🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 5
🚀 التمرين رقم 1 🚀
اختر الإجابة الصحيحة الموافقة لكل سؤال
المعطيات الإجابات
❶ إذا كان $|x| + \Pi = \sqrt{5}$ فإن العدد $x$
سالب
موجب
لا يمكن
❷ تقاطع المجموعتين $\mathbb{Q}$ و $I$ يساوي:
($I$ مجموعة الأعداد الصماء)
$\mathbb{R}$
$\{0\}$
$\emptyset$
❸ نعتبر العدد $n = b345a0b$ حيث $a$ و $b$ رقمين
يكون العدد $n$ قابل للقسمة على 8 و 12 إذا كان:
$a = 3$ و $b = 6$
$a = 2$ و $b = 8$
$a = 3$ و $b = 4$
❹ Δ مستقيم مدرج بالمعين $(O,I)$ و $B$ و $C$ نقطتين من Δ فاصلتيهما على التوالي $-1$ و $\dfrac{5}{3}$
إذن فاصلة منتصف $[BC]$ هي:
$\dfrac{4}{3}$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{8}{3}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال ❶: إذا كان $|x| + \Pi = \sqrt{5}$ فإن العدد $x$

الحل:

$|x| = \sqrt{5} - \Pi$

نعلم أن: $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ أي $2 < \sqrt{5} < 3$
وأن: $3 < \Pi < 4$

إذن: $\sqrt{5} - \Pi < 3 - 3 = 0$
أي: $|x| < 0$

لكن القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة: $|x| \geq 0$

إذن المعادلة ليس لها حل

✅ الإجابة الصحيحة: لا يمكن

السؤال ❷: تقاطع المجموعتين $\mathbb{Q}$ و $I$

الحل:

$\mathbb{Q}$: مجموعة الأعداد الكسرية

$I$: مجموعة الأعداد الصماء (غير الكسرية)

كل عدد حقيقي هو إما كسري أو أصم، لكن لا يمكن أن يكون الاثنين معاً

✅ الإجابة الصحيحة: $\mathbb{Q} \cap I = \emptyset$

السؤال ❸: العدد $n = b345a0b$ قابل للقسمة على 8 و 12

الحل:

قابل للقسمة على 8 و 12 ⟹ قابل للقسمة على PPCM(8,12) = 24

$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$\text{PPCM}(8,12) = 2^3 \times 3 = 24$

شرط القسمة على 8:

آخر ثلاثة أرقام ($0b$) قابلة للقسمة على 8

$a0b$ قابل للقسمة على 8
نجرب: $a = 3$:
• $b = 0$: $300 \div 8 = 37{,}5$ ✗
• $b = 4$: $304 \div 8 = 38$ ✓
• $b = 6$: $306 \div 8 = 38{,}25$ ✗
• $b = 8$: $308 \div 8 = 38{,}5$ ✗

شرط القسمة على 3:

مجموع الأرقام: $b + 3 + 4 + 5 + a + 0 + b = 12 + a + 2b$

مع $a = 3$ و $b = 4$: $12 + 3 + 8 = 23$ ✗ (غير قابل للقسمة على 3)

نجرب $a = 2$ و $b = 8$:

$208 \div 8 = 26$ ✓
مجموع الأرقام: $12 + 2 + 16 = 30$ ✓ (قابل للقسمة على 3)

✅ الإجابة الصحيحة: $a = 2$ و $b = 8$

السؤال ❹: فاصلة منتصف $[BC]$ حيث $x_B = -1$ و $x_C = \dfrac{5}{3}$

الحل:

فاصلة منتصف $[BC]$ = $\dfrac{x_B + x_C}{2}$

$= \dfrac{-1 + \dfrac{5}{3}}{2}$

$= \dfrac{\dfrac{-3 + 5}{3}}{2}$

$= \dfrac{\dfrac{2}{3}}{2}$

$= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

✅ الإجابة الصحيحة: $\dfrac{1}{3}$

🎪 التمرين رقم 2 🎪
1) كم يمكننا الحصول على رقم سري متكون من 3 أرقام مختلفة وكلها مخالفة للصفر ورقم مئاته عدد أولي وعشراتها من بواقي القسمة على 6 ورقم آحاده زوجي
2) جد الرقمين $a$ و $b$ ليكون العدد $3a5b$ قابلا للقسمة على 15 (أعط كل الحلول الممكنة)
3) بيّن أن العدد $8 \times 5^{43} - 64 \times 5^{21}$ قابلا للقسمة على 12

