فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين عدد 1 - أختر الإجابة الصحيحة الوحيدة 🚀

1) العدد $\sqrt{\dfrac{0.06^2 + 0.08^2}{0.121}}$ يمثل عدداً:
أ) عشرياً ب) كسرياً غير عشري ج) أصماً

2) خارج قسمة العدد $27^{77} + 17 \times 9^{115} - 5$ على 5 هو:
أ) $4 \times 3^{230}$ ب) $4 \times 3^{230} - 1$ ج) $3^{230} - 1$

3) كم مجموعة الأعداد الزوجية ذات ثلاثة أرقام مئاتها أولي هو:
أ) 200 ب) 250 ج) 240

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: العدد $\sqrt{\dfrac{0.06^2 + 0.08^2}{0.121}}$

$0.06^2 = 0.0036$
$0.08^2 = 0.0064$
$0.06^2 + 0.08^2 = 0.0036 + 0.0064 = 0.01$

$\sqrt{\dfrac{0.01}{0.121}} = \sqrt{\dfrac{1/100}{121/1000}}$
$= \sqrt{\dfrac{1000}{100 \times 121}}$
$= \sqrt{\dfrac{10}{121}}$
$= \dfrac{\sqrt{10}}{11}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{11}$ هو عدد أصم (غير كسري)

✅ الإجابة الصحيحة: أصماً

السؤال 2: خارج قسمة $27^{77} + 17 \times 9^{115} - 5$ على 5

$27^{77} = (3^3)^{77} = 3^{231}$
$9^{115} = (3^2)^{115} = 3^{230}$

$27^{77} + 17 \times 9^{115} - 5$
$= 3^{231} + 17 \times 3^{230} - 5$
$= 3^{230}(3 + 17) - 5$
$= 3^{230} \times 20 - 5$
$= 5(4 \times 3^{230} - 1)$

الخارج = $\dfrac{5(4 \times 3^{230} - 1)}{5}$
$= 4 \times 3^{230} - 1$

✅ الإجابة الصحيحة: $4 \times 3^{230} - 1$

السؤال 3: كم الأعداد الزوجية ذات 3 أرقام مئاتها أولي

• المئات أولي: {2, 3, 5, 7} → 4 خيارات
• العشرات: {0, 1, 2, ..., 9} → 10 خيارات
• الآحاد زوجي: {0, 2, 4, 6, 8} → 5 خيارات

المجموع = $4 \times 10 \times 5 = 200$

✅ الإجابة الصحيحة: 200

🎪 التمرين رقم 2 - اقتباس 🎪

وحدة القيس هي الصم

ليكن $ABCD$ شبه منحرف متقايس الضلعين قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ بحيث:

$$AB = \sqrt{2} - 0.5, \quad BC = 2 - \sqrt{2}, \quad CD = \dfrac{7}{4} + \sqrt{3}$$

و $EFG$ مثلث حيث:

$$EG = 3, \quad EF = \dfrac{3}{4} + \sqrt{3}, \quad FG = \dfrac{5}{2} - \sqrt{2}$$

نعتبر $P$ قيس محيط شبه المنحرف $ABCD$ و $P'$ قيس محيط المثلث $EFG$

1) احسب $P$ و $P'$

2) بيّن أن $P - P'$ عدد صحيح طبيعي

3) لتكن $I = \left|\sqrt{3} - 3\right| - \left[2 - \left(x - \dfrac{1}{4}\right)\right]$ حيث $x$ عدد حقيقي
أ) اختصر $I$
ب) أوجد $x$ ليكون $I$ و $P$ متقابلان

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) حساب $P$ و $P'$

محيط شبه المنحرف $P$:

شبه المنحرف متقايس الضلعين:
$AD = BC = 2 - \sqrt{2}$

$P = AB + BC + CD + AD$
$= (\sqrt{2} - 0.5) + (2 - \sqrt{2}) + (\dfrac{7}{4} + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{2})$

$= \sqrt{2} - \dfrac{1}{2} + 2 - \sqrt{2} + \dfrac{7}{4} + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{2}$

$= (\sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2 + 2) + (-\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{4}) + \sqrt{3}$

$= -\sqrt{2} + 4 + \dfrac{5}{4} + \sqrt{3}$

$= 4 + 1.25 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$= \dfrac{21}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$P = \dfrac{21}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

محيط المثلث $P'$:

$P' = EG + EF + FG$
$= 3 + (\dfrac{3}{4} + \sqrt{3}) + (\dfrac{5}{2} - \sqrt{2})$

$= 3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$= 3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{10}{4} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$= 3 + \dfrac{13}{4} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$= \dfrac{25}{4} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$P' = \dfrac{25}{4} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

