فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 🚀

ضع العلامة (x) في الخانة المناسبة

العبارة	أ	ب	ج
بما أن $ \sqrt{\frac{98}{162}} + \sqrt{2} = (-5)^2 $ فإن	$ \mathbb{N} $	$ \mathbb{Q} $	$ \mathbb{I} $
الرقم الذي رتبته $ 1 - 10^{232} $ بعد الفاصل في الكتابة العشرية $ 45.328598 $ هو	8	5	9
كل عدد صحيح حقيقي له كتابة عشرية دورية دورها 0 هو عدد	كسري غير عشري	صحيح طبيعي	عشري
جذر مربع عدد صحيح طبيعي هو مقابله إذا هذا العدد ينتمي إلى	$ \mathbb{Z}_{-} $	$ \mathbb{R}_{-} $	$ \{0\} $

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: بما أن $ \sqrt{\frac{98}{162}} + \sqrt{2} = (-5)^2 $ فإن

الحل:

نبسط $ \sqrt{\frac{98}{162}} $:

$$ \frac{98}{162} = \frac{49}{81} $$ $$ \sqrt{\frac{98}{162}} = \sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9} $$

نتحقق من المساواة:

$$ \frac{7}{9} + \sqrt{2} \stackrel{?}{=} (-5)^2 $$ $$ \frac{7}{9} + \sqrt{2} \stackrel{?}{=} 25 $$

بما أن $ \frac{7}{9} < 1 $ و $ \sqrt{2} \approx 1.414 < 2 $، فإن $ \frac{7}{9} + \sqrt{2} < 3 $

إذن $ \frac{7}{9} + \sqrt{2} \neq 25 $

⚠️ المساواة المعطاة خاطئة

لكن إذا أردنا تحديد نوع العدد $ \frac{7}{9} + \sqrt{2} $:

$ \frac{7}{9} \in \mathbb{Q} $
$ \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} $ (عدد غير كسري)
مجموع عدد كسري مع عدد غير كسري هو عدد غير كسري.

الإجابة: ج) $ \mathbb{I} $ (مجموعة الأعداد غير الكسرية)

السؤال 2: الرقم الذي رتبته $ 1 - 10^{232} $ بعد الفاصل

⚠️ الرتبة $ 1 - 10^{232} $ سالبة جداً ولا معنى لها في هذا السياق (خطأ في نص السؤال)

إذا كان المقصود الرتبة الرابعة (لأن الرقم 5 في الرتبة الرابعة بعد الفاصل):

العدد $ 45.328598 $

الرتبة 1 بعد الفاصل: 3
الرتبة 2 بعد الفاصل: 2
الرتبة 3 بعد الفاصل: 8
الرتبة 4 بعد الفاصل: 5

إذا كان المقصود الرتبة 4: الإجابة ب) 5

السؤال 3: كل عدد صحيح حقيقي له كتابة عشرية دورية دورها $ 0 $

الشرح:

كتابة عشرية دورية دورها $ 0 $ تعني أن الكتابة العشرية تنتهي.

مثال: $ 2.5 = 2.5\bar{0} $ (الدور هو $ 0 $)

كل عدد له كتابة عشرية منتهية هو عدد عشري.

الإجابة: ج) عشري

السؤال 4: جذر مربع عدد صحيح طبيعي هو مقابله

الحل:

لنفرض $ n \in \mathbb{N} $

$$ \sqrt{n} = -\sqrt{n} $$ $$ \sqrt{n} + \sqrt{n} = 0 $$ $$ 2\sqrt{n} = 0 $$ $$ \sqrt{n} = 0 $$ $$ n = 0 $$

العدد الوحيد الذي جذره المربع يساوي مقابله هو $ 0 $، لأن $ \sqrt{0} = 0 $ و $ -\sqrt{0} = 0 $

الإجابة: ج) $ \{0\} $

🎪 التمرين رقم 2 🎪

اختر الجواب الصحيح من بين الإجابات التالية

أ) إذا علمت أن $ M $ نقطة من مستقيم مدرج بالمعين $ (O,I) $ فاصلتها $ 1 - \sqrt{2} $ فإن البعد $ IM $ هو:

$ \sqrt{2} $

$ 1 - \sqrt{2} $

$ \sqrt{2} - 1 $

ب) العدد الحقيقي $ 3.555... $ هو عدد كسري دوره:

5

55

0

ج) الجذر التربيعي لـ $ \frac{0.0009}{49} $ هو:

$ \frac{3}{7} $

$ \frac{0.03}{7} $

$ \frac{3}{7000} $

د) في المعين المتعامد $ (O,I,J) $ حيث $ OI=OJ $ لدينا النقاط:
$ A(1-\sqrt{3}; -\frac{1}{2}) $ و $ B(1-\sqrt{3}; -\sqrt{2}-1) $
إذا $ A $ و $ B $ متناظران بالنسبة إلى:

