🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 12
🚀 تمرين رقم 1 - لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حددها 🚀
1) القيمة التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل للعدد $2.75$ هي:
أ) $2.751$     ب) $2.757$     ج) $2.758$
2) العدد $5^{160} \times 2 + 5^{320}$ يمثل محيط:
أ) مثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه عدد صحيح طبيعي
ب) مربع طول ضلعه عدد صحيح طبيعي
ج) سداسي متقايس الأضلاع طول ضلعه عدد صحيح طبيعي
3) كم عدد يتكون من أربعة أرقام زوجية مختلفة هو:
أ) $4^2 \times 9 \times 8$     ب) $4^2 \times 3 \times 2$     ج) $4^3 \times 3$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: القيمة التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام للعدد $2.75$

العدد: $2.75 = 2.750$
بثلاثة أرقام بعد الفاصل: $2.750$
بالزيادة: نضيف للرقم الأخير أو نأخذ القيمة الأكبر
$2.751$ (هذه أكبر قيمة من الخيارات تقترب من $2.750$)

✅ الإجابة الصحيحة: $2.751$

السؤال 2: العدد $5^{160} \times 2 + 5^{320}$ يمثل محيط

$5^{160} \times 2 + 5^{320}$

$= 5^{160} \times 2 + (5^{160})^2$
$= 5^{160} \times 2 + 5^{160} \times 5^{160}$
$= 5^{160}(2 + 5^{160})$

لنحلل الشكل:

إذا كان سداسياً: المحيط = $6 \times$ الضلع
إذن الضلع = $\dfrac{5^{160}(2 + 5^{160})}{6}$

إذا كان مربعاً: المحيط = $4 \times$ الضلع
إذن الضلع = $\dfrac{5^{160}(2 + 5^{160})}{4}$

لنفترض أنه سداسي ونتحقق

✅ الإجابة المرجحة: سداسي متقايس الأضلاع

السؤال 3: كم عدد يتكون من أربعة أرقام زوجية مختلفة

الأرقام الزوجية: {0, 2, 4, 6, 8} (5 أرقام)

عدد من 4 أرقام: _ _ _ _

الخانة الأولى (الآلاف):
لا يمكن أن تكون 0
الخيارات: {2, 4, 6, 8} → 4 خيارات

الخانة الثانية (المئات):
من الأرقام الزوجية الباقية (مع 0 لكن بدون الرقم الأول)
5 - 1 = 4 خيارات

الخانة الثالثة (العشرات):
من الأرقام الزوجية الباقية
5 - 2 = 3 خيارات

الخانة الرابعة (الآحاد):
من الأرقام الزوجية الباقية
5 - 3 = 2 خيار

المجموع = $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$

نتحقق من الخيارات:

أ) $4^2 \times 9 \times 8 = 16 \times 9 \times 8 = 1152$ ✗
ب) $4^2 \times 3 \times 2 = 16 \times 3 \times 2 = 96$ ✓
ج) $4^3 \times 3 = 64 \times 3 = 192$ ✗

✅ الإجابة الصحيحة: $4^2 \times 3 \times 2 = 96$

🎪 التمرين رقم 2 🎪
نعتبر العبارة:
$$F = -(\sqrt{2} - \Pi) - \left[-(a + \sqrt{3}) - (-b - \Pi) + \sqrt{3}\right]$$
1) بيّن أن $F = a - b - \sqrt{2}$
2) أحسب $F$ إذا علمت أن $b - a = 3 - \sqrt{2}$
3) أحسب $|F|$ إذا علمت أن $b - a = 2$
4) أحسب $a - b$ إذا علمت أن $F - 2 = \dfrac{1}{2}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) تبسيط $F$

$F = -(\sqrt{2} - \Pi) - [-(a + \sqrt{3}) - (-b - \Pi) + \sqrt{3}]$

$= -\sqrt{2} + \Pi - [-a - \sqrt{3} + b + \Pi + \sqrt{3}]$

$= -\sqrt{2} + \Pi - [-a + b + \Pi]$

$= -\sqrt{2} + \Pi + a - b - \Pi$

$= a - b - \sqrt{2}$

✅ $F = a - b - \sqrt{2}$

2) حساب $F$ حيث $b - a = 3 - \sqrt{2}$

$F = a - b - \sqrt{2}$
$= -(b - a) - \sqrt{2}$
$= -(3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2}$
$= -3 + \sqrt{2} - \sqrt{2}$
$= -3$

✅ $F = -3$

3) حساب $|F|$ حيث $b - a = 2$

$F = a - b - \sqrt{2}$
$= -(b - a) - \sqrt{2}$
$= -2 - \sqrt{2}$

بما أن $\sqrt{2} \approx 1.414 > 0$
$F = -2 - \sqrt{2} < 0$

$|F| = |-2 - \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2}$

✅ $|F| = 2 + \sqrt{2}$

4) حساب $a - b$ حيث $F - 2 = \dfrac{1}{2}$

$F - 2 = \dfrac{1}{2}$
$F = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$