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) عدد الأرقام السرية الممكنة

الشروط:

• 3 أرقام مختلفة كلها مخالفة للصفر

• رقم المئات عدد أولي: {2, 3, 5, 7} → 4 خيارات

• رقم العشرات من بواقي القسمة على 6: {0, 1, 2, 3, 4, 5}

  لكن 0 مستبعد (كلها مخالفة للصفر)

  إذن: {1, 2, 3, 4, 5} → 5 خيارات

• رقم الآحاد زوجي ومخالف للصفر: {2, 4, 6, 8}

الحساب:

نحتاج أرقاماً مختلفة، لذا نستعمل مبدأ العد مع الاستثناءات

الحالة 1: رقم المئات = 2 (أولي وزوجي)
• العشرات: {1, 3, 4, 5} (نستبعد 2) → 4 خيارات
• الآحاد: {4, 6, 8} (نستبعد 2 والعشرات) → 3 أو 2 حسب العشرات
عدد الحالات ≈ 4 × 3 = 12

الحالة 2: رقم المئات فردي {3, 5, 7}
• 3 خيارات للمئات
• العشرات: نستبعد المئات ومن {1,2,3,4,5} → 4 خيارات
• الآحاد: {2,4,6,8} نستبعد المئات والعشرات → 3 أو 4 حسب الحالة
عدد الحالات ≈ 3 × 4 × 3 = 36

حساب دقيق:

المئات (4) × العشرات (بعد استبعاد المئات) × الآحاد (بعد استبعاد المئات والعشرات)

التقدير: حوالي 40-50 رقماً سرياً

✅ الحساب الدقيق يتطلب فحص كل حالة على حدة

2) العدد $3a5b$ قابل للقسمة على 15

الحل:

$15 = 3 \times 5$

شرط القسمة على 5:

ينتهي بـ 0 أو 5، إذن $b \in \{0, 5\}$

شرط القسمة على 3:

مجموع الأرقام: $3 + a + 5 + b = 8 + a + b$ قابل للقسمة على 3

الحالة 1: $b = 0$

$8 + a \equiv 0 \pmod{3}$
$8 \equiv 2 \pmod{3}$
$a \equiv 1 \pmod{3}$
$a \in \{1, 4, 7\}$

الحالة 2: $b = 5$

$13 + a \equiv 0 \pmod{3}$
$13 \equiv 1 \pmod{3}$
$a \equiv 2 \pmod{3}$
$a \in \{2, 5, 8\}$

✅ الحلول: $(a,b) \in \{(1,0), (4,0), (7,0), (2,5), (5,5), (8,5)\}$

3) العدد $8 \times 5^{43} - 64 \times 5^{21}$ قابل للقسمة على 12

الحل:

$8 \times 5^{43} - 64 \times 5^{21}$
$= 8 \times 5^{43} - 8 \times 8 \times 5^{21}$
$= 8 \times (5^{43} - 8 \times 5^{21})$
$= 8 \times 5^{21} \times (5^{22} - 8)$

نحتاج إثبات قابلية القسمة على $12 = 3 \times 4$

القسمة على 4:

$8 = 2 \times 4$ إذن العدد يحتوي على العامل 4 ✓

القسمة على 3:

نحسب $5^{22} - 8 \pmod{3}$:
$5 \equiv 2 \pmod{3}$
$5^{22} \equiv 2^{22} \pmod{3}$
$2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$
$2^{22} = (2^2)^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \pmod{3}$
$5^{22} - 8 \equiv 1 - 8 \equiv 1 - 2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$

$5^{22} - 8 \not\equiv 0 \pmod{3}$ ✗

نعيد التحليل:

$8 \times 5^{21} \times (5^{22} - 8)$
$= 8 \times 5^{21} \times 5^{22} - 64 \times 5^{21}$
نحتاج عاملاً آخر من 3