(OI)

(OJ)

O

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

السؤال أ: البعد $ IM $ حيث $ x_M = 1 - \sqrt{2} $

الحل:

في مستقيم مدرج بالمعين $ (O,I) $: $ x_I = 1 $

$$ IM = |x_M - x_I| $$ $$ IM = |(1 - \sqrt{2}) - 1| $$ $$ IM = |-\sqrt{2}| $$ $$ IM = \sqrt{2} $$

الإجابة: $ \sqrt{2} $

التعليل: البعد بين نقطتين هو القيمة المطلقة لفرق فاصلتيهما

السؤال ب: العدد الحقيقي $ 3.555... $

الحل:

الكتابة $ 3.555... $ تعني $ 3.\bar{5} $

الدور هو الرقم أو مجموعة الأرقام التي تتكرر. في هذه الحالة الرقم المتكرر هو 5

الإجابة: 5

السؤال ج: الجذر التربيعي لـ $ \frac{0.0009}{49} $

الحل:

نعتبر أن المقصود هو الجذر التربيعي وليس "الربيعي" لأن $ \frac{0.03}{7} $ هو الخيار الوحيد المطابق.

$$ \sqrt{\frac{0.0009}{49}} = \frac{\sqrt{0.0009}}{\sqrt{49}} $$ $$ \sqrt{0.0009} = \frac{3}{100} = 0.03 $$ $$ \sqrt{49} = 7 $$ $$ \text{النتيجة: } \frac{0.03}{7} $$

الإجابة: $ \frac{0.03}{7} $

🔬 التمرين رقم 3 🔬

نعتبر العبارتين:

$$ A = \frac{1}{3} - (\sqrt{3} - 2) - \left[ \left(\Pi - \frac{2}{3}\right) - (\sqrt{3} + \Pi) \right] $$ $$ B = -3-(x+\Pi) - \left[ -\Pi + \sqrt{3^2} - \sqrt{(-2)^2} \right] $$

1) أ- بين أن $ A=3 $ و $ B = -4 - x $

ب- أحسب $ B $ إذا علمت أن $ x = -1 - \sqrt{2} $

2) أوجد $ x $ حيث $ A $ و $ B $ متقابلان

3) جد $ x $ بحيث $ |1-B| - \sqrt{2} = \frac{4}{5} $

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) أ- بين أن $ A=3 $ و $ B = -4 - x $

اختصار $ A $:

$$ A = \frac{1}{3} - (\sqrt{3} - 2) - \left[ \Pi - \frac{2}{3} - \sqrt{3} - \Pi \right] $$ $$ A = \frac{1}{3} - \sqrt{3} + 2 - \left[ - \frac{2}{3} - \sqrt{3} \right] $$ $$ A = \frac{1}{3} - \sqrt{3} + 2 + \frac{2}{3} + \sqrt{3} $$ $$ A = \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) + 2 $$ $$ A = 1 + 0 + 2 $$ $$ A = 3 $$

$ A = 3 $

اختصار $ B $:

$$ B = -3 - (x + \Pi) - \left[ -\Pi + 3 - 2 \right] $$ $$ B = -3 - x - \Pi - \left[ -\Pi + 1 \right] $$ $$ B = -3 - x - \Pi + \Pi - 1 $$ $$ B = -4 - x $$

$ B = -4 - x $

ب- أحسب $ B $ إذا علمت أن $ x = -1 - \sqrt{2} $

$$ B = -4 - x $$ $$ B = -4 - (-1 - \sqrt{2}) $$ $$ B = -4 + 1 + \sqrt{2} $$ $$ B = -3 + \sqrt{2} $$

$ B = \sqrt{2} - 3 $

2) أوجد $ x $ حيث $ A $ و $ B $ متقابلان

$ A $ و $ B $ متقابلان معناه: $ A + B = 0 $

$$ 3 + (-4 - x) = 0 $$ $$ -1 - x = 0 $$ $$ x = -1 $$

$ x = -1 $

3) جد $ x $ بحيث $ |1-B| - \sqrt{2} = \frac{4}{5} $

نعوض $ B = -4 - x $ في المعادلة:

$$ |1 - (-4 - x)| - \sqrt{2} = \frac{4}{5} $$ $$ |5 + x| = \frac{4}{5} + \sqrt{2} $$

