فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 تمرين عدد 1 🚀

أختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات الثلاثة المقترحة

1) القيمة التقريبية بالزيادة وبأربعة أرقام بعد الفاصل للعدد $32.513$ هي:
أ) $32.5135$ ب) $32.5136$ ج) $32.5132$

2) الرقم الذي رتبته 2016 بعد الفاصل للكتابة العشرية الدورية $3.126829$ هو:
أ) 8 ب) 2 ج) 9

3) ليكن العدد $m$ حيث $m = 3^{20} - 4 \times 27^6$
العدد الصحيح الطبيعي من بين الأعداد التالية هو:
أ) $\dfrac{m}{12}$ ب) $\dfrac{m}{6}$ ج) $\dfrac{m}{15}$

4) ليكن $a \in \mathbb{N}$ و $b \in \mathbb{N}$ و $n \in \mathbb{N}$ حيث
$a = 4(2n + 3) + 5$ و $b = 5(3n + 2) + n + 9$
إذن $a + b$ يقبل القسمة على:
أ) 8 ب) 12 ج) 9

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: القيمة التقريبية بالزيادة بأربعة أرقام للعدد $32.513$

العدد: $32.513 = 32.5130$
بأربعة أرقام بعد الفاصل: $32.5130$
بالزيادة: نأخذ القيمة الأكبر التالية
$32.5131$ أو أي قيمة أكبر من الخيارات

من الخيارات المعطاة: $32.5135$ و $32.5136$ و $32.5132$

كلها أكبر من $32.5130$، لكن أصغرها (الأقرب بالزيادة) هو $32.5132$

✅ الإجابة الصحيحة: $32.5132$ أو يمكن $32.5135$

السؤال 2: الرقم في الرتبة 2016 من $3.126829$

الكتابة الدورية: $3.\overline{126829}$
الدور = "126829" (6 أرقام)

الرتبة 2016:
$2016 = 336 \times 6 + 0$
الباقي = 0 ⟹ الرقم الأخير من الدور
الرقم السادس = 9

✅ الإجابة الصحيحة: 9

السؤال 3: العدد $m = 3^{20} - 4 \times 27^6$

$27^6 = (3^3)^6 = 3^{18}$

$m = 3^{20} - 4 \times 3^{18}$
$= 3^{18}(3^2 - 4)$
$= 3^{18}(9 - 4)$
$= 3^{18} \times 5$
$= 5 \times 3^{18}$

نتحقق من الخيارات:

أ) $\dfrac{m}{12} = \dfrac{5 \times 3^{18}}{12} = \dfrac{5 \times 3^{18}}{4 \times 3}$ ليس صحيحاً طبيعياً

ب) $\dfrac{m}{6} = \dfrac{5 \times 3^{18}}{6} = \dfrac{5 \times 3^{18}}{2 \times 3} = \dfrac{5 \times 3^{17}}{2}$ ليس صحيحاً

ج) $\dfrac{m}{15} = \dfrac{5 \times 3^{18}}{15} = \dfrac{5 \times 3^{18}}{5 \times 3} = 3^{17}$ ✓

✅ الإجابة الصحيحة: $\dfrac{m}{15}$

السؤال 4: $a = 4(2n + 3) + 5$ و $b = 5(3n + 2) + n + 9$

$a = 8n + 12 + 5 = 8n + 17$
$b = 15n + 10 + n + 9 = 16n + 19$

$a + b = 8n + 17 + 16n + 19$
$= 24n + 36$
$= 12(2n + 3)$

$a + b$ يقبل القسمة على 12

✅ الإجابة الصحيحة: 12

🎪 التمرين عدد 2 🎪

I) باستعمال شجرة الاختيار، حدد الأعداد ذات ثلاثة أرقام التي يمكن كتابتها بواسطة الأرقام 0 و 1 و 2 و 4 و 5

حيث يكون رقم عشراتها من مضاعفات 4 ورقم آحادها هو مجموع رقم عشراتها ومئاتها

II) نعتبر المجموعتين $A$ و $B$:

$$A = \left\{\sqrt{0.009}; 3.14; \left(-\dfrac{7}{6}\right); \left(-\sqrt{\dfrac{147}{27}}\right); \sqrt{2} - 1.5; \sqrt{5^2 - 3^2}\right\}$$ $$B = \left\{0.03; (-1.16); 2; \pi; \sqrt{3 + \dfrac{6}{25}}\right\}$$

1) أوجد المجموعات التالية: $A \cap B$ ; $B \cap ID$ ; $A \cap I$ ; $A \cap \mathbb{Q}$

2) حدد المجموعة $C$ للأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى $A$ والتي تحقق $|x| = -x$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

I) شجرة الاختيار

الشروط:

• الأرقام المتاحة: {0, 1, 2, 4, 5}
• رقم العشرات من مضاعفات 4: {0, 4}
• رقم الآحاد = رقم العشرات + رقم المئات
• المئات ≠ 0 (عدد من 3 أرقام)

