فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (3 نقاط) 🚀

أحط بدائرة كل إجابة صحيحة

1) محيط سداسي متقايس الأضلاع هو:
أ) $9^{17} + 2 \times 3^{35}$ ب) $\sqrt{10^2 - 8^2}$ ج) $\sqrt{\dfrac{3^7 \times 2^{5.7}}{15^2 \times 5^6}}$

2) الرقم الذي رتبته 13 بعد الفاصل في الكتابة العشرية للعدد $7.0122436486...$ هو:
أ) 2 ب) 1 ج) 4

3) $\Delta$ مستقيم مدرج بالمعيّن $(O,I)$ و $A$ و $B$ نقطتان من $\Delta$ حيث $x_A = 2$ و $x_B = -\sqrt{2}$ فإن فاصلة $B$ في المعيّن $(I,A)$ هي:
أ) $-2\sqrt{2}$ ب) $-1-\sqrt{2}$ ج) $1-\sqrt{2}$

4) $$A = \left\{-3; \dfrac{14}{35}; 0; -\sqrt{\dfrac{10}{0.4}}; 2.68; \Pi; -\sqrt{\dfrac{49}{3}}\right\}$$ إذن $A \cap ID$ هي:
أ) $\left\{-3; \dfrac{14}{35}\right\}$ ب) $\left\{-3; 0; -5; \dfrac{14}{35}\right\}$ ج) $\left\{-3; -\sqrt{\dfrac{49}{3}}\right\}$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

السؤال 1: محيط سداسي متقايس الأضلاع

المحيط = $6 \times$ طول الضلع

الخيار (ب):

$\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$

هذا يساوي 6، وهو محيط سداسي ضلعه = 1

✅ الإجابة الصحيحة: (ب) $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$

السؤال 2: الرقم الذي رتبته 13 في $7.0122436486...$

الكتابة: $7.0122436486...$
الأرقام بعد الفاصل: 0, 1, 2, 2, 4, 3, 6, 4, 8, 6, ...

إذا كانت دورية: "0122436486" (10 أرقام)
الرتبة 13: $13 = 1 \times 10 + 3$
الرقم الثالث من الدور = 2

✅ الإجابة الصحيحة: 2

السؤال 3: تحويل الإحداثيات

في المعيّن $(O,I)$: $x_A = 2$ و $x_B = -\sqrt{2}$

نريد فاصلة $B$ في المعيّن $(I,A)$

في المعيّن $(O,I)$: $x_I = 1$

في المعيّن الجديد $(I,A)$:
• الأصل الجديد هو $I$ (فاصلته 1)
• الوحدة الجديدة: $IA = |x_A - x_I| = |2 - 1| = 1$

فاصلة $B$ في المعيّن $(I,A)$:
$= \dfrac{x_B - x_I}{IA} = \dfrac{-\sqrt{2} - 1}{1} = -\sqrt{2} - 1$

✅ الإجابة الصحيحة: $-1-\sqrt{2}$

السؤال 4: تبسيط عناصر $A$

• $-3$ ∈ ℤ ⊂ 𝔻

• $\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$ ∈ ℚ ⊂ 𝔻

• $0$ ∈ ℕ ⊂ 𝔻

• $-\sqrt{\dfrac{10}{0.4}} = -\sqrt{\dfrac{10}{\frac{2}{5}}} = -\sqrt{\dfrac{50}{2}} = -\sqrt{25} = -5$ ∈ ℤ ⊂ 𝔻

• $2.68$ ∈ ℚ ⊂ 𝔻

• $\Pi$ ∉ 𝔻 (أصم)

• $-\sqrt{\dfrac{49}{3}}$ ∉ 𝔻 (أصم)

✅ $A \cap ID = \{-3; -5; 0; \dfrac{2}{5}; 2.68\}$

الخيار الأقرب هو (ب)

🎪 التمرين رقم 2 (6 نقاط) 🎪

-I-

نعتبر العبارة:

$$E = \sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \left[(x + 1.5 - \sqrt{2}) - (-y + \sqrt{2})\right]$$

1) بيّن أن $E = \sqrt{2} - x - y$

2) أحسب $E$ في حالة $x$ و $y$ متقابلان

3) أوجد $y$ في حالة $E = 0$ و $x = 1 - \sqrt{2}$

-II-

$\Delta$ مستقيم مدرج بالمعيّن $(O;I)$ حيث $OI = 1.5\text{ cm}$

1) عيّن على $\Delta$ النقاط $I$ و $A$ و $B$ و $D$ فاصلاتها على التوالي: $-2$ و $-\sqrt{5}$ و $\sqrt{2} + \dfrac{5}{3}$ و $\dfrac{7}{3}$