الحالة 1: $ 5 + x = \frac{4}{5} + \sqrt{2} $

$$ x = \frac{4}{5} - 5 + \sqrt{2} $$ $$ x = -\frac{21}{5} + \sqrt{2} $$

الحالة 2: $ -(5 + x) = \frac{4}{5} + \sqrt{2} $

$$ -5 - x = \frac{4}{5} + \sqrt{2} $$ $$ -x = \frac{29}{5} + \sqrt{2} $$ $$ x = -\frac{29}{5} - \sqrt{2} $$

$ x = \sqrt{2} - \frac{21}{5} $ أو $ x = -\sqrt{2} - \frac{29}{5} $

📏 التمرين رقم 4 (وحدة قيس الطول هي السنتمتر) 📏

ليكن $ ABCD $ مستطيلا حيث $ AB = 2 $ و $ AD = 1 $ و $ I $ منتصف $ [AB] $
الدائرة $ \mathcal{C} $ التي مركزها $ A $ وتمر من $ C $ تقطع $ (AB) $ في نقطة $ E $

1) ماهي فاصلة النقطة $ E $ في المعين $ (A,I) $

2) لتكن النقطة $ F $ مناظرة $ B $ بالنسبة للنقطة $ A $
بين أن $ F $ مسقط النقطة $ D $ على $ (AB) $ وفقا لمنحى $ (AC) $

3) أحسب فاصلة النقطة $ B $ ثم فاصلة النقطة $ I $ في المعين $ (F,A) $

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) ماهي فاصلة النقطة $ E $ في المعين $ (A,I) $

حساب $ AC $ (طول نصف القطر):

حسب مبرهنة فيثاغورس في المثلث $ ABC $ القائم في $ B $:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 5 $$ $$ AC = \sqrt{5} $$

بما أن $ E $ على المستقيم $ (AB) $ و $ AE = AC $، فإن $ AE = \sqrt{5} $.

في المعين $ (A,I) $، الأصل هو $ A $ ووحدة القيس هي $ AI = 1 $ (لأن $ I $ منتصف $ [AB] $).

$$ x_E = \frac{AE}{AI} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5} $$

فاصلة $ E $ في المعين $ (A,I) = \sqrt{5} $

2) بين أن $ F $ مسقط $ D $ على $ (AB) $ وفقا لمنحى $ (AC) $

$ F $ مناظرة $ B $ بالنسبة لـ $ A $ $ \implies \vec{AF} = \vec{BA} $

بما أن $ \vec{AB} = \vec{DC} $ (لأن $ ABCD $ مستطيل)، فإن $ \vec{BA} = \vec{CD} $

وبالتالي $ \vec{AF} = \vec{CD} $

الشكل $ AFDC $ هو متوازي أضلاع.

في متوازي الأضلاع $ AFDC $ يكون الضلعان المتقابلان متوازيين: $ (DF) \parallel (AC) $

$ F $ تقع على المستقيم $ (AB) $، و $ (DF) \parallel (AC) $

إذن، $ F $ هو مسقط $ D $ على $ (AB) $ وفقا لمنحى $ (AC) $

3) أحسب فاصلة $ B $ ثم فاصلة $ I $ في المعين $ (F,A) $

في المعين $ (F,A) $، الأصل هو $ F $ ووحدة القيس هي $ FA $.

بما أن $ F $ مناظرة $ B $ بالنسبة لـ $ A $: $ FA = AB = 2 $

طول الوحدة في المعين $ (F,A) $ هو $ FA = 2 $.

فاصلة $ B $:

$$ FB = FA + AB = 2 + 2 = 4 $$ $$ x_B = \frac{FB}{\text{طول الوحدة}} = \frac{4}{2} = 2 $$

فاصلة $ B $ في المعين $ (F,A) = 2 $

فاصلة $ I $:

$ I $ منتصف $ [AB] $ $ \implies AI = 1 $

$$ FI = FA + AI = 2 + 1 = 3 $$ $$ x_I = \frac{FI}{\text{طول الوحدة}} = \frac{3}{2} $$

فاصلة $ I $ في المعين $ (F,A) = \frac{3}{2} $

العبارة	أ	ب	ج
بما أن \( \sqrt{\frac{98}{162}} + \sqrt{2} = (-5)^2 \) فإن	\( \mathbb{N} \)	\( \mathbb{Q} \)	\( \mathbb{I} \)
الرقم الذي رتبته \( 1 - 10^{232} \) بعد الفاصل في الكتابة العشرية \( 45.328598 \) هو	8	5	9
كل عدد صحيح حقيقي له كتابة عشرية دورية دورها 0 هو عدد	كسري غير عشري	صحيح طبيعي	عشري
جذر مربع عدد صحيح طبيعي هو مقابله إذا هذا العدد ينتمي إلى	\( \mathbb{Z}_{-} \)	\( \mathbb{R}_{-} \)	\( \{0\} \)

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4