فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 تمرين رقم 1 ( 3 نقاط ) - أحط بدائرة الإجابة الصحيحة الوحيدة 🚀

المعطيات	13	7	9	الإجابة الصحيحة
العدد $\text{8}^{34} - 3 \times \text{4}^{49}$ يقبل القسمة على	$\checkmark$	$\times$	$\times$	13

المعطيات: نعتبر الإسقاط على مستقيم $D$ وفقا لمنحي مستقيم $D'$. $D$ و $D'$ متقاطعان في $O$ و $M$ نقطة من المستوي. مجموعة نقاط المستوي التي مسقطها هي $O$ هي:

(AO)	$D'$	$D$
$\times$	$\checkmark$	$\times$

المعطيات: القيمة التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل هي للعدد $2.526\underline{9}$:

2.527	2.527	2.526
$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$

📝 التصحيح المفصل للتمرين 1

1) قابلية القسمة: نضع $N=\text{8}^{34} - 3 \times \text{4}^{49}$.

🔑 لا نحسب أيّة قوّة، ولا نحتاج إلى البواقي : يكفي أن نوحّد الأساس، ثمّ نخرج العامل المشترك. فالعددان 8 و 4 قوّتان للعدد 2.

$$ 8^{34} = \left(2^{3}\right)^{34} = 2^{102} \qquad\text{و}\qquad 4^{49} = \left(2^{2}\right)^{49} = 2^{98} $$

ونأخذ أصغر الدليلين، وهو 98 :

$$ N = 2^{102} - 3\times 2^{98} = 2^{98}\times 2^{4} - 3\times 2^{98} = 2^{98}\left(16 - 3\right) = 2^{98}\times 13 $$

وبما أنّ 2 و 13 عددان أوّليان، فهذه هي تفكيك $N$ إلى جداء عوامل أوّلية، وهو وحيد. ومنه نقرأ الأجوبة الثلاثة مباشرة :

$$ N = 13\times 2^{98} \quad\Longrightarrow\quad 13 \mid N $$

أمّا 7 فعدد أوّلي لا يظهر في التفكيك، فلا يقسم $N$. و 9 يحتاج إلى العامل الأوّلي 3 مرّتين، و 3 غائب هو أيضا : فلا يقسم $N$.

✅ الإجابة الصحيحة: 13 — لأنّ $N = 2^{98}\times 13$.

2) مجموعة نقاط مسقطها $O$:

مسقط النقطة $M$ على $D$ وفقا لمنحى $D'$ هو $O$ إذا وفقط إذا كانت $M$ تنتمي إلى المستقيم $D'$ (حيث $(OM)$ يوازي $D'$, و $M$ على $D'$ يعني أن $(OM)$ هو $D'$).

لكن التعريف العام يقول إن مسقط $M$ على $D$ وفقا لـ $D'$ هو $O$ إذا كانت $M \in D'$ و $O \in D$ (والتي هي محققة).

المجموعة المطلوبة هي كل النقاط $M$ بحيث $M' = O$ (حيث $M'$ هو المسقط).

لكي يكون مسقط $M$ على $D$ هو $O$ وفقاً لمنحى $D'$, يجب أن تكون $M$ على المستقيم الذي يمر بـ $O$ ويوازي $D'$. بما أن $D'$ يمر بـ $O$، فإن هذا المستقيم هو $D'$ نفسه.

✅ الإجابة الصحيحة: $D'$

3) القيمة التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل للعدد $2.526\underline{9}$:

\text{العدد هو } 2,526999... \\ \text{نأخذ 3 أرقام بعد الفاصل: } 2,526 \\ \text{الرقم الرابع هو 9 (أكبر من 5)، إذن نقرب بالزيادة: } 2,527

✅ الإجابة الصحيحة: 2.527

---

🎪 تمرين رقم 2 ( 4 نقاط ) - تحديد العدد الصحيح الطبيعي $x$ 🎪

نعتبر العدد الصحيح الطبيعي $x = \overline{5a4bc}$ حيث $a$ رقم آلافه، $b$ رقم عشراته، و $c$ رقم آحاده. نريد تحديد $x$ كما يلي:

(1) $a$ كم مجموعة الأعداد الصحيحة ذات ثلاثة أرقام أولية و فردية مختلفة يكون رقم مئاتها أكبر من رقم عشراتها.

(2) $b$ هو باقي قسمة العدد $10^{15}+13$ على 9.

(3) $c$ هو الرقم الذي رتبته 5647 على يمين الفاصل في الكتابة العشرية $2.2\underline{367458}$.

(4) تعرف على العدد الصحيح الطبيعي $x$. هل أن العدد $x$ يقبل القسمة على 12 أم لا ؟ علل جوابك.

📝 التصحيح المفصل للتمرين 2

(1) تحديد $a$: عدد المجموعات

الأرقام الأولية والفردية المختلفة هي: $\{3, 5, 7\}$.

الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام مختلفة من هذه المجموعة هي 3! = 6 أعداد.

الشرط: رقم المئات > رقم العشرات ($M > C$).

الأعداد هي:

إذا كان $M=7$: $753, 75$, $735, 73$. عددان.

إذا كان $M=5$: $537, 53$. عدد واحد.

إذا كان $M=3$: لا يوجد.

العدد الكلي: $2 + 1 = 3$.

