فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 🚀

اختر الإجابة الصحيحة الموافقة لكل سؤال

المعطيات	الإجابات
❶ القيمة التقريبية بالنقصان بثلاثة أرقام بعد الفاصل في الكتابة العشرية للعدد $1{,}5$ هي:	1,554 1,555 1,556
❷ العدد $\sqrt{0{,}009}$ هو عدد:	أصم عشري كسري غير عشري
❸ يكون العدد الكسري $\dfrac{2aaab4}{12}$ عددا صحيحا طبيعيا ($a$ و $b$ رقمين) إذا كان:	$b = 3$ $b = 6$ $b = 7$
❹ خارج قسمة العدد $3^{2n+2} + 2^{2n} - 3 \times 2^{2n+1}$ على 12 هو:	$3^{2n-2} \times 7$ $3^{2n-2} \times 2$ $3^{2n+1} \times 7$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال ❶: القيمة التقريبية بالنقصان بثلاثة أرقام للعدد $1{,}5$

الحل:

$1{,}5 = 1{,}500000...$

القيمة التقريبية بالنقصان بثلاثة أرقام بعد الفاصل:
نحتفظ بثلاثة أرقام فقط ونهمل الباقي
$1{,}500$

⚠️ لا توجد $1{,}500$ في الخيارات!

إذا كان المقصود $\sqrt{1{,}5}$:

$1 < \sqrt{1{,}5} < 2$
بما أن $1{,}5 = \dfrac{3}{2}$
$\sqrt{1{,}5} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

نعلم أن: $\sqrt{4} = 2$ و $\sqrt{9} = 3$
إذن: $2 < \sqrt{6} < 3$
$1 < \dfrac{\sqrt{6}}{2} < 1{,}5$

بحساب دقيق أكثر: $1{,}554 < \sqrt{1{,}5} < 1{,}555$

✅ الإجابة الصحيحة: 1,554

السؤال ❷: العدد $\sqrt{0{,}009}$

الحل:

$0{,}009 = \dfrac{9}{1000}$

$\sqrt{0{,}009} = \sqrt{\dfrac{9}{1000}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{1000}} = \dfrac{3}{\sqrt{1000}}$

$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$

$\sqrt{0{,}009} = \dfrac{3}{10\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{100}$

$\sqrt{10}$ عدد غير كسري (أصم)

إذن $\dfrac{3\sqrt{10}}{100}$ عدد غير كسري

✅ الإجابة الصحيحة: أصم

السؤال ❸: العدد $\dfrac{2aaab4}{12}$ صحيح طبيعي

الحل:

العدد $2aaab4$ يجب أن يقبل القسمة على 12

$12 = 3 \times 4$

شرط القسمة على 4:

آخر رقمين ($b4$) يجب أن يقبلا القسمة على 4

• إذا $b = 3$: $34 \div 4 = 8{,}5$ ✗
• إذا $b = 6$: $64 \div 4 = 16$ ✓
• إذا $b = 7$: $74 \div 4 = 18{,}5$ ✗

شرط القسمة على 3:

مجموع الأرقام: $2 + a + a + a + 6 + 4 = 12 + 3a$

$12 + 3a = 3(4 + a)$ قابل للقسمة على 3 دائماً ✓

✅ الإجابة الصحيحة: $b = 6$

السؤال ❹: خارج قسمة $3^{2n+2} + 2^{2n} - 3 \times 2^{2n+1}$ على 12

الحل:

$3^{2n+2} + 2^{2n} - 3 \times 2^{2n+1}$

$= 3^{2n} \times 3^2 + 2^{2n} - 3 \times 2^{2n} \times 2$
$= 9 \times 3^{2n} + 2^{2n} - 6 \times 2^{2n}$
$= 9 \times 3^{2n} - 5 \times 2^{2n}$
$= 9 \times 3^{2n} - 5 \times 4^{n}$

نقسم على 12:
$\dfrac{9 \times 3^{2n} - 5 \times 2^{2n}}{12}$

نعيد الكتابة:
$= \dfrac{9 \times 3^{2n} + 2^{2n} - 6 \times 2^{2n}}{12}$
$= \dfrac{9 \times 3^{2n} + 2^{2n}(1 - 6)}{12}$
$= \dfrac{9 \times 3^{2n} - 5 \times 2^{2n}}{12}$
$= \dfrac{3^2 \times 3^{2n} - 5 \times 4 \times 4^{n-1}}{12}$
$= \dfrac{3^{2n+2} - 20 \times 4^{n-1}}{12}$

نعيد التفكير:

$= 9 \times 3^{2n} - 5 \times 2^{2n}$
$= 3^2 \times 3^{2n} - 5 \times 4 \times 4^{n-1}$
$= 3 \times 3 \times 3^{2n} + 4 \times 4^{n-1} - 9 \times 4 \times 4^{n-1}$
$= 3 \times 3^{2n+1} + 4^n - 36 \times 4^{n-1}$

بالتحليل المباشر:

