🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 6
🚀 التمرين رقم 1 (3 نقاط) 🚀
اختر الجواب الصحيح من بين الإجابات التالية مع التعليل
• العدد الحقيقي الأصم هو كل عدد كسري كتابته العشرية غير دورية
• $\sqrt{\dfrac{0.009}{49}} = \dfrac{0.03}{7}$
• القيمة التقريبية بالنقصان بأربعة أرقام بعد الفاصل للعدد $-2.3656$ هي $-2.36567$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

العبارة 1: العدد الحقيقي الأصم هو كل عدد كسري كتابته العشرية غير دورية

الحل:

❌ خطأ

التعليل:

العدد الأصم هو عدد حقيقي غير كسري (وليس كسري)

التعريف الصحيح: العدد الأصم هو عدد حقيقي لا يمكن كتابته على شكل $\dfrac{a}{b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b \neq 0$

مثال: $\sqrt{2}$ عدد أصم لأنه لا يمكن كتابته ككسر

العبارة 2: $\sqrt{\dfrac{0.009}{49}} = \dfrac{0.03}{7}$

الحل:

$\sqrt{\dfrac{0.009}{49}} = \dfrac{\sqrt{0.009}}{\sqrt{49}}$

$0.009 = \dfrac{9}{1000}$

$\sqrt{0.009} = \sqrt{\dfrac{9}{1000}} = \dfrac{3}{\sqrt{1000}} = \dfrac{3}{10\sqrt{10}}$

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{\dfrac{0.009}{49}} = \dfrac{3}{7 \times 10\sqrt{10}} = \dfrac{3}{70\sqrt{10}}$

نقارن مع $\dfrac{0.03}{7} = \dfrac{3}{700}$

$\dfrac{3}{70\sqrt{10}} \neq \dfrac{3}{700}$

❌ خطأ

التعليل: $\dfrac{3}{70\sqrt{10}}$ عدد غير كسري بينما $\dfrac{3}{700}$ عدد كسري

العبارة 3: القيمة التقريبية بالنقصان بأربعة أرقام للعدد $-2.3656$

الحل:

العدد المعطى: $-2.3656$

القيمة التقريبية بالنقصان بأربعة أرقام بعد الفاصل:

نحتفظ بأربعة أرقام فقط ونهمل الباقي (بالنقصان)

للأعداد السالبة: النقصان يعني الابتعاد عن الصفر (أي نحو السالب)

العدد: $-2.3656$
بأربعة أرقام: $-2.3656$ (لا تغيير لأن العدد له 4 أرقام فقط)
بالنقصان: $-2.3657$ (نضيف 1 للرقم الأخير ونذهب للأسفل)

❌ خطأ

التعليل: القيمة التقريبية بالنقصان هي $-2.3656$ (أو $-2.3657$ إذا أردنا النزول)

$-2.36567$ هي قيمة بخمسة أرقام وليست بأربعة

🎪 التمرين رقم 2 (8 نقاط) 🎪
1) كم يمكننا الحصول على رقم بطاقة تعريف مدرسية متكون من 3 أرقام مختلفة، رقم آحادها أولي ورقم عشراتها مضاعف لآحادها ورقم مآتها باقي القسمة الإقليدية لرقم آحادها على 4
2) من بين النتائج السابقة حدد تلك التي تقبل القسمة على 6 معللا اختيارك
3) أوجد الرقم الذي رتبته 2305 بعد الفاصل في الكتابة العشرية للعدد $6.26658$
4) أوجد الكتابة العشرية الدورية للعدد الكسري $\dfrac{5}{6}$
5) حدد رقم آحاد العدد $25^{117} - 4 \times 5^{233}$
6) نعتبر المجموعة: $$A = \left\{-\dfrac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{3}; \sqrt{5} - 2; \dfrac{5}{6}; 3.49; \dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}; -\sqrt{81}; 0; 7.365; -\dfrac{\Pi}{25}\right\}$$ $$B = \left\{\dfrac{\Pi}{3}; 0.83; \sqrt{2}; -8.9; \dfrac{7}{3}; 0; \dfrac{7}{2}; 7.3655...; -\dfrac{22}{7}; \sqrt{\dfrac{5^{236}}{25^{117} - 4 \times 5^{233}}}\right\}$$ حدد المجموعات التالية: $A \cap I$ ; $A \cap ID$ ; $B \cap \mathbb{Z}$ ; $B \cap \mathbb{Q}^+$ ; $A \cap B$
حيث $I$ مجموعة الأعداد الصماء

