| المعطيات | الإجابة 1 | الإجابة 2 | الإجابة 3 |
|---|---|---|---|
| (1) مجموع عددين أصمين هو عدد أصم | صحيح | لا يمكن الجزم | خطأ |
| (2) رقم آحاد العدد $2\times25^{159}+5^{320}+5^{319}$ | 5 | 2 | 0 |
| (3) كم عدد فردي ذو 3 أرقام مختلفة مئاته زوجي | 250 | 200 | 160 |
| (4) خارج القسمة الإقليدية للعدد $n\in \mathbb{N}$ على العدد 3 يساوي | $3n$ | 2 | $3n+2$ |
| (5) نعتبر العدد $n = b345a06$. يكون العدد قابل للقسمة على 8 و 12 إذا كان: | $a=3$ و $b=4$ | $a=2$ و $b=8$ | $a=3$ و $b=6$ |
| (6) العدد $2^{n+3}+2^{n}$ حيث $n\in \mathbb{N}^{*}$ يقبل القسمة على: | 14 | 15 | 6 |
1) مجموع عددين أصمين هو عدد أصم:
التحليل: يكفي إعطاء مثال مضاد (Contre-exemple).
✅ الإجابة الصحيحة: خطأ
2) رقم آحاد العدد $2\times25^{159}+5^{320}+5^{319}$:
التحليل: رقم آحاد أي قوة للعدد 5 (غير $5^0$) هو 5. رقم آحاد جداء عددين هو رقم آحاد جداء رقمي آحادهما.
✅ الإجابة الصحيحة: 0
3) كم عدد فردي ذو 3 أرقام مختلفة مئاته زوجي:
الأرقام المتاحة: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$
العدد $\overline{CDU}$ حيث $C$ المئات، $D$ العشرات، $U$ الآحاد.
✅ الإجابة الصحيحة: 160
4) خارج القسمة الإقليدية للعدد $n\in \mathbb{N}$ على العدد 3 يساوي:
التحليل: السؤال غير واضح، لكن خارج القسمة الإقليدية لعدد $A$ على $B$ هو $Q$ بحيث $A = BQ + R$ و $0 \le R < B$. إذا اعتبرنا أن العدد هو $A=3n+2$ والقاسم هو $B=3$، فإن $3n+2 = 3(n) + 2$. خارج القسمة هو $n$. بما أن $n$ ليس خيارا، فإن السؤال غير دقيق. الإجابة الوحيدة المنطقية المتوقعة في سياق اختبار هي 2 (باعتبارها الباقي المشترك المحتمل).
✅ الإجابة الصحيحة (الأكثر احتمالا للباقي): 2
6) العدد $2^{n+3}+2^{n}$ حيث $n\in \mathbb{N}^{*}$ يقبل القسمة على:
التحليل: تحليل العبارة باستخراج العامل المشترك.
بما أن العدد هو جداء لـ 9، فهو يقبل القسمة على 3 و 9. بما أن $n \in \mathbb{N}^*$, $2^n$ يقبل القسمة على 2. إذن $9 \times 2^n$ يقبل القسمة على $3 \times 2 = 6$.
✅ الإجابة الصحيحة: 6
1) تحديد الأعداد (باستعمال شجرة الاختيار):
العدد هو $\overline{CDU}$. $C \ne 0$, $C \ne D$, $C \ne U$, $D \ne U$.
الشروط:
• $U \in \{0, 5\}$ (مضاع لـ 5)
• $D \in \{2, 3, 5, 7\}$ (أولي)
• $C \in \{3, 6, 9\}$ (مضاع لـ 3 وغير صفري)
✅ الأعداد الكلية هي 19 عدد.
2) إيجاد $a$ و $b$ ليكون $m=\overline{29a4b}$ قابلاً للقسمة على 8 و 12 و 15:
العدد يقبل القسمة على 15 $\iff$ يقبل القسمة على 3 و 5.
يقبل على 5 $\iff$ $b \in \{0, 5\}$.
العدد يقبل القسمة على 8 $\iff$ $\overline{a4b}$ يقبل القسمة على 8.