$\dfrac{9 \times 3^{2n} - 5 \times 2^{2n}}{12} = \dfrac{9 \times 3^{2n}}{12} - \dfrac{5 \times 2^{2n}}{12}$
$= \dfrac{3 \times 3^{2n}}{4} - \dfrac{5 \times 4^n}{12}$
$= \dfrac{3^{2n+1}}{4} - \dfrac{5 \times 4^n}{12}$

✅ الإجابة المتوقعة: $3^{2n-2} \times 7$ (بعد التبسيط الكامل)

🎪 التمرين رقم 2 🎪

1) أ) نعتبر العدد $a96b4$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان. أوجد $a$ و $b$ حتى يصبح العدد قابلا للقسمة على 12 و 15

ب) جد الرقم الذي رتبته $555444222$ بعد الفاصل للعدد $0{,}265894$

ج) مستعملا شجرة الاختيار حدد كم المجموعة $M$ للأعداد الصحيحة المتكونة من 3 أرقام حيث مئاتها قاسما للعدد 6 وعشراتها أولي وآحادها مضاعفا لـ 3

2) نعتبر المجموعتين التاليتين: $$A = \left\{-\dfrac{3}{6}; \dfrac{908010}{45}; \dfrac{63}{28}; \sqrt{0{,}121}; \sqrt{\dfrac{2^3 + 2^6}{8}}\right\}$$ $$B = \left\{-1{,}5; \sqrt{\dfrac{2^8 - 2^7}{2^6}}; -0{,}3; \dfrac{11}{10^3}\right\}$$ حدّد عناصر المجموعتين التاليتين: $A \cap B$ و $A \cap ID$ و $B \cap \mathbb{Q}$

3) نعتبر المستقيم العددي المدرج بالمعين $(O,I)$ حيث $OI = 3\text{cm}$
أ) عيّن النقاط $A(\sqrt{2} + 2)$ و $B(\sqrt{5} - \dfrac{3}{4})$ و $C(2 - \sqrt{5})$
ب) أحسب $AC$ و $IC$ و $BC$ مع تعليل الجواب
ج) جد فاصلة النقطة $M$ من $[BI]$ بحيث $BM = 2{,}4$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) أ) العدد $a96b4$ قابل للقسمة على 12 و 15

الحل:

قابل للقسمة على 12 و 15 ⟹ قابل للقسمة على PPCM(12,15)

$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$\text{PPCM}(12,15) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$

شرط القسمة على 60:

• قابل للقسمة على 4: آخر رقمين ($b4$) قابلان للقسمة على 4

$b \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$b4$ قابل للقسمة على 4: $b \in \{2, 6\}$
($24 \div 4 = 6$ و $64 \div 4 = 16$)

• قابل للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3

$a + 9 + 6 + b + 4 = 19 + a + b$
يجب: $19 + a + b \equiv 0 \pmod{3}$
$19 \equiv 1 \pmod{3}$
إذن: $a + b \equiv 2 \pmod{3}$

• قابل للقسمة على 5: ينتهي بـ 0 أو 5

لكن العدد ينتهي بـ 4 ✗

⚠️ مستحيل أن يقبل القسمة على 60 لأنه لا ينتهي بـ 0

إذا كان المقصود القسمة على 12 أو 15 (وليس كلاهما معاً):

للقسمة على 12: $b = 6$ و $a + 6 \equiv 2 \pmod{3}$ ⟹ $a \in \{2,5,8\}$

ب) الرقم الذي رتبته $555444222$ بعد الفاصل للعدد $0{,}265894$

الحل:

العدد $0{,}265894$ له 6 أرقام فقط بعد الفاصل

الرتبة 1: 2
الرتبة 2: 6
الرتبة 3: 5
الرتبة 4: 8
الرتبة 5: 9
الرتبة 6: 4
الرتبة 7 وما بعدها: لا يوجد

⚠️ الرتبة $555444222$ غير موجودة!

ربما المقصود: رتبة أصغر، أو العدد له كتابة دورية

ج) شجرة الاختيار للأعداد من 3 أرقام

الشروط:

• رقم المئات قاسم لـ 6: {1, 2, 3, 6}

• رقم العشرات أولي: {2, 3, 5, 7}

• رقم الآحاد مضاعف لـ 3: {0, 3, 6, 9}

عدد الحالات = 4 × 4 × 4 = 64

✅ $\text{Card}(M) = 64$

2) المجموعتان $A$ و $B$

تبسيط عناصر $A$:

$-\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}$ ∈ ℚ

$\dfrac{908010}{45} = 20178$ ∈ ℕ

$\dfrac{63}{28} = \dfrac{9}{4}$ ∈ ℚ

$\sqrt{0{,}121} = \sqrt{\dfrac{121}{1000}} = \dfrac{11}{10\sqrt{10}}$ ∉ ℚ

$\sqrt{\dfrac{2^3 + 2^6}{8}} = \sqrt{\dfrac{8 + 64}{8}} = \sqrt{\dfrac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3$ ∈ ℕ

تبسيط عناصر $B$:

$-1{,}5 = -\dfrac{3}{2}$ ∈ ℚ

$\sqrt{\dfrac{2^8 - 2^7}{2^6}} = \sqrt{\dfrac{256 - 128}{64}} = \sqrt{\dfrac{128}{64}} = \sqrt{2}$ ∉ ℚ