2) إثبات أن $P - P'$ عدد صحيح طبيعي

$P - P' = (\dfrac{21}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\dfrac{25}{4} + \sqrt{3} - \sqrt{2})$

$= \dfrac{21}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \dfrac{25}{4} - \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$= (\dfrac{21}{4} - \dfrac{25}{4}) + (-\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{3})$

$= -\dfrac{4}{4} + 0 + 0$

$= -1$

⚠️ النتيجة $-1$ وهي عدد صحيح لكن ليست طبيعياً (سالب)

ربما المطلوب $|P - P'| = 1$ وهو عدد صحيح طبيعي

$P - P' = -1$ أو $|P - P'| = 1$

3) أ) اختصار $I$

$I = |\sqrt{3} - 3| - [2 - (x - \dfrac{1}{4})]$

$\sqrt{3} \approx 1.732 < 3$
$\sqrt{3} - 3 < 0$
$|\sqrt{3} - 3| = 3 - \sqrt{3}$

$I = (3 - \sqrt{3}) - [2 - x + \dfrac{1}{4}]$

$= 3 - \sqrt{3} - 2 + x - \dfrac{1}{4}$

$= x + 1 - \dfrac{1}{4} - \sqrt{3}$

$= x + \dfrac{3}{4} - \sqrt{3}$

✅ $I = x + \dfrac{3}{4} - \sqrt{3}$

ب) إيجاد $x$ حيث $I$ و $P$ متقابلان

$I + P = 0$

$(x + \dfrac{3}{4} - \sqrt{3}) + (\dfrac{21}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$

$x + \dfrac{3}{4} - \sqrt{3} + \dfrac{21}{4} - \sqrt{2} + \sqrt{3} = 0$

$x + \dfrac{24}{4} - \sqrt{2} = 0$

$x + 6 - \sqrt{2} = 0$

$x = \sqrt{2} - 6$

✅ $x = \sqrt{2} - 6$

🔬 التمرين عدد 3 🔬

1) باستعمال شجرة الاختيار:
أ) حدد الأعداد ذات ثلاثة أرقام مختلفة التي يمكن كتابتها باستعمال الأرقام 1, 2, 3, 4 بحيث يكون رقم المئات ورقم العشرات متتاليين
ب) اذكر من بين هذه الأعداد تلك التي تقبل القسمة على 6

2) بيّن أن العدد $2^{43} - 5 \times 32^8$ يقبل القسمة على 12

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) أ) شجرة الاختيار

الشروط:

• الأرقام: {1, 2, 3, 4}
• رقم المئات ورقم العشرات متتاليان
• الأرقام مختلفة

الأزواج المتتالية:

(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3)

البحث:

• المئات=1، العشرات=2: الآحاد من {3, 4}
الأعداد: 123, 124

• المئات=2، العشرات=1: الآحاد من {3, 4}
الأعداد: 213, 214

• المئات=2، العشرات=3: الآحاد من {1, 4}
الأعداد: 231, 234

• المئات=3، العشرات=2: الآحاد من {1, 4}
الأعداد: 321, 324

• المئات=3، العشرات=4: الآحاد من {1, 2}
الأعداد: 341, 342

• المئات=4، العشرات=3: الآحاد من {1, 2}
الأعداد: 431, 432

✅ الأعداد: 123, 124, 213, 214, 231, 234, 321, 324, 341, 342, 431, 432

ب) الأعداد التي تقبل القسمة على 6:

القسمة على 6 = القسمة على 2 و 3

القسمة على 2: الآحاد زوجي
القسمة على 3: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3

• 234: زوجي ✓، 2+3+4=9 ✓ → يقبل القسمة على 6
• 324: زوجي ✓، 3+2+4=9 ✓ → يقبل القسمة على 6
• 342: زوجي ✓، 3+4+2=9 ✓ → يقبل القسمة على 6
• 432: زوجي ✓، 4+3+2=9 ✓ → يقبل القسمة على 6

✅ الأعداد: 234, 324, 342, 432

2) إثبات أن $2^{43} - 5 \times 32^8$ يقبل القسمة على 12

$32^8 = (2^5)^8 = 2^{40}$

$2^{43} - 5 \times 32^8 = 2^{43} - 5 \times 2^{40}$

$= 2^{40}(2^3 - 5)$

$= 2^{40}(8 - 5)$

$= 2^{40} \times 3$

$= 3 \times 2^{40}$

$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$

$\dfrac{3 \times 2^{40}}{2^2 \times 3} = 2^{38}$

العدد $2^{43} - 5 \times 32^8 = 3 \times 2^{40} = 12 \times 2^{38}$

✅ العدد يقبل القسمة على 12

📊 التمرين رقم 4 - هندسة 📊

ليكن $(\Delta)$ و $(\Delta')$ مستقيمين متعامدين في نقطة $O$ و $M$ نقطة خارجة عنهما