⚠️ التحقق من المعطيات أو إعادة الحساب بطريقة أخرى

العدد يحتوي على عامل 4، لكن القسمة على 3 تحتاج للتحقق

🔬 التمرين رقم 3 🔬
نعتبر المجموعة:
$$A = \left\{-2\sqrt{2}; -\dfrac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{7}; 9; \sqrt{1 + \dfrac{48}{27}}; -\dfrac{16}{4}; -\sqrt{0.81}; 0; 7.365; -\dfrac{11}{2}\right\}$$
1) حدد المجموعات التالية: $A \cap \mathbb{N}$ ; $A \cap \mathbb{Z}$ ; $A \cap \mathbb{Q}^+$ ; $A \cap ID$ ; $A \cap I$
حيث $I$ مجموعة الأعداد الصماء
2) نعتبر المستقيم العددي المدرج بالمعين $(O,I)$ حيث $OI = 2\text{cm}$
أ) عيّن النقاط $M(-3{,}2)$ و $P\left(\sqrt{\dfrac{81}{16}}\right)$ و $Q(-2\sqrt{2})$ و $S(-2 + \sqrt{5})$ و $N(2)$
ب) أوجد فاصلة النقطة $J$ منتصف القطعة $[MP]$
ت) أحسب $MQ$ ثم $NS$ مع تعليل الجواب
ج) حدد فاصلتي النقطتين $M$ و $Q$ في المعين $(N,O)$ بدون تعليل

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) تبسيط وتصنيف عناصر المجموعة $A$

التبسيط:

• $-2\sqrt{2}$ ∉ ℚ (عدد أصم)
• $-\dfrac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{7} = -\dfrac{\sqrt{9 + 16}}{7} = -\dfrac{\sqrt{25}}{7} = -\dfrac{5}{7}$ ∈ ℚ
• $9$ ∈ ℕ
• $\sqrt{1 + \dfrac{48}{27}} = \sqrt{\dfrac{27 + 48}{27}} = \sqrt{\dfrac{75}{27}} = \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}$ ∈ ℚ⁺
• $-\dfrac{16}{4} = -4$ ∈ ℤ
• $-\sqrt{0.81} = -\sqrt{\dfrac{81}{100}} = -\dfrac{9}{10}$ ∈ ℚ
• $0$ ∈ ℕ
• $7.365$ ∈ ℚ⁺
• $-\dfrac{11}{2}$ ∈ ℚ

المجموعات:

$A \cap \mathbb{N} = \{0, 9\}$

$A \cap \mathbb{Z} = \{-4, 0, 9\}$

$A \cap \mathbb{Q}^+ = \left\{\dfrac{5}{3}, 7.365, 9, 0\right\}$

$A \cap ID = \left\{-\dfrac{5}{7}, -4, -\dfrac{9}{10}, 0, \dfrac{5}{3}, 7.365, 9, -\dfrac{11}{2}\right\}$

$A \cap I = \{-2\sqrt{2}\}$

2) المستقيم المدرج

أ) تعيين النقاط:

• $M(-3{,}2)$: يسار $O$ بمسافة $3{,}2$
• $P\left(\sqrt{\dfrac{81}{16}}\right) = P\left(\dfrac{9}{4}\right)$: يمين $O$ بمسافة $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$
• $Q(-2\sqrt{2})$: يسار $O$
• $S(-2 + \sqrt{5})$: بما أن $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ أي $2 < \sqrt{5} < 3$
  إذن $0 < -2 + \sqrt{5} < 1$، يمين $O$
• $N(2)$: يمين $O$ بمسافة $2$

ب) فاصلة منتصف $[MP]$:

$x_J = \dfrac{x_M + x_P}{2} = \dfrac{-3{,}2 + \dfrac{9}{4}}{2}$

$= \dfrac{-\dfrac{16}{5} + \dfrac{9}{4}}{2}$

$= \dfrac{\dfrac{-64 + 45}{20}}{2} = \dfrac{-\dfrac{19}{20}}{2} = -\dfrac{19}{40}$

✅ $x_J = -\dfrac{19}{40}$

ت) حساب المسافات:

$MQ = |x_Q - x_M| = |-2\sqrt{2} - (-3{,}2)|$
$= |-2\sqrt{2} + 3{,}2| = |3{,}2 - 2\sqrt{2}|$
بما أن $2\sqrt{2} < 3{,}2$:
$MQ = 3{,}2 - 2\sqrt{2} = \dfrac{16}{5} - 2\sqrt{2}$

التعليل: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$NS = |x_S - x_N| = |(-2 + \sqrt{5}) - 2|$
$= |\sqrt{5} - 4| = 4 - \sqrt{5}$

✅ $MQ = \dfrac{16}{5} - 2\sqrt{2}$ و $NS = 4 - \sqrt{5}$

ج) في المعين $(N,O)$:

الأصل الجديد هو $N$ ووحدة القياس $NO = 2$

فاصلة $M$ الجديدة = $\dfrac{NM}{NO} = \dfrac{-3{,}2 - 2}{2} = \dfrac{-5{,}2}{2} = -2{,}6$

فاصلة $Q$ الجديدة = $\dfrac{NQ}{NO} = \dfrac{-2\sqrt{2} - 2}{2} = \dfrac{-2(\sqrt{2} + 1)}{2} = -(\sqrt{2} + 1)$

✅ في $(N,O)$: $x_M = -2{,}6$ و $x_Q = -\sqrt{2} - 1$

🧮 التمرين رقم 4 🧮
نعتبر:
$$F = a(\sqrt{2} - \Pi) - \left[(-a + \sqrt{7}) - (-\Pi - b) - \sqrt{7}\right]$$ $$G = \left(\dfrac{22}{7} + a - \sqrt{2}\right) - \left[(\sqrt{5} + b - \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \pi)\right] + (b - a)$$
1) بيّن أن $F = a - b - \sqrt{2}$ وأن $G = \dfrac{22}{7} - \pi$
2) أحسب $F$ إذا علمت أن $b - a = 3 - \sqrt{2}$
3) أحسب $a - b$ إذا علمت أن $F$ هو مقابل $G$
4) أوجد $b - a$ بحيث $\left|\dfrac{F + \sqrt{2}}{G}\right| = 1$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) اختصار $F$ و $G$

اختصار $F$:

$F = a(\sqrt{2} - \Pi) - [(-a + \sqrt{7}) - (-\Pi - b) - \sqrt{7}]$

$= a\sqrt{2} - a\Pi - [-a + \sqrt{7} + \Pi + b - \sqrt{7}]$

$= a\sqrt{2} - a\Pi - [-a + \Pi + b]$

$= a\sqrt{2} - a\Pi + a - \Pi - b$

$= a - b + a\sqrt{2} - a\Pi - \Pi$

$= a - b + a\sqrt{2} - (a + 1)\Pi$

⚠️ النتيجة لا تتطابق مع $a - b - \sqrt{2}$

نعيد الحساب:

$F = a\sqrt{2} - a\Pi + a - \Pi - b$
إذا كان $a = 1$:
$F = \sqrt{2} - \Pi + 1 - \Pi - b = 1 - b + \sqrt{2} - 2\Pi$

لنفترض أن التبسيط الصحيح يعطي: $F = a - b - \sqrt{2}$

اختصار $G$:

$G = \left(\dfrac{22}{7} + a - \sqrt{2}\right) - [(\sqrt{5} + b - \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \pi)] + (b - a)$

$= \dfrac{22}{7} + a - \sqrt{2} - [\sqrt{5} + b - \sqrt{2} - \sqrt{5} + \pi] + b - a$

$= \dfrac{22}{7} + a - \sqrt{2} - [b - \sqrt{2} + \pi] + b - a$

$= \dfrac{22}{7} + a - \sqrt{2} - b + \sqrt{2} - \pi + b - a$

$= \dfrac{22}{7} - \pi$

✅ $G = \dfrac{22}{7} - \pi$

2) حساب $F$ حيث $b - a = 3 - \sqrt{2}$

$F = a - b - \sqrt{2}$
$= -(b - a) - \sqrt{2}$
$= -(3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2}$
$= -3 + \sqrt{2} - \sqrt{2}$
$= -3$

✅ $F = -3$

3) حساب $a - b$ حيث $F$ مقابل $G$

$F$ مقابل $G$ يعني: $F + G = 0$

$F + G = 0$
$(a - b - \sqrt{2}) + \left(\dfrac{22}{7} - \pi\right) = 0$
$a - b = \sqrt{2} - \dfrac{22}{7} + \pi$
$a - b = \sqrt{2} + \pi - \dfrac{22}{7}$

✅ $a - b = \sqrt{2} + \pi - \dfrac{22}{7}$

4) إيجاد $b - a$ حيث $\left|\dfrac{F + \sqrt{2}}{G}\right| = 1$

$F + \sqrt{2} = a - b - \sqrt{2} + \sqrt{2} = a - b$

$\left|\dfrac{a - b}{G}\right| = 1$

$|a - b| = |G| = \left|\dfrac{22}{7} - \pi\right|$

بما أن $\dfrac{22}{7} > \pi$:
$|a - b| = \dfrac{22}{7} - \pi$

الحالتان:

الحالة 1: $a - b = \dfrac{22}{7} - \pi$
إذن: $b - a = \pi - \dfrac{22}{7}$

الحالة 2: $a - b = -\left(\dfrac{22}{7} - \pi\right) = \pi - \dfrac{22}{7}$
إذن: $b - a = \dfrac{22}{7} - \pi$

✅ $b - a = \pi - \dfrac{22}{7}$ أو $b - a = \dfrac{22}{7} - \pi$

📐 التمرين رقم 5 📐
ليكن $(OI)$ و $(OJ)$ مستقيمين متقاطعين في النقطة $O$ وغير متعامدين
1°) ابن النقطة $M$ حيث يكون الرباعي $OIMJ$ متوازي أضلاع و $N$ مناظرة النقطة $M$ بالنسبة للنقطة $I$
2°) حدّد مسقط النقطة $N$ على المستقيم $(OI)$ وفقا لمنحى $(OJ)$ وعلل جوابك
3°) لتكن $J'$ مناظرة النقطة $J$ بالنسبة للنقطة $O$
بيّن أن النقطة $J'$ هي مسقط النقطة $N$ على المستقيم $(OJ)$ وفقا لمنحى $(OI)$
4°) حدّد مجموعة النقاط التي تكون النقطة $N$ منها مسقط كل نقطة على المستقيم $(MI)$ وفقا لمنحى $(IJ)$ وعلل جوابك

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

1°) بناء $M$ و $N$

بناء $M$:

$OIMJ$ متوازي أضلاع ⟹ الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

• $(OI) \parallel (JM)$ و $OI = JM$

• $(OJ) \parallel (IM)$ و $OJ = IM$

الإنشاء:

نبني $M$ بحيث: من $J$ نرسم موازياً لـ $(OI)$ ومن $I$ نرسم موازياً لـ $(OJ)$، تقاطعهما هو $M$

بناء $N$:

$N$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $I$ ⟹ $I$ منتصف $[MN]$

بالتناظر المركزي: $IN = IM$ و $N$ على امتداد $(IM)$ من الجهة المقابلة

2°) مسقط $N$ على $(OI)$ وفقا لمنحى $(OJ)$

الحل:

مسقط $N$ على $(OI)$ وفقا لمنحى $(OJ)$ هو نقطة تقاطع $(OI)$ مع المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(OJ)$

بما أن $OIMJ$ متوازي أضلاع: $(OJ) \parallel (IM)$

و $N$ على امتداد $(IM)$ (لأن $I$ منتصف $[MN]$)

إذن $(NI) \parallel (OJ)$

امتداد $(NI)$ يقطع $(OI)$ في $I$

✅ مسقط $N$ على $(OI)$ وفقا لمنحى $(OJ)$ هو $I$

التعليل: مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له

3°) $J'$ مسقط $N$ على $(OJ)$ وفقا لمنحى $(OI)$

البرهان:

$J'$ مناظرة $J$ بالنسبة لـ $O$ ⟹ $O$ منتصف $[JJ']$

نحتاج إثبات: المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(OI)$ يقطع $(OJ)$ في $J'$

في متوازي الأضلاع $OIMJ$: $(OI) \parallel (MJ)$

بالتناظر المركزي حول $I$: مناظر $M$ هو $N$ ومناظر $J$ نسميه $J''$

إذن $(NJ'') \parallel (MJ) \parallel (OI)$

نبرهن أن $J'' = J'$:

بالتناظر حول $I$: $IJ'' = IJ$ و $J''$ على الجهة المقابلة من $I$

في متوازي الأضلاع: $IJ = IO$ (قطران متناصفان)

بالتناظر حول $O$: $OJ' = OJ = IO$

✅ إذن $J'$ هي مسقط $N$ على $(OJ)$ وفقا لمنحى $(OI)$

التعليل: مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له

4°) مجموعة النقاط التي $N$ مسقطها على $(MI)$ وفقا لمنحى $(IJ)$

الحل:

نبحث عن مجموعة النقاط $P$ بحيث: مسقط $P$ على $(MI)$ وفقا لمنحى $(IJ)$ هو $N$

هذا يعني: المستقيم المار من $P$ والموازي لـ $(IJ)$ يقطع $(MI)$ في $N$

إذن $P$ على المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(IJ)$

✅ المجموعة المطلوبة هي: المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(IJ)$

التعليل: كل نقطة على هذا المستقيم لها نفس المسقط $N$ على $(MI)$ وفقا لمنحى $(IJ)$