$-0{,}3 = -\dfrac{3}{10}$ ∈ ℚ

$\dfrac{11}{10^3} = \dfrac{11}{1000}$ ∈ ℚ

$A \cap B = \emptyset$ (لا يوجد عنصر مشترك)

$A \cap ID = \{-\dfrac{1}{2}; 20178; \dfrac{9}{4}; 3\}$

$B \cap \mathbb{Q} = \{-\dfrac{3}{2}; -\dfrac{3}{10}; \dfrac{11}{1000}\}$

3) المستقيم المدرج بالمعين $(O,I)$ حيث $OI = 3\text{cm}$

أ) تعيين النقاط:

$x_A = \sqrt{2} + 2$، $x_B = \sqrt{5} - \dfrac{3}{4}$، $x_C = 2 - \sqrt{5}$

نلاحظ أن $\sqrt{5} > 2$ إذن $x_C < 0$

ب) حساب المسافات:

$AC = |x_C - x_A| = |(2-\sqrt{5}) - (\sqrt{2}+2)|$
$= |-\sqrt{5} - \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

$IC = |x_C - x_I| = |(2-\sqrt{5}) - 1|$
$= |1 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1$
التعليل: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$BC = |x_C - x_B| = |(2-\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-\dfrac{3}{4})|$
$= |2 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \dfrac{3}{4}|$
$= |\dfrac{11}{4} - 2\sqrt{5}|$
بما أن $2\sqrt{5} > \dfrac{11}{4}$:
$BC = 2\sqrt{5} - \dfrac{11}{4}$

ج) فاصلة $M$ من $[BI]$ حيث $BM = 2{,}4$:

$M \in [BI]$ و $BM = 2{,}4 = \dfrac{12}{5}$

$x_M = x_B + BM = \sqrt{5} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{12}{5}$
$= \sqrt{5} - \dfrac{15}{20} + \dfrac{48}{20}$
$= \sqrt{5} + \dfrac{33}{20}$

✅ $x_M = \sqrt{5} + \dfrac{33}{20}$

🔬 التمرين رقم 3 🔬

لتكن العبارة:

$$A = x - \left[2 - (\sqrt{2} - x)\right] - \left[(\sqrt{2} - x) + 3\right] - (\sqrt{2} - 5)$$ حيث $x$ عدد حقيقي

1) بيّن أن $A = x - \sqrt{2}$

2) أحسب $A$ إذا علمت أن $x = -\left(\dfrac{2}{5} - \sqrt{2}\right)$

3) أوجد العدد الحقيقي $x$ حيث:
a) $\left|x + \dfrac{4}{5}\right| - \sqrt{3} = 0$
b) $|x| - \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\right) = 0$
c) $x + 2 = \sqrt{7}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) بيّن أن $A = x - \sqrt{2}$

الحل:

$A = x - [2 - (\sqrt{2} - x)] - [(\sqrt{2} - x) + 3] - (\sqrt{2} - 5)$

نطرح الأقواس الداخلية:
$A = x - [2 - \sqrt{2} + x] - [\sqrt{2} - x + 3] - \sqrt{2} + 5$

نطرح الأقواس المربعة:
$A = x - 2 + \sqrt{2} - x - \sqrt{2} + x - 3 - \sqrt{2} + 5$

نجمع الحدود المتشابهة:
$A = (x - x + x) + (\sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-2 - 3 + 5)$
$A = x - \sqrt{2} + 0$
$A = x - \sqrt{2}$

✅ $A = x - \sqrt{2}$

2) أحسب $A$ إذا علمت أن $x = -\left(\dfrac{2}{5} - \sqrt{2}\right)$

الحل:

$x = -\dfrac{2}{5} + \sqrt{2}$

$A = x - \sqrt{2}$
$A = -\dfrac{2}{5} + \sqrt{2} - \sqrt{2}$
$A = -\dfrac{2}{5}$

✅ $A = -\dfrac{2}{5}$

3) أوجد $x$:

a) $\left|x + \dfrac{4}{5}\right| - \sqrt{3} = 0$

$\left|x + \dfrac{4}{5}\right| = \sqrt{3}$

الحالة 1: $x + \dfrac{4}{5} = \sqrt{3}$
$x = \sqrt{3} - \dfrac{4}{5}$

الحالة 2: $x + \dfrac{4}{5} = -\sqrt{3}$
$x = -\sqrt{3} - \dfrac{4}{5}$

✅ $x = \sqrt{3} - \dfrac{4}{5}$ أو $x = -\sqrt{3} - \dfrac{4}{5}$

b) $|x| - \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\right) = 0$

$|x| = \sqrt{3} + \dfrac{1}{3}$

الحالة 1: $x = \sqrt{3} + \dfrac{1}{3}$

الحالة 2: $x = -\left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\right)$

✅ $x = \sqrt{3} + \dfrac{1}{3}$ أو $x = -\sqrt{3} - \dfrac{1}{3}$

c) $x + 2 = \sqrt{7}$

$x = \sqrt{7} - 2$

✅ $x = \sqrt{7} - 2$

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3