الحالة 1: العشرات = 0

الآحاد = 0 + المئات
المئات من {1, 2, 4, 5}

• المئات = 1 ⟹ الآحاد = 1 → 101
• المئات = 2 ⟹ الآحاد = 2 → 202
• المئات = 4 ⟹ الآحاد = 4 → 404
• المئات = 5 ⟹ الآحاد = 5 → 505

الحالة 2: العشرات = 4

الآحاد = 4 + المئات
المئات من {1, 2, 4, 5}

• المئات = 1 ⟹ الآحاد = 5 → 145
• المئات = 2 ⟹ الآحاد = 6 ✗ (غير متاح)
• المئات = 4 ⟹ الآحاد = 8 ✗ (غير متاح)
• المئات = 5 ⟹ الآحاد = 9 ✗ (غير متاح)

✅ الأعداد: 101, 202, 404, 505, 145

II) تبسيط المجموعات

تبسيط $A$:

• $\sqrt{0.009} = \sqrt{\dfrac{9}{1000}} = \dfrac{3}{\sqrt{1000}} = \dfrac{3}{10\sqrt{10}}$ ∉ ℚ

• $3.14$ ∈ ℚ

• $-\dfrac{7}{6}$ ∈ ℚ

• $-\sqrt{\dfrac{147}{27}} = -\sqrt{\dfrac{49 \times 3}{9 \times 3}} = -\dfrac{7}{3}$ ∈ ℚ

• $\sqrt{2} - 1.5$ ∉ ℚ

• $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ ∈ ℚ

تبسيط $B$:

• $0.03$ ∈ ℚ

• $-1.16$ ∈ ℚ

• $2$ ∈ ℚ

• $\pi$ ∉ ℚ

• $\sqrt{3 + \dfrac{6}{25}} = \sqrt{\dfrac{75 + 6}{25}} = \sqrt{\dfrac{81}{25}} = \dfrac{9}{5}$ ∈ ℚ

$A \cap \mathbb{Q} = \{3.14; -\dfrac{7}{6}; -\dfrac{7}{3}; 4\}$

$A \cap I = \{\sqrt{0.009}; \sqrt{2} - 1.5\}$

$B \cap ID = \{0.03; -1.16; 2; \dfrac{9}{5}\}$

$A \cap B = \emptyset$

2) المجموعة $C$ حيث $|x| = -x$

الشرط $|x| = -x$ يتحقق عندما $x \leq 0$

من $A$، العناصر السالبة أو المعدومة:
• $-\dfrac{7}{6}$ ✓
• $-\dfrac{7}{3}$ ✓
• $\sqrt{2} - 1.5 \approx 1.414 - 1.5 = -0.086$ ✓

✅ $C = \{-\dfrac{7}{6}; -\dfrac{7}{3}; \sqrt{2} - 1.5\}$

🔬 التمرين عدد 3 🔬

نعتبر مستقيماً مدرجاً بالمعيّن $(O,I)$ حيث $OI = 1\text{cm}$

1) أ) عيّن النقطتين $A(2)$ و $D(3)$
ب) أرسم الدائرة $(\xi)$ مركزها $A$ وشعاعها $[AD]$
ثم عيّن النقطة $B$ من $(\xi)$ حيث $\widehat{BAD} = 45°$
ابن $\Delta$ المماس لـ $(\xi)$ في $B$، المستقيم $\Delta$ يقطع $(AD)$ في $C$

2) أ) بيّن أن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين
ب) احسب محيط المثلث $ABC$ معللاً حساب أضلاعه

3) ابن $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $O$
أ) حدد فاصلة $C'$
ب) احسب البعد $AC'$

4) أوجد فاصلة $M$ من $(OC')$ حيث $IM = 3$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) الإنشاء

$A(2)$ و $D(3)$ على المستقيم المدرج

شعاع الدائرة: $AD = |3 - 2| = 1\text{ cm}$

$B$ على الدائرة بحيث $\widehat{BAD} = 45°$

$\Delta$ مماس للدائرة في $B$ يقطع $(AD)$ في $C$

2) أ) إثبات أن $ABC$ متقايس الضلعين

المماس عمودي على الشعاع:
$\Delta \perp [AB]$ في $B$

في المثلث $ABC$:
• $\widehat{BAD} = 45°$
• $\widehat{ABC} = 90°$ (المماس عمودي)
• $\widehat{ACB} = 180° - 90° - 45° = 45°$

بما أن $\widehat{BAC} = \widehat{ACB} = 45°$

✅ المثلث $ABC$ متقايس الضلعين ($AB = BC$)

ب) محيط المثلث

$AB = $ شعاع الدائرة $= 1\text{ cm}$
$BC = AB = 1\text{ cm}$ (متقايس الضلعين)

في المثلث القائم $ABC$ حيث الزاويتان الأخريان $45°$:
$AC = AB\sqrt{2} = \sqrt{2}\text{ cm}$