العدد يقبل القسمة على 3 $\iff$ مجموع أرقامه $15+a+b$ يقبل القسمة على 3.
✅ الحلول هي: $(a, b) = (0, 0)$ و $(6, 0)$
3) أ) تبيان أن $n+2$ مضاع للعدد 15:
لدينا $n=5p+3$ و $n=3q+1$.
بما أن $n+2$ مضاع لـ 3 ولـ 5، والعددان 3 و 5 أوليان فيما بينهما، فإن $n+2$ مضاع لجداهما $3 \times 5 = 15$.
✅ ثبت أن $n+2$ مضاع للعدد 15
أ - باقي قسمة $x$ على 3 يساوي 1:
باقي قسمة عدد على 3 هو نفسه باقي قسمة مجموع أرقامه على 3.
✅ ثبت أن باقي قسمة $x$ على 3 يساوي 1
ب - استنتاج أن $y$ يقبل القسمة على 6:
لبيان أن $y$ يقبل القسمة على 6، يجب أن نبين أنه يقبل القسمة على 2 وعلى 3.
بما أن $y$ يقبل القسمة على 2 و 3، فإنه يقبل القسمة على 6.
✅ ثبت أن $y$ يقبل القسمة على 6
أ - تبيان أن $(x-1)^{9}+y^{10}$ يقبل القسمة على 3:
✅ ثبت أن $(x-1)^{9}+y^{10}$ يقبل القسمة على 3
ب - استنتاج أن العدد $475551^{9}+951108^{10}$ يقبل القسمة على 3:
✅ ثبت أن المجموع يقبل القسمة على 3
العدد $\overline{CDU}$. الأرقام مختلفة. $C \ne 0$.
الشروط:
• $U$ (الآحاد) مربع كامل: $U \in \{0, 1, 4, 9\}$
• $D$ (العشرات) مضاع لـ 6: $D \in \{0, 6\}$
• $C$ (المئات) قاسم مشترك (لـ 4 و 6): $C \in \{1, 2\}$
✅ الأعداد هي: 160, 260, 201, 261, 104, 164, 204, 264, 109, 169, 209, 269
1) عدد بطاقات التعريف:
الأرقام المتاحة: $\{1, 2, ..., 9\}$ (9 أرقام).
✅ العدد الكلي هو 6561 رقم
2) عدد الكلمات من أحرف "قسمة":
كلمة "قسمة" تتكون من 4 أحرف مختلفة.
عدد الكلمات الممكنة هو عدد تباديل 4 عناصر.
✅ العدد الكلي هو 24 كلمة
3) إيجاد $b$ ليكون $m=\overline{65998b380}$ قابلاً للقسمة على 15 و 12 و 6:
العدد يقبل القسمة على 15، 12، 6 $\iff$ يقبل القسمة على المضاع المشترك الأصغر لهم:
قابلية القسمة على 60 $\iff$ يقبل القسمة على 6 و 10.
يقبل القسمة على 6 $\iff$ يقبل على 2 و 3.
✅ الحلول الممكنة لـ $b$ هي: 0، 3، 6، 9
4) تبيان أن العدد $5^{720}+2\times25^{359}$ يقبل القسمة على 45:
يقبل القسمة على 45 $\iff$ يقبل القسمة على 5 و 9.
بما أن $N$ مضاع لـ 5 و 9، وهما أوليان فيما بينهما، فإن $N$ مضاع لجداهما 45.
✅ ثبت أن العدد يقبل القسمة على 45
1) هل يقبل القسمة على 3 دون باق؟
✅ نعم، يمكنه ذلك دون باق لأن $N$ مضاع لـ 3.
2) هل يقبل القسمة على سيارتين (2) دون باق؟
✅ لا، لا يمكنه ذلك لأن $N$ هو عدد فردي.
3) ما هو العدد $N$ (أصغر من 100)؟
$N$ مضاع لـ 5 وينتهي بـ 5 (من السؤال 2، $N$ فردي).
$N = 6k+3$
✅ يمكن أن يكون عدد السيارات هو: 15، 45، أو 75