1) أ) ابن النقطة $A$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(\Delta)$ والنقطة $B$ مسقط $M$ على $(\Delta')$ وفقاً لمنحى $(\Delta)$
ب) بيّن أن النقطة $B$ هي المسقط العمودي لـ $M$ على المستقيم $(\Delta')$

2) لتكن $C$ الرأس الرابعة لمتوازي الأضلاع $AMOC$ و $D$ مناظرة النقطة $A$ بالنسبة للنقطة $O$
أ) بيّن أن $C \in (OB)$
ب) بيّن أن النقطة $C$ هي مسقط النقطة $D$ على المستقيم $(OB)$ وفقاً لمنحى $(AB)$

3) حدد مجموعة النقاط التي تكون النقطة $O$ مسقط كل منها على المستقيم $(\Delta)$ وفقاً لمنحى $(BD)$ وعلل جوابك

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) أ) الإنشاء

• $A$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(\Delta)$: من $M$ نرسم عموداً على $(\Delta)$ يقطعه في $A$

• $B$ مسقط $M$ على $(\Delta')$ وفقاً لمنحى $(\Delta)$: من $M$ نرسم موازياً لـ $(\Delta)$ يقطع $(\Delta')$ في $B$

ب) إثبات أن $B$ مسقط عمودي لـ $M$ على $(\Delta')$

$(\Delta) \perp (\Delta')$ في $O$
$(MB) \parallel (\Delta)$

بما أن $(MB) \parallel (\Delta)$ و $(\Delta) \perp (\Delta')$
إذن $(MB) \perp (\Delta')$

✅ $B$ هي المسقط العمودي لـ $M$ على $(\Delta')$

التعليل: $(MB)$ موازٍ لمستقيم عمودي على $(\Delta')$، إذن $(MB) \perp (\Delta')$

2) أ) إثبات أن $C \in (OB)$

في متوازي الأضلاع $AMOC$:
$(AM) \parallel (OC)$ و $AM = OC$
$(AO) \parallel (MC)$ و $AO = MC$

$A$ على $(\Delta)$ و $O$ على $(\Delta')$
$(AO)$ يصل بين $(\Delta)$ و $(\Delta')$

$(MC) \parallel (AO)$
بما أن $(\Delta) \perp (\Delta')$ في $O$
و $(AO)$ على $(\Delta)$
إذن $(MC) \parallel (\Delta)$

أيضاً $(MB) \parallel (\Delta)$
إذن $M$، $B$، $C$ على استقامة واحدة

بما أن $C$ على $(MC)$ و $B$ على $(MB)$ و $M$ مشترك
و $(OC)$ موازٍ لـ $(AM)$ و يمر من $O$ على $(\Delta')$
إذن $C$ على $(OB)$ أي $(\Delta')$

✅ $C \in (OB)$

ب) إثبات أن $C$ مسقط $D$ على $(OB)$ وفقاً لمنحى $(AB)$

$D$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $O$
$O$ منتصف $[AD]$

في متوازي الأضلاع $AMOC$:
القطران $[AO]$ و $[MC]$ يتناصفان
$O$ منتصف $[MC]$ أيضاً

بما أن $O$ منتصف $[AD]$ و $[MC]$
الرباعي $AMDC$ متوازي أضلاع
$(DC) \parallel (MA)$

بما أن $(MA) \perp (\Delta)$ و $A$ على $(\Delta)$
و $(AB)$ على $(\Delta)$ من $A$ إلى $B$
و $(DC) \parallel (AB)$ (لأن $MADC$ يكون متوازي أضلاع)
و $C$ على $(OB)$

✅ $C$ هي مسقط $D$ على $(OB)$ وفقاً لمنحى $(AB)$

3) مجموعة النقاط

نبحث عن مجموعة النقاط $P$ بحيث مسقطها على $(\Delta)$ وفقاً لمنحى $(BD)$ هو $O$

لكي يكون $O$ مسقط $P$ على $(\Delta)$:
• $O$ على $(\Delta)$ ✓
• $(PO) \parallel (BD)$

إذن $P$ على المستقيم المار من $O$ والموازي لـ $(BD)$

✅ المجموعة: المستقيم المار من $O$ والموازي لـ $(BD)$

التعليل: كل نقطة على هذا المستقيم تحقق الشرط $(PO) \parallel (BD)$ مع $O$ على $(\Delta)$

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4