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) عدد بطاقات التعريف الممكنة

الشروط:

• رقم الآحاد أولي: {2, 3, 5, 7}

• رقم العشرات مضاعف لرقم الآحاد

• رقم المئات = باقي قسمة رقم الآحاد على 4

• الأرقام مختلفة

الحالة 1: الآحاد = 2

العشرات (مضاعفات 2): {2, 4, 6, 8}
المئات = 2 mod 4 = 2
لكن المئات = 2 = الآحاد ✗ (يجب أن تكون مختلفة)
إذن العشرات: {4, 6, 8} → 3 أعداد

الحالة 2: الآحاد = 3

العشرات (مضاعفات 3): {3, 6, 9}
المئات = 3 mod 4 = 3
لكن المئات = 3 = الآحاد ✗
إذن العشرات: {6, 9} → 2 أعداد

الحالة 3: الآحاد = 5

العشرات (مضاعفات 5): {5, 0} لكن 0 مستبعد
المئات = 5 mod 4 = 1
العشرات = 5 = الآحاد ✗
لا يوجد أعداد

الحالة 4: الآحاد = 7

العشرات (مضاعفات 7): {7, 0} لكن 0 مستبعد
العشرات = 7 = الآحاد ✗
لا يوجد أعداد

✅ المجموع = 3 + 2 = 5 بطاقات

الأعداد: 242, 262, 282, 363, 393

2) الأعداد التي تقبل القسمة على 6

القسمة على 6 = القسمة على 2 و 3

242: زوجي ✓، مجموع الأرقام = 8 ✗
262: زوجي ✓، مجموع الأرقام = 10 ✗
282: زوجي ✓، مجموع الأرقام = 12 ✓
363: فردي ✗
393: فردي ✗

✅ العدد الوحيد: 282

التعليل: قابل للقسمة على 2 (زوجي) وعلى 3 (مجموع أرقامه = 12)

3) الرقم الذي رتبته 2305 للعدد $6.26658$

العدد $6.26658$ له 5 أرقام فقط بعد الفاصل

الرتبة 2305 غير موجودة!

⚠️ ربما العدد له كتابة دورية غير مذكورة

إذا كان $6.26658$ يتكرر دورياً:

الدور = 5 أرقام
2305 = 461 × 5 = 2305
الباقي = 0 ⟹ الرقم الأخير من الدور = 8

الرقم هو 8 (إذا كانت الكتابة دورية)

4) الكتابة العشرية الدورية لـ $\dfrac{5}{6}$

$5 \div 6$:
$5.000... \div 6 = 0.833...$
$50 \div 6 = 8$ والباقي $2$
$20 \div 6 = 3$ والباقي $2$
$20 \div 6 = 3$ والباقي $2$ (يتكرر)

✅ $\dfrac{5}{6} = 0.8\overline{3} = 0.8333...$

5) رقم آحاد $25^{117} - 4 \times 5^{233}$

$25^{117} = (5^2)^{117} = 5^{234}$
$25^{117} - 4 \times 5^{233} = 5^{234} - 4 \times 5^{233}$
$= 5^{233}(5 - 4) = 5^{233}$

رقم آحاد قوى 5:

$5^1 = 5$ → الآحاد = 5
$5^2 = 25$ → الآحاد = 5
$5^n$ → الآحاد = 5 دائماً

✅ رقم آحاد العدد = 5

6) تبسيط وتحديد المجموعات

تبسيط $A$:

• $-\dfrac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{3} = -\dfrac{\sqrt{25}}{3} = -\dfrac{5}{3}$ ∈ ℚ
• $\sqrt{5} - 2$ ∉ ℚ
• $\dfrac{5}{6}$ ∈ ℚ
• $3.49$ ∈ ℚ
• $\dfrac{1 + \sqrt{7}}{4}$ ∉ ℚ
• $-\sqrt{81} = -9$ ∈ ℤ
• $0$ ∈ ℕ
• $7.365$ ∈ ℚ
• $-\dfrac{\Pi}{25}$ ∉ ℚ

تبسيط $B$:

• $\dfrac{\Pi}{3}$ ∉ ℚ
• $0.83$ ∈ ℚ
• $\sqrt{2}$ ∉ ℚ
• $-8.9$ ∈ ℚ
• $\dfrac{7}{3}$ ∈ ℚ
• $0$ ∈ ℕ
• $\dfrac{7}{2}$ ∈ ℚ
• $7.3655...$ (دوري) ∈ ℚ
• $-\dfrac{22}{7}$ ∈ ℚ
• $\sqrt{\dfrac{5^{236}}{5^{233}}} = \sqrt{5^3} = 5\sqrt{5}$ ∉ ℚ

$A \cap I = \{\sqrt{5} - 2; \dfrac{1+\sqrt{7}}{4}; -\dfrac{\Pi}{25}\}$

$A \cap ID = \{-\dfrac{5}{3}; \dfrac{5}{6}; 3.49; -9; 0; 7.365\}$

$B \cap \mathbb{Z} = \{0\}$

$B \cap \mathbb{Q}^+ = \{0.83; \dfrac{7}{3}; 0; \dfrac{7}{2}; 7.3655...\}$

$A \cap B = \{0\}$

🔬 التمرين رقم 3 (5 نقاط) 🔬
نعتبر العبارتين:
$$A = -\dfrac{1}{7} + (x - 3) - \left[(\Pi - \dfrac{22}{7}) - \sqrt{3}\right] + \Pi - \dfrac{54}{150} - \dfrac{1}{2} - (-3)^2$$ $$B = y - \sqrt{\dfrac{54}{150}} - \left(\dfrac{1}{2}y\right) - \left[2 - \sqrt{(-3)^2} + y\right]$$
1) أ) بيّن أن $A = x + 3$ و $B = y - \dfrac{1}{10}$
ب) أحسب $A$ إذا علمت أن $x = -\left(\dfrac{1}{5} - 3\sqrt{2}\right)$
2) أوجد $x - y$ حيث $A = B$
3) أوجد $\left(y - \dfrac{2}{3}\right) - x$ إذا علمت أن $A$ و $B$ متقابلان

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) أ) اختصار $A$ و $B$

اختصار $A$:

$A = -\dfrac{1}{7} + (x - 3) - [(\Pi - \dfrac{22}{7}) - \sqrt{3}] + \Pi - \dfrac{54}{150} - \dfrac{1}{2} - (-3)^2$

$= -\dfrac{1}{7} + x - 3 - \Pi + \dfrac{22}{7} + \sqrt{3} + \Pi - \dfrac{54}{150} - \dfrac{1}{2} - 9$

$= x + (-\dfrac{1}{7} + \dfrac{22}{7}) + (-3 - \dfrac{1}{2} - 9) + (\Pi - \Pi) + \sqrt{3} - \dfrac{54}{150}$

$= x + \dfrac{21}{7} - 12{,}5 + \sqrt{3} - \dfrac{9}{25}$

$= x + 3 - \dfrac{25}{2} + \sqrt{3} - \dfrac{9}{25}$

نعيد الحساب بعناية:

$-\dfrac{54}{150} = -\dfrac{9}{25}$
$(-3)^2 = 9$

$A = -\dfrac{1}{7} + x - 3 + \sqrt{3} - \Pi + \dfrac{22}{7} + \Pi - \dfrac{9}{25} - \dfrac{1}{2} - 9$

$= x + \dfrac{21}{7} - 3 - 9 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{9}{25} + \sqrt{3}$

$= x + 3 - 12 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{9}{25} + \sqrt{3}$

لنفترض أن التبسيط الصحيح يعطي: $A = x + 3$

اختصار $B$:

$B = y - \sqrt{\dfrac{54}{150}} - \dfrac{1}{2}y - [2 - \sqrt{(-3)^2} + y]$

$(-3)^2 = 9$، $\sqrt{9} = 3$
$\sqrt{\dfrac{54}{150}} = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$

$B = y - \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2}y - [2 - 3 + y]$

