🎯 فرض مراقبة عدد 1 في الرياضيات 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية البحيرة - أكتوبر 2013 📚
مثال رقم 19
🚀 تمرين عدد 1 : 5 نقاط 🚀
أحط بدائرة كل إجابة صحيحة
المعطيات أوليان أوليان فيما بينهما غير أوليان الإجابة الصحيحة
العددان 301 و 91 هما X غير أوليان
$x=15a+8$ و $a \in \mathbb{N}$ إذن $x+10$ يقبل القسمة على 4 6 12 6 (بافتراض $a$ زوجي أو خطأ في الصياغة الأصلية)
خارج قسمة العدد $3^{2015} - 3^{2013}$ على 12 يساوي $2 \times 3^{2013}$ $8 \times 3^{2013}$ $3 \times 3^{2013}$ $2 \times 3^{2012}$ (التبسيط الصحيح لا يطابق الخيارات)
العدد الحقيقي $c=\sqrt{12-\pi-(3-\pi)}$ هو أصم كسري عشري كسري غير عشري كسري عشري
في الكتابة $d=3,14\underline{132}$ الرقم في الرتبة 2013 هو 1 2 3 1

📝 التصحيح المفصل للتمرين 1

1) العددان 301 و 91:

91 &= 7 \times 13 \\ 301 &= 7 \times 43 \\ \text{القاسم المشترك الأكبر للعددين هو 7.} \\ \text{بما أن القاسم المشترك الأكبر لا يساوي 1، فالعددان غير أوليان فيما بينهما.}

✅ الإجابة الصحيحة: غير أوليان

2) $x+10$ حيث $x=15a+8$:

x+10 &= (15a+8) + 10 \\ x+10 &= 15a + 18 \\ x+10 &= 3(5a + 6) \\ \text{إذن } x+10 \text{ يقبل القسمة على 3 دائماً.}

نختبر قابلية القسمة على 2 (الشرط لإختيار 6 أو 12): إذا كان $a=1$ (فردي)، $x+10=33$ (لا يقبل على 2). إذا كان $a=2$ (زوجي)، $x+10=48$ (يقبل على 6 و 12). بما أن السؤال يجب أن يكون صحيحاً لجميع قيم $a \in \mathbb{N}$، فهناك خطأ في صياغته. بافتراض أن $a$ عدد زوجي لكي تكون الإجابة 6 أو 12 ممكنة، فإن الإجابة **6** هي الأضمن.

✅ الإجابة الصحيحة: 6 (بافتراض أن $a$ عدد زوجي)

3) خارج قسمة $3^{2015} - 3^{2013}$ على 12:

\frac{3^{2015} - 3^{2013}}{12} &= \frac{3^{2013}(3^2 - 1)}{12} \\ &= \frac{3^{2013}(9 - 1)}{12} \\ &= \frac{3^{2013} \times 8}{12} \\ &= \frac{3^{2013} \times 2}{3} \\ &= 3^{2012} \times 2 \\ \text{لاحظ أن } 2 \times 3^{2012} \text{ لا يطابق أي من الخيارات المعروضة.}

✅ الإجابة الصحيحة حسب الحساب: $2 \times 3^{2012}$ (الخيار المعروض $2 \times 3^{2013}$ هو الأقرب، بفارق عامل 3)

4) طبيعة العدد $c$:

c &= \sqrt{12-\pi-(3-\pi)} \\ &= \sqrt{12 - \pi - 3 + \pi} \\ &= \sqrt{12 - 3} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \text{العدد 3 هو عدد صحيح طبيعي، وكسري عشري.}

✅ الإجابة الصحيحة: كسري عشري

5) الرقم في الرتبة 2013 للعدد $d=3,14\underline{132}$:

\text{الرقم غير الدوري: 14 (طوله } K=2) \\ \text{الرقم الدوري: 132 (طوله } L=3) \\ \text{الرتبة المطلوبة: } R=2013 \\ \text{عدد الأرقام في الجزء الدوري: } R-K = 2013 - 2 = 2011 \\ \text{باقي قسمة 2011 على طول الدورة 3:} \quad 2011 = 3 \times 670 + 1 \\ \text{بما أن الباقي هو 1، فالرقم هو الرقم الأول من الدورة (132)، وهو 1.}

✅ الإجابة الصحيحة: 1

---
🎪 تمرين عدد 2 : 5 نقاط 🎪
نعتبر المجموعة $E$ هي مجموعة الأعداد من ثلاثة أرقام مختلفة $\overline{CDU}$ حيث:
(1) باستعمال شجرة الإختيار حدد عناصر المجموعة $E$.
(2) حدد كم المجموعة $E$.
(3) استنتج من بين عناصر المجموعة $E$ من يقبل القسمة على 6.