$F = a - b - \sqrt{2}$
$\dfrac{5}{2} = a - b - \sqrt{2}$
$a - b = \dfrac{5}{2} + \sqrt{2}$

✅ $a - b = \dfrac{5}{2} + \sqrt{2}$

🔬 التمرين رقم 3 - هندسة 🔬
ليكن $(OI)$ و $(OJ)$ مستقيمين متقاطعين في النقطة $O$ وغير متعامدين
1) ابن النقطة $M$ حيث يكون الرباعي $OIMJ$ متوازي أضلاع و $N$ مناظرة النقطة $M$ بالنسبة لـ $I$
2) حدد مسقط النقطة $N$ على المستقيم $(OI)$ وفقاً لمنحى $(OJ)$ وعلل جوابك
3) لتكن $J'$ مناظرة النقطة $J$ بالنسبة للنقطة $O$
بيّن أن النقطة $J'$ هي مسقط النقطة $N$ على المستقيم $(OJ)$ وفقاً لمنحى $(OI)$
4) حدد مجموعة النقاط التي تكون $N$ مسقط كل منها على المستقيم $(MI)$ وفقاً لمنحى $(IJ)$ علل جوابك

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) بناء النقاط $M$ و $N$

بناء $M$:

لكي يكون $OIMJ$ متوازي أضلاع:

• $(OI) \parallel (MJ)$ و $OI = MJ$
• $(OJ) \parallel (IM)$ و $OJ = IM$

الإنشاء: من $J$ نرسم موازياً لـ $(OI)$، ومن $I$ نرسم موازياً لـ $(OJ)$، التقاطع هو $M$

بناء $N$:

$N$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $I$ ⟹ $I$ منتصف $[MN]$

2) مسقط $N$ على $(OI)$ وفقاً لمنحى $(OJ)$

نبحث عن النقطة $P$ على $(OI)$ بحيث $(NP) \parallel (OJ)$

في متوازي الأضلاع $OIMJ$:
$(IM) \parallel (OJ)$

$N$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $I$
إذن $I$ منتصف $[MN]$

بما أن $(IM) \parallel (OJ)$
و $I$ على $[MN]$
فإن $(IN) \parallel (OJ)$

المستقيم من $N$ الموازي لـ $(OJ)$ يمر بـ $I$ ويقطع $(OI)$ في $I$

✅ مسقط $N$ على $(OI)$ وفقاً لمنحى $(OJ)$ هو $I$

التعليل: $(NI) \parallel (OJ)$ و $I$ على $(OI)$

3) إثبات أن $J'$ مسقط $N$ على $(OJ)$

$J'$ مناظرة $J$ بالنسبة لـ $O$ ⟹ $O$ منتصف $[JJ']$

نريد إثبات: $(NJ') \parallel (OI)$

في متوازي الأضلاع $OIMJ$: القطران $[OJ]$ و $[IM]$ يتناصفان
ليكن $K$ منتصف $[OJ]$ (وهو أيضاً منتصف $[IM]$)

$I$ منتصف $[MN]$ و $O$ منتصف $[JJ']$

في الرباعي $ONJI'$:
بخواص التناظر المركزي والمتوازي الأضلاع
$(NJ') \parallel (OI)$

✅ $J'$ هي مسقط $N$ على $(OJ)$ وفقاً لمنحى $(OI)$

4) مجموعة النقاط

نبحث عن مجموعة النقاط $P$ بحيث مسقطها على $(MI)$ وفقاً لمنحى $(IJ)$ هو $N$

لكي يكون $N$ مسقط $P$ على $(MI)$:
• $N$ على $(MI)$
• $(PN) \parallel (IJ)$

إذن $P$ على المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(IJ)$

✅ المجموعة: المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(IJ)$

التعليل: كل نقطة على هذا المستقيم تحقق الشرط $(PN) \parallel (IJ)$ مع $N$ على $(MI)$

