🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📚 إعداد الأستاذ: فوزي الغربي - المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة 📚
مثال رقم 21
🚀 تمرين رقم 1 🚀
(أ) جد الرقمين $a$ و $b$ ليكون العدد $\overline{3b2a}$ قابلاً للقسمة على 15.
(ب) بين أن العدد $4\times49^{200} + 3\times7^{401}$ يقبل القسمة على 35.

📝 التصحيح المفصل للتمرين 1

(أ) إيجاد $a$ و $b$ :

العدد يقبل القسمة على 15 إذا كان يقبل القسمة على 3 و 5 معاً.

شرط القسمة على 5: $a \in \{0,5\}$.

شرط القسمة على 3: $5+b+a$ من مضاعفات 3.

الحالة 1: $a=0$

$$ \begin{align*} 5+b &\in \{6,9,12\} \\ b &= 1 \;\; \Rightarrow \; 3120 \\ b &= 4 \;\; \Rightarrow \; 3420 \\ b &= 7 \;\; \Rightarrow \; 3720 \end{align*} $$

الحالة 2: $a=5$

$$ \begin{align*} 10+b &\in \{12,15,18\} \\ b &= 2 \;\; \Rightarrow \; 3225 \\ b &= 5 \;\; \Rightarrow \; 3525 \\ b &= 8 \;\; \Rightarrow \; 3825 \end{align*} $$

✅ الحلول: $\{3120, 3420, 3720, 3225, 3525, 3825\}$.

(ب) قابلية القسمة على 35:

نعتبر $N=4\times 49^{200}+3\times 7^{401}$.

1) نُوحّد الأساس: فالعددان $49$ و $7$ ليسا غريبين أحدهما عن الآخر، بل $49=7^{2}$.

$$ 49^{200} = \left(7^{2}\right)^{200} = 7^{400} $$

2) نُخرج العامل المشترك: وهو $7^{400}$، أصغر القوّتين.

$$ N = 4\times 7^{400} + 3\times 7^{401} = 4\times 7^{400} + 3\times 7^{400}\times 7 = 7^{400}\left(4 + 3\times 7\right) = 7^{400}\times 25 $$

3) نُظهر العدد 35: بما أنّ $35 = 5\times 7$، نأخذ من $25$ عاملا يساوي $5$، ومن $7^{400}$ عاملا يساوي $7$.

$$ N = 25\times 7^{400} = \left(5\times 5\right)\times\left(7\times 7^{399}\right) = \left(5\times 7\right)\times\left(5\times 7^{399}\right) = 35\times\left(5\times 7^{399}\right) $$

✅ $N$ مكتوب على شكل $35\times k$ حيث $k=5\times 7^{399}$ عدد صحيح طبيعي، إذن $N$ يقبل القسمة على 35.

🔑 الفكرة: لا نحسب أيّة قوّة. يكفي أن نُوحّد الأساس ثمّ نُخرج العامل المشترك: فتظهر القسمة من تلقاء نفسها.

🎪 تمرين رقم 3 🎪

1) تقريب $2,757...$:

$$ 2,757... \approx 2,758 $$

2) الرقم في الرتبة 2011:

$$ 2011-2=2009 \\ 2009=3\times 669+2 \\ \Rightarrow \text{الرقم هو الثاني من الدورة } (275) \Rightarrow 7 $$

3) المحيط:

$$ P=25160\times 2+320=50640 \\ P=4\times 12660 $$

إذن محيط مربع.

4) أربعة أرقام زوجية:

$$ 4\times 4\times 3\times 2=96 \\ =4^{2}\times 3\times 2 $$
💡 تمرين رقم 5 💡

(أ)

$$ \frac{17}{3}=5.\underline{6}, \quad \frac{4}{3}=1.\underline{3} $$

(ب)

$$ 1.\underline{3}+5.\underline{6}=\frac{4}{3}+\frac{17}{3}=\frac{21}{3}=7 $$
📐 تمرين 5(25) 📐

(أ)

$$ A=(a-\sqrt{2})-[-\sqrt{2}-(-a+b)+1] \\ A=b-1 $$

(ب)

$$ B=-\tfrac{1}{2}-[-(2a-b)-\tfrac{5}{2}+\pi]-(a-b) \\ B=a+2-\pi $$

(ج)

$$ A+B=0 \\ (b-1)+(a+2-\pi)=0 \\ a+b=\pi-1 $$
📋 تمرين 6 📋
$$ \sqrt{64}=8,\quad 0,25=\tfrac{1}{4},\quad \tfrac{\sqrt{4}}{3}=\tfrac{2}{3} $$
$$ A=\{\tfrac{5}{3},- \sqrt{2},0,-1.\underline{72},8,\tfrac{1}{4},-\pi,\tfrac{2}{3}\} $$
$$ A\cap \mathbb{N}=\{0,8\} \\ A\cap \mathbb{Q}=\{\tfrac{5}{3},0,-1.\underline{72},8,\tfrac{1}{4},\tfrac{2}{3}\} \\ A\cap \mathbb{D}=\{0,8,0,25\} \\ A\cap \mathbb{I}\mathbb{R}=\{-\sqrt{2},-\pi\} $$