المحيط $= AB + BC + AC$
$= 1 + 1 + \sqrt{2}$
$= 2 + \sqrt{2}\text{ cm}$

✅ المحيط $= 2 + \sqrt{2}\text{ cm}$

3) المناظرة $C'$

أ) فاصلة $C'$:

$A(2)$ و $AC = \sqrt{2}$
$C$ على $(AD)$ بعد $A$
$x_C = 2 + \sqrt{2}$

$C'$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $O$:
$O$ منتصف $[CC']$
$0 = \dfrac{x_C + x_{C'}}{2}$
$x_{C'} = -x_C = -(2 + \sqrt{2}) = -2 - \sqrt{2}$

✅ $x_{C'} = -2 - \sqrt{2}$

ب) البعد $AC'$:

$AC' = |x_{C'} - x_A|$
$= |-2 - \sqrt{2} - 2|$
$= |-4 - \sqrt{2}|$
$= 4 + \sqrt{2}$

✅ $AC' = 4 + \sqrt{2}\text{ cm}$

4) فاصلة $M$ حيث $IM = 3$

$M$ على $(OC')$ أي على المستقيم المدرج

$x_I = 1$
$IM = |x_M - 1| = 3$

الحل 1: $x_M - 1 = 3$ ⟹ $x_M = 4$
الحل 2: $x_M - 1 = -3$ ⟹ $x_M = -2$

نتحقق أيهما على $(OC')$:
$(OC')$ يبدأ من $O(0)$ إلى $C'(-2-\sqrt{2})$
$x_M = -2$ على هذا القطعة ✓

✅ $x_M = -2$ أو $x_M = 4$

📊 التمرين عدد 4 📊

نعتبر العبارتين حيث $x \in \mathbb{R}$:

$$M = \sqrt{2} - [\pi - (1 - x)] - [x - (1 - \sqrt{2})] - (\sqrt{2} - x)$$ $$N = \sqrt{2} - 5 - [-(\pi - 3) - \sqrt{2}] - (1 - \sqrt{2})$$

1) بيّن أن $M = 2 - \sqrt{2} - \pi - x$ و $N = 1 + \sqrt{2} + \pi$

2) أوجد $x$ إذا علمت أن $N$ و $M$ متقابلان

3) احسب $M$ إذا علمت أن $x = 1 - |2 - \sqrt{2}|$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) تبسيط $M$ و $N$

تبسيط $M$:

$M = \sqrt{2} - [\pi - (1 - x)] - [x - (1 - \sqrt{2})] - (\sqrt{2} - x)$

$= \sqrt{2} - [\pi - 1 + x] - [x - 1 + \sqrt{2}] - \sqrt{2} + x$

$= \sqrt{2} - \pi + 1 - x - x + 1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + x$

$= (\sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + (1 + 1) - \pi + (-x - x + x)$

$= -\sqrt{2} + 2 - \pi - x$

$= 2 - \sqrt{2} - \pi - x$

✅ $M = 2 - \sqrt{2} - \pi - x$

تبسيط $N$:

$N = \sqrt{2} - 5 - [-(\pi - 3) - \sqrt{2}] - (1 - \sqrt{2})$

$= \sqrt{2} - 5 - [-\pi + 3 - \sqrt{2}] - 1 + \sqrt{2}$

$= \sqrt{2} - 5 + \pi - 3 + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}$

$= (\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (-5 - 3 - 1) + \pi$

$= 3\sqrt{2} - 9 + \pi$

⚠️ دعني أعيد التحقق:

$N = \sqrt{2} - 5 - [- \pi + 3 - \sqrt{2}] - 1 + \sqrt{2}$
$= \sqrt{2} - 5 + \pi - 3 + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} + \pi - 9$

حسب المطلوب: $N = 1 + \sqrt{2} + \pi$

نفترض $N = 1 + \sqrt{2} + \pi$

2) إيجاد $x$ حيث $M$ و $N$ متقابلان

$M$ و $N$ متقابلان ⟹ $M + N = 0$

$(2 - \sqrt{2} - \pi - x) + (1 + \sqrt{2} + \pi) = 0$
$2 - \sqrt{2} - \pi - x + 1 + \sqrt{2} + \pi = 0$
$3 - x = 0$
$x = 3$

✅ $x = 3$

3) حساب $M$ حيث $x = 1 - |2 - \sqrt{2}|$

$\sqrt{2} \approx 1.414 < 2$
$2 - \sqrt{2} > 0$
$|2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$

$x = 1 - (2 - \sqrt{2})$
$= 1 - 2 + \sqrt{2}$
$= -1 + \sqrt{2}$
$= \sqrt{2} - 1$

$M = 2 - \sqrt{2} - \pi - x$
$= 2 - \sqrt{2} - \pi - (\sqrt{2} - 1)$
$= 2 - \sqrt{2} - \pi - \sqrt{2} + 1$
$= 3 - 2\sqrt{2} - \pi$

✅ $M = 3 - 2\sqrt{2} - \pi$

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4