هو إسقاط $N$؟

الحل:

الإسقاط على $D$ بموازاة $D'$ يعني:

• من $M$ نرسم مستقيماً موازياً لـ $D'$

• تقاطع هذا المستقيم مع $D$ هو مسقط $M$

لكي يكون إسقاط $M$ هو نفسه إسقاط $N$:

يجب أن يكون المستقيمان الموازيان لـ $D'$ المارّان من $M$ و $N$ يقطعان $D$ في نفس النقطة

✅ الحالة: عندما تكون $M$ و $N$ على نفس المستقيم الموازي لـ $D'$

أي: $(MN) \parallel D'$

2) متى يكون لـ $M$ و $N$ مسقطان مختلفان؟

الحل:

يكون لـ $M$ و $N$ مسقطان مختلفان عندما لا تكون $M$ و $N$ على نفس المستقيم الموازي لـ $D'$

✅ الحالة: عندما لا يكون $(MN) \parallel D'$

3) إثبات أن $(MM') \parallel (NN')$

المعطيات:

• $M'$ مسقط $M$ على $D$ بموازاة $D'$

• $N'$ مسقط $N$ على $D$ بموازاة $D'$

• $M' \neq N'$

البرهان:

بتعريف الإسقاط:

• $(MM') \parallel D'$ (لأن $M'$ هو مسقط $M$ بموازاة $D'$)

• $(NN') \parallel D'$ (لأن $N'$ هو مسقط $N$ بموازاة $D'$)

الخاصية: إذا كان مستقيمان موازيين لمستقيم ثالث فهما متوازيان

بما أن $(MM') \parallel D'$ و $(NN') \parallel D'$

✅ إذن $(MM') \parallel (NN')$

التعليل: كل من $(MM')$ و $(NN')$ موازٍ لـ $D'$