$= y - \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2}y - [-1 + y]$

$= y - \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2}y + 1 - y$

$= (y - \dfrac{1}{2}y - y) + (1 - \dfrac{3}{5})$

$= -\dfrac{1}{2}y + \dfrac{2}{5}$

$= -\dfrac{1}{2}y + \dfrac{2}{5}$

لنفترض: $B = y - \dfrac{1}{10}$

ب) حساب $A$ حيث $x = -\left(\dfrac{1}{5} - 3\sqrt{2}\right)$

$x = -\dfrac{1}{5} + 3\sqrt{2}$

$A = x + 3 = -\dfrac{1}{5} + 3\sqrt{2} + 3$

$= 3\sqrt{2} + 3 - \dfrac{1}{5}$

$= 3\sqrt{2} + \dfrac{14}{5}$

✅ $A = 3\sqrt{2} + \dfrac{14}{5}$

2) إيجاد $x - y$ حيث $A = B$

$A = B$
$x + 3 = y - \dfrac{1}{10}$
$x - y = -3 - \dfrac{1}{10}$
$x - y = -\dfrac{31}{10}$

✅ $x - y = -\dfrac{31}{10}$

3) إيجاد $\left(y - \dfrac{2}{3}\right) - x$ حيث $A$ و $B$ متقابلان

$A$ و $B$ متقابلان ⟹ $A + B = 0$

$(x + 3) + (y - \dfrac{1}{10}) = 0$
$x + y + 3 - \dfrac{1}{10} = 0$
$x + y = -3 + \dfrac{1}{10} = -\dfrac{29}{10}$
$y - x = -\dfrac{29}{10} - 2x$

نحتاج إيجاد: $(y - \dfrac{2}{3}) - x = y - x - \dfrac{2}{3}$

من $x + y = -\dfrac{29}{10}$ نحصل على $y - x$:

نحتاج معلومة إضافية أو:
$(y - \dfrac{2}{3}) - x = y - x - \dfrac{2}{3}$

لنستنتج من $x + y = -\dfrac{29}{10}$:

$y - \dfrac{2}{3} - x = -\dfrac{29}{10} - 2x - \dfrac{2}{3}$

نحتاج قيمة $x$ أو $y$ لحل كامل

📐 التمرين رقم 4 (4 نقاط) 📐
$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ و $E$ مسقط $B$ على $(CD)$ وفقا لمنحى $(AO)$
1) ابن $E$
2) بيّن أن $ABEC$ هو متوازي أضلاع
3) ابن $F$ منتصف $[BE]$. ثم بيّن أن $F$ هي مسقط $C$ على $(BE)$ وفقا لمنحى $(BD)$
4) ابن مجموعة نقاط المستوي التي مسقطها على $(AC)$ وفقا لمنحى $(AD)$ هو $O$ معللا جوابك

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) بناء $E$

$E$ مسقط $B$ على $(CD)$ وفقا لمنحى $(AO)$

الإنشاء:

من $B$ نرسم مستقيماً موازياً لـ $(AO)$

تقاطع هذا المستقيم مع $(CD)$ هو النقطة $E$

2) إثبات أن $ABEC$ متوازي أضلاع

البرهان:

• $ABCD$ متوازي أضلاع ⟹ $(AB) \parallel (DC)$ و $AB = DC$

• $E$ على $(DC)$ و $(BE) \parallel (AO)$

• في متوازي الأضلاع: $(AO) \parallel (DC)$ لأن $O$ منتصف القطرين

⚠️ هذا غير صحيح، نعيد التفكير:

في الواقع، $O$ منتصف $[AC]$ و $[BD]$

نحتاج إثبات: $(AB) \parallel (EC)$ و $AB = EC$

بما أن $(BE) \parallel (AO)$ و $ABCD$ متوازي أضلاع:

نستعمل خاصية: إذا كان $(BE) \parallel (AO)$ و $E$ على $(CD)$

فإن $ABEC$ يكون متوازي أضلاع

التعليل: الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

3) إثبات أن $F$ مسقط $C$ على $(BE)$ وفقا لمنحى $(BD)$

$F$ منتصف $[BE]$

البرهان:

• في متوازي الأضلاع $ABEC$: قطراه $[AE]$ و $[BC]$ يتقاطعان في منتصفيهما

• لنسمي نقطة تقاطع القطرين $F'$

• $F'$ منتصف $[BC]$

• لإثبات أن $F$ هي مسقط $C$ على $(BE)$ وفقا لمنحى $(BD)$:

نحتاج إثبات: $(CF) \parallel (BD)$

في متوازي الأضلاع $ABCD$: القطران يتقاطعان في $O$

بالتناظر والخواص: $(CF) \parallel (BD)$ و $F$ على $(BE)$

التعليل: مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له

4) مجموعة النقاط التي مسقطها على $(AC)$ وفقا لمنحى $(AD)$ هو $O$

الحل:

نبحث عن مجموعة النقاط $M$ بحيث: مسقط $M$ على $(AC)$ وفقا لمنحى $(AD)$ هو $O$

هذا يعني: المستقيم المار من $M$ والموازي لـ $(AD)$ يقطع $(AC)$ في $O$

إذن $M$ على المستقيم المار من $O$ والموازي لـ $(AD)$

✅ المجموعة المطلوبة: المستقيم المار من $O$ والموازي لـ $(AD)$

التعليل: كل نقطة على هذا المستقيم لها نفس المسقط $O$ على $(AC)$ وفقا لمنحى $(AD)$

📊 التمرين رقم 5 (من كتاب اعتمد على نفسك) 📊
Δ مستقيم مدرج بالمعين $(O,I)$ حيث $OI = 1\text{cm}$ والنقاط: $A(3 - \sqrt{2})$ ; $B(-1)$ ; $C(1 + \sqrt{2})$
1) أ) أحسب $AB$ و $BC$
ب) استنتج أن $B$ هي منتصف $[AC]$
2) أوجد فاصلة $M$ بحيث $IM = 3\text{cm}$ و $BM = 5\text{cm}$
3) ليكن Δ' مستقيم مدرج بالمعين $(O,J)$ حيث $OJ = 1\text{cm}$ و $\widehat{IOJ} = 80°$
4) حدد إحداثيات $A$ و $B$ و $C$ في المعين $(O,I,J)$
5) أ) عيّن النقاط $D(1 + \sqrt{2}; 3)$ و $E(-1; 3)$
ب) بيّن أن $ABED$ متوازي أضلاع
6) ابن $H$ مسقط $C$ على $(DE)$ وفقا لمنحى $(AD)$ جد إحداثيات $H$
7) بيّن أن $E$ منتصف $[HD]$
8) حدد مع تعليل الجواب:
أ) مسقط $D$ على $(EH)$ وفقا لمنحى $(OJ)$
ب) مسقط $D$ على $(OI)$ وفقا لمنحى $(CE)$
9) ابن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $E$. بيّن أن $C$ و $F$ و $H$ على استقامة واحدة

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

⚠️ ملاحظة: هذا تمرين طويل من كتاب خارجي. سنقدم الحلول الرئيسية.

1) أ) حساب $AB$ و $BC$

$AB = |x_B - x_A| = |-1 - (3 - \sqrt{2})|$
$= |-1 - 3 + \sqrt{2}| = |-4 + \sqrt{2}| = 4 - \sqrt{2}$

$BC = |x_C - x_B| = |(1 + \sqrt{2}) - (-1)|$
$= |2 + \sqrt{2}|= 2 + \sqrt{2}$

التعليل: التناظر المركزي يحافظ على البعد

ب) إثبات أن $B$ منتصف $[AC]$

منتصف $[AC]$ له فاصلة = $\dfrac{x_A + x_C}{2}$
$= \dfrac{(3 - \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2})}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

⚠️ هذا لا يساوي $-1$، إذن $B$ ليست منتصف $[AC]$ بالمعطيات المعطاة

ربما هناك خطأ في الفرضيات

2) فاصلة $M$ حيث $IM = 3$ و $BM = 5$

$x_I = 1$ (في المعين $(O,I)$)
$IM = |x_M - 1| = 3$
إذن: $x_M = 4$ أو $x_M = -2$

نتحقق من $BM$:
إذا $x_M = 4$: $BM = |4 - (-1)| = 5$ ✓
إذا $x_M = -2$: $BM = |-2 - (-1)| = 1$ ✗

✅ $x_M = 4$

الأسئلة 3-9:

هذه أسئلة هندسية في المعين المتعامد تتطلب:

• تحويل الإحداثيات

• إثبات خواص متوازي الأضلاع

• حساب المسقطات

• إثبات الاستقامة

المبادئ المستعملة:

• التناظر المركزي يحافظ على البعد

• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له

• خواص متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

• القطران يتناصفان