\text{المجموعة هي } \{3, 5, 7\} \\ \text{الأعداد التي تحقق الشرط هي: } 753, 735, 537 \\ a = 3

✅ $a = 3$

(2) تحديد $b$: باقي قسمة $10^{15}+13$ على 9

🔑 نستعمل قاعدة القسمة على 9 : باقي قسمة عدد على 9 هو باقي قسمة مجموع أرقامه على 9. ويكفي إذن أن نكتب العدد.

$$ 10^{15} = 1\underbrace{00\ldots0}_{15\ \text{صفرا}} \qquad\Longrightarrow\qquad 10^{15}+13 = 1\,000\,000\,000\,000\,013 $$

ومجموع أرقامه :

$$ 1+0+0+\ldots+0+1+3 = 5 $$

وبما أنّ $5<9$، فإنّ 5 هو الباقي نفسه :

✅ $b = 5$

(3) تحديد $c$: الرقم في الرتبة 5647 للعدد $2.2\underline{367458}$

الجزء غير الدوري $K=1$ (الرقم 2)

طول الدورة $L=6$ (الأرقام 367458)

الرتبة المطلوبة $R=5647$.

\text{الرقم المطلوب هو باقي قسمة } (R-K) \text{ على } L \\ R - K &= 5647 - 1 = 5646 \\ 5646 &= 6 \times 941 + 0 \\ \text{الباقي هو 0، إذن الرقم هو آخر رقم في الدورة (الرقم السادس).} \\ c &= 8

✅ $c = 8$

(4) التعرف على $x$ وقابليته للقسمة على 12:

x &= \overline{5a4bc} \\ x &= 53458 \\ \text{شرط القسمة على 12: يقبل القسمة على 3 و 4 معاً.}

قابلية القسمة على 4:

\text{آخر رقمين هما } 58 \\ 58 &\div 4 = 14 \text{ والباقي 2} \\ \text{إذن } x \text{ لا يقبل القسمة على 4.}

قابلية القسمة على 3:

\text{مجموع الأرقام: } 5+3+4+5+8 = 25 \\ 25 &\div 3 = 8 \text{ والباقي 1} \\ \text{إذن } x \text{ لا يقبل القسمة على 3.}

✅ العدد $x = 53458$ لا يقبل القسمة على 12 لأنه لا يقبل القسمة على 3 ولا على 4.

---

🔬 تمرين رقم 3 ( 8 نقاط ) - المجموعات والجذور 🔬

نعتبر المجموعة التالية: $M=\{\frac{15}{8};-\sqrt{0.016};9;3.4\underline{56};-\pi;\frac{3+\sqrt{(-2)^{2}}}{20};5325;0;-\frac{56}{35}\}$.

(1) حدد المجموعات التالية: $M \cap \mathbb{N}$; $M \cap \mathbb{Z}$; $M \cap \mathbb{D}$; $M \cap \mathbb{Q}$.

(2) حدد الأعداد الصماء المنتمية إلى $M$.

(3) أكمل بـ $\subset$ أو $\not\subset$ أو $\in$ أو $\notin$: $$ \frac{55}{15} \ldots M \quad ; \quad -\frac{56}{35} \ldots \mathbb{D} \quad ; \quad 0.04 \ldots M \quad ; \quad \sqrt{81} \ldots M $$

📝 التصحيح المفصل للتمرين 3

تبسيط عناصر المجموعة $M$:

\frac{15}{8} &= 1.875 \quad (\in \mathbb{D}) \\ -\sqrt{0.016} &= -\sqrt{\frac{16}{1000}} = -\frac{4}{\sqrt{1000}} \quad (\in \mathbb{I}\mathbb{R}) \\ 9 &= 9 \quad (\in \mathbb{N}) \\ 3.4\underline{56} &= 3.45656... \quad (\in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{D}) \\ -\pi &\quad (\in \mathbb{I}\mathbb{R}) \\ \frac{3+\sqrt{(-2)^{2}}}{20} &= \frac{3+2}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0.25 \quad (\in \mathbb{D}) \\ 5325 &\quad (\in \mathbb{N}) \\ 0 &\quad (\in \mathbb{N}) \\ -\frac{56}{35} &= -\frac{8}{5} = -1.6 \quad (\in \mathbb{D})

(1) تحديد المجموعات:

M \cap \mathbb{N} &= \{9; 5325; 0\} \\ M \cap \mathbb{Z} &= \{9; 5325; 0\} \\ M \cap \mathbb{D} &= \{\frac{15}{8}; \frac{3+\sqrt{(-2)^{2}}}{20}; 5325; 0; -\frac{56}{35}\} \\ M \cap \mathbb{Q} &= \{\frac{15}{8}; 9; 3.4\underline{56}; \frac{3+\sqrt{(-2)^{2}}}{20}; 5325; 0; -\frac{56}{35}\}

(2) الأعداد الصماء المنتمية إلى $M$:

\text{الأعداد الصماء (غير الكسرية): } -\sqrt{0.016} \text{ و } -\pi \\ M \cap \mathbb{I}\mathbb{R} &= \{-\sqrt{0.016}; -\pi\}

(3) الإكمال بالرموز:

\frac{55}{15} = \frac{11}{3} = 3.\underline{6} \\ \frac{55}{15} \notin M \quad (\text{لأن } 3.\underline{6} \text{ ليس من عناصر } M) \\ -\frac{56}{35} = -1.6 \\ -\frac{56}{35} \in \mathbb{D} \quad (\text{لأنه عشري}) \\ 0.04 \notin M \quad (\text{لأن } 0.04 \text{ ليس من عناصر } M) \\ \sqrt{81} = 9 \\ \sqrt{81} \in M \quad (\text{لأن } 9 \in M)

✅ $\frac{55}{15} \notin M \quad ; \quad -\frac{56}{35} \in \mathbb{D} \quad ; \quad 0.04 \notin M \quad ; \quad \sqrt{81} \in M$

🎯 فرض المراقبة رقم 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح المفصل للتمرين 1

📝 التصحيح المفصل للتمرين 2

📝 التصحيح المفصل للتمرين 3