📝 التصحيح المفصل للتمرين 2

1) تحديد عناصر المجموعة $E$ (بإستعمال شجرة الإختيار):

الشروط: $\overline{C D U}$ أرقام مختلفة. $C \in \{3, 4, 5\}, D \in \{1, 7\}, U \in \{0, 5\}$.

\text{الحالة 1: } U=0 \\ \quad \text{إذا } D=1: C \in \{3, 4, 5\} \implies 310, 410, 510 \\ \quad \text{إذا } D=7: C \in \{3, 4, 5\} \implies 370, 470, 570 \\ \text{الحالة 2: } U=5 \\ \quad \text{إذا } D=1: C \in \{3, 4\} \quad (C \ne 5) \implies 315, 415 \\ \quad \text{إذا } D=7: C \in \{3, 4\} \quad (C \ne 5) \implies 375, 475 \\ \text{عناصر المجموعة } E \text{ هي: } \{310, 410, 510, 370, 470, 570, 315, 415, 375, 475\}

✅ عناصر المجموعة $E$ هي 10 أعداد.

2) كم المجموعة $E$:

\text{عدد العناصر = عدد الحالات الممكنة: } 6 + 4 = 10

✅ كم المجموعة $E$ هو 10.

3) استنتاج الأعداد القابلة للقسمة على 6:

العدد يقبل القسمة على 6 $\iff$ يقبل القسمة على 2 و 3.

• قابلية القسمة على 2: الأعداد يجب أن تكون زوجية، أي $U=0$. الأعداد المرشحة هي: $\{310, 410, 510, 370, 470, 570\}$.

• قابلية القسمة على 3: نختبر مجموع الأرقام:

310: 3+1+0=4 \quad (\text{لا}) \\ 410: 4+1+0=5 \quad (\text{لا}) \\ 510: 5+1+0=6 \quad (\text{نعم}) \\ 370: 3+7+0=10 \quad (\text{لا}) \\ 470: 4+7+0=11 \quad (\text{لا}) \\ 570: 5+7+0=12 \quad (\text{نعم})

✅ الأعداد التي تقبل القسمة على 6 هي: 510 و 570.

---
🔬 تمرين عدد 3 : 7 نقاط 🔬
نعتبر المجموعة العددية $A$: $A=\{-\frac{8}{3};\frac{\pi}{2};\frac{\sqrt{28}}{7};\sqrt{0,0090};1,03;-2,6;\frac{14}{175}\}$
I. (1) أتمم بإحدى العلامات $\in$ أو $\notin$:
$-2.6 \ldots A$
$\frac{13}{100} \ldots A$
I. (2) حدد التقاطعات التالية: $A \cap \mathbb{Q}$, $A \cap \mathbb{I}$, $A \cap \mathbb{D}$, $A \cap \mathbb{N}$
I. (3) حدد الأعداد الصماء من بين عناصر المجموعة $A$.
II. (1) نعتبر مستقيما مدرجا بالمعين $(O,I)$ حيث $OI = 1.5\text{cm}$. حدد فاصلة كل من النقطتين $O$ و $I$.
II. (2) عين النقاط $A$ و $B$ و $C$ فاصلاتها على التوالي 2 و $\sqrt{5}$ و $2-\sqrt{5}$ (تحديد الموقع دون رسم).
II. (3) حدد فاصلة النقطة $D$ من $(OC]$ حيث $OD=3$.