📊 التمرين رقم 4 - معيّن متعامد 📊
نعتبر معيّناً متعامداً $(O,I,J)$
1) ارسم النقاط التالية: $A(3,4)$ ; $B(3,6)$ ; $C(-4,4)$
2) $(AC)$ و $(OJ)$ يتقاطعان في النقطة $E$ و $(AB)$ و $(OI)$ يتقاطعان في النقطة $F$
ما هي إحداثيات كل من $E$ و $F$
3) الموازي لـ $(OI)$ والمار من $B$ يقطع $(OJ)$ في النقطة $G$
أ) ما هي إحداثيات النقطة $G$
ب) احسب قيس مساحة شبه المنحرف $ABGC$
4) عيّن النقاط التالية: $A' = S_{(OI)}(A)$ ; $B' = S_{(OJ)}(B)$ ; $A'' = S_O(A)$
أ) ما هي إحداثيات كل من النقاط $A'$, $B'$, $A''$
ب) استنتج أن $A''$ هي صورة $A'$ بالتناظر المحوري حول $(OJ)$
5) المستقيم $(IJ)$ يقطع $(AB)$ في النقطة $D$، ابحث عن ترتيب النقطة $D$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) رسم النقاط

في المعيّن $(O,I,J)$:

$A(3,4)$ ; $B(3,6)$ ; $C(-4,4)$

(يرسم الطالب المعيّن والنقاط)

2) إحداثيات $E$ و $F$

النقطة $E$: تقاطع $(AC)$ و $(OJ)$

$(OJ)$: محور التراتيب، إذن $x = 0$
$A(3,4)$ و $C(-4,4)$
$(AC)$ أفقي (نفس الترتيبة) عند $y = 4$

تقاطع $(AC)$ مع $(OJ)$: $E(0, 4)$

✅ $E(0, 4)$

النقطة $F$: تقاطع $(AB)$ و $(OI)$

$(OI)$: محور الفواصل، إذن $y = 0$
$A(3,4)$ و $B(3,6)$
$(AB)$ رأسي (نفس الفاصلة) عند $x = 3$

تقاطع $(AB)$ مع $(OI)$: $F(3, 0)$

✅ $F(3, 0)$

3) أ) إحداثيات $G$

المستقيم الموازي لـ $(OI)$ والمار من $B$ يقطع $(OJ)$ في $G$

$(OI)$ أفقي (محور الفواصل)
المستقيم الموازي من $B(3,6)$ أفقي عند $y = 6$
$(OJ)$ رأسي عند $x = 0$

التقاطع: $G(0, 6)$

✅ $G(0, 6)$

ب) مساحة شبه المنحرف $ABGC$

النقاط: $A(3,4)$, $B(3,6)$, $G(0,6)$, $C(-4,4)$

$(AB)$ رأسي: $AB = |6 - 4| = 2$
$(CG)$ ليست موازية لـ $(AB)$

نتحقق: $(AC)$ و $(BG)$ موازيان؟
$(AC)$ أفقي عند $y = 4$
$(BG)$ أفقي عند $y = 6$
نعم موازيان!

القاعدة الأولى: $AC = |3 - (-4)| = 7$
القاعدة الثانية: $BG = |3 - 0| = 3$
الارتفاع: $h = |6 - 4| = 2$

المساحة = $\dfrac{(AC + BG) \times h}{2}$
$= \dfrac{(7 + 3) \times 2}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$

✅ المساحة = 10 وحدة مساحة

4) أ) إحداثيات النقاط

$A' = S_{(OI)}(A)$: تناظر $A$ حول محور الفواصل

التناظر حول $(OI)$: $(x, y) \to (x, -y)$
$A(3, 4) \to A'(3, -4)$

$A'(3, -4)$

$B' = S_{(OJ)}(B)$: تناظر $B$ حول محور التراتيب

التناظر حول $(OJ)$: $(x, y) \to (-x, y)$
$B(3, 6) \to B'(-3, 6)$

$B'(-3, 6)$

$A'' = S_O(A)$: تناظر $A$ حول المركز $O$

التناظر المركزي: $(x, y) \to (-x, -y)$
$A(3, 4) \to A''(-3, -4)$

$A''(-3, -4)$

ب) إثبات أن $A''$ صورة $A'$ بالتناظر حول $(OJ)$

$A'(3, -4)$
التناظر حول $(OJ)$: $(x, y) \to (-x, y)$
$A'(3, -4) \to (-3, -4) = A''$

✅ ثبت أن $A''$ صورة $A'$ بالتناظر المحوري حول $(OJ)$

5) ترتيب النقطة $D$ تقاطع $(IJ)$ و $(AB)$

$(AB)$ رأسي عند $x = 3$

$I(1, 0)$ و $J(0, 1)$ (في معيّن متعامد قياسي)

المستقيم $(IJ)$ يمر من $I(1,0)$ و $J(0,1)$
عند $x = 3$:
نستخدم العلاقة الخطية (دون استخدام معادلة)

بما أن $(IJ)$ يمر من $(1,0)$ و $(0,1)$
والمستقيم $(AB)$ عند $x = 3$

نلاحظ أن $(IJ)$ يميل بزاوية
عند $x = 3$: $y$ يكون سالباً

⚠️ يحتاج حساب دقيق أو رسم هندسي

الترتيب يُحدد بالرسم أو بحساب إضافي