📝 التصحيح المفصل للتمرين 3

I. تبسيط عناصر المجموعة $A$:

-\frac{8}{3} \in \mathbb{Q} \\ \frac{\pi}{2} \in \mathbb{I} \\ \frac{\sqrt{28}}{7} = \frac{2\sqrt{7}}{7} \in \mathbb{I} \\ \sqrt{0,0090} = \sqrt{\frac{9}{1000}} = \frac{3}{10\sqrt{10}} \in \mathbb{I} \\ 1,03 = \frac{103}{100} \in \mathbb{D} \\ -2,6 = -\frac{26}{10} = -2.6 \in \mathbb{D} \\ \frac{14}{175} = \frac{2 \times 7}{25 \times 7} = \frac{2}{25} = 0.08 \in \mathbb{D}

I. (1) إتمام:

-2.6 \in A \\ \frac{13}{100} \notin A \quad (\text{لأنها ليست عنصراً من } A)

I. (2) التقاطعات:

A \cap \mathbb{Q} &= \{-\frac{8}{3}; 1,03; -2,6; \frac{14}{175}\} \\ A \cap \mathbb{I} &= \{\frac{\pi}{2}; \frac{\sqrt{28}}{7}; \sqrt{0,0090}\} \\ A \cap \mathbb{D} &= \{1,03; -2,6; \frac{14}{175}\} \\ A \cap \mathbb{N} &= \{\}

I. (3) الأعداد الصماء من $A$:

\text{الأعداد الصماء هي: } \{\frac{\pi}{2}; \frac{\sqrt{28}}{7}; \sqrt{0,0090}\}

II. (1) فاصلة $O$ و $I$:

\text{في المعين } (O, I) \text{، فاصلة } O \text{ هي 0.} \\ \text{فاصلة } I \text{ هي 1.}

II. (2) تعيين النقاط $A(2)$ و $B(\sqrt{5})$ و $C(2-\sqrt{5})$:

\text{النقطة } A \text{ تقع على يمين } I \text{ على بعد وحدة واحدة منها.} \\ \text{النقطة } B \text{ تقع على الجزء الموجب من المستقيم المدرج.} \\ \text{النقطة } C \text{ تقع على الجزء السالب لأن } 2 < \sqrt{5} \text{، و } 2-\sqrt{5} < 0.

II. (3) فاصلة النقطة $D$ من $(OC]$ حيث $OD=3$:

\text{لدينا } O \text{ هو الأصل وفاصلته 0.} \\ \text{المسافة } OD=3 \text{ تعني أن فاصلة } D \text{ هي 3 أو } -3. \\ \text{النقطة } C \text{ فاصلتها } x_C = 2-\sqrt{5} \text{ وهي سالبة.} \\ \text{الشعاع } (OC] \text{ يمثل الجزء السالب من المستقيم المدرج.} \\ \text{بما أن } D \in (OC] \text{، فإن فاصلة } D \text{ يجب أن تكون سالبة.} \\ \text{إذن فاصلة } D \text{ هي } -3.

✅ فاصلة النقطة $D$ هي $-3$.

---
📊 التمرين الرابع : 3 نقاط 📊
اختصر العبارات التالية:
(A) $A=\sqrt{1+\frac{13}{36}}$
(B) $B=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}$
(C) $C=|1,4-\sqrt{2}|-[(\sqrt{2}-\frac{1}{10})+1,7]$

📝 التصحيح المفصل للتمرين 4

اختصار العبارة $A$:

A &= \sqrt{1+\frac{13}{36}} \\ A &= \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{13}{36}} \\ A &= \sqrt{\frac{36+13}{36}} \\ A &= \sqrt{\frac{49}{36}} \\ A &= \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} \\ A &= \frac{7}{6}

✅ $A = \frac{7}{6}$

اختصار العبارة $B$:

B &= \sqrt{(-3)^{2}+4^{2}} \\ B &= \sqrt{9+16} \\ B &= \sqrt{25} \\ B &= 5

✅ $B = 5$

اختصار العبارة $C$:

C &= |1,4-\sqrt{2}|-[(\sqrt{2}-\frac{1}{10})+1,7] \\ \text{بما أن } \sqrt{2} \approx 1,414 \text{، فإن } 1,4 - \sqrt{2} < 0 \\ |1,4-\sqrt{2}| &= \sqrt{2} - 1,4 \\ C &= (\sqrt{2} - 1,4) - (\sqrt{2} - 0,1 + 1,7) \\ C &= \sqrt{2} - 1,4 - \sqrt{2} + 0,1 - 1,7 \\ C &= (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-1,4 + 0,1 - 1,7) \\ C &= 0 + (-3,0) \\ C &= -3

✅ $C = -3$