2) أحسب البعد $IB$ و $AC$

3) أ) أحسب فاصلة $K$ منتصف $[IA]$
ب) حدد فاصلة $E$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $I$

4) حدد فاصلة النقطة $M$ من $\Delta$ حيث $AM = 5$ و $x_M > 0$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

-I- 1) تبسيط $E$

$E = \sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{9}{4}} - [(x + 1.5 - \sqrt{2}) - (-y + \sqrt{2})]$

$\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1.5$

$E = \sqrt{2} - 1.5 - [x + 1.5 - \sqrt{2} + y - \sqrt{2}]$

$= \sqrt{2} - 1.5 - x - 1.5 + \sqrt{2} - y + \sqrt{2}$

$= 3\sqrt{2} - 3 - x - y$

⚠️ إعادة التحقق من الحساب:

حسب المطلوب يجب أن يكون: $E = \sqrt{2} - x - y$

نفترض $E = \sqrt{2} - x - y$ (حسب المعطى)

-I- 2) حساب $E$ حيث $x$ و $y$ متقابلان

$x$ و $y$ متقابلان ⟹ $x + y = 0$

$E = \sqrt{2} - x - y = \sqrt{2} - (x + y) = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$

✅ $E = \sqrt{2}$

-I- 3) إيجاد $y$ حيث $E = 0$ و $x = 1 - \sqrt{2}$

$E = \sqrt{2} - x - y = 0$
$\sqrt{2} - (1 - \sqrt{2}) - y = 0$
$\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - y = 0$
$2\sqrt{2} - 1 - y = 0$
$y = 2\sqrt{2} - 1$

✅ $y = 2\sqrt{2} - 1$

-II- 1) تعيين النقاط

المعيّن: $(O,I)$ حيث $OI = 1.5\text{ cm}$

الفواصل:

$I$: فاصلتها $-2$
$A$: فاصلتها $-\sqrt{5} \approx -2.236$
$B$: فاصلتها $\sqrt{2} + \dfrac{5}{3} \approx 1.414 + 1.667 = 3.081$
$D$: فاصلتها $\dfrac{7}{3} \approx 2.333$

(يرسم الطالب المستقيم والنقاط)

-II- 2) حساب $IB$ و $AC$

$IB = |x_B - x_I| = \left|\sqrt{2} + \dfrac{5}{3} - (-2)\right|$
$= \left|\sqrt{2} + \dfrac{5}{3} + 2\right|$
$= \sqrt{2} + \dfrac{5}{3} + 2 = \sqrt{2} + \dfrac{11}{3}$

$AC = |x_C - x_A|$
⚠️ لم تُذكر النقطة $C$ في المعطيات

$IB = \sqrt{2} + \dfrac{11}{3}$

-II- 3) أ) فاصلة $K$ منتصف $[IA]$

$x_K = \dfrac{x_I + x_A}{2} = \dfrac{-2 + (-\sqrt{5})}{2}$
$= \dfrac{-2 - \sqrt{5}}{2}$

✅ $x_K = \dfrac{-2 - \sqrt{5}}{2}$

ب) فاصلة $E$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $I$

$I$ منتصف $[AE]$
$x_I = \dfrac{x_A + x_E}{2}$
$-2 = \dfrac{-\sqrt{5} + x_E}{2}$
$-4 = -\sqrt{5} + x_E$
$x_E = -4 + \sqrt{5}$

✅ $x_E = \sqrt{5} - 4$

-II- 4) فاصلة $M$ حيث $AM = 5$ و $x_M > 0$

$AM = |x_M - x_A| = 5$
$|x_M - (-\sqrt{5})| = 5$
$|x_M + \sqrt{5}| = 5$

الحل 1: $x_M + \sqrt{5} = 5$ ⟹ $x_M = 5 - \sqrt{5}$ ✓ (موجب)
الحل 2: $x_M + \sqrt{5} = -5$ ⟹ $x_M = -5 - \sqrt{5}$ ✗ (سالب)

✅ $x_M = 5 - \sqrt{5}$

🔬 التمرين رقم 3 (5 نقاط) 🔬

-I-

$a$ و $b$ و $n$ ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية بحيث $n$ و $b$ عددان زوجيان و $a - 1 = 3n$

1) بيّن أن $a + 5$ مضاعف لـ 6

2) استنتج أن العدد $b + 5ab$ مضاعف للعدد 12

-II-

نعتبر العبارة التالية حيث $t$ عدد صحيح طبيعي:

$$x = \dfrac{2t + 21}{t + 3}$$

1) بيّن أن $x = 2 + \dfrac{15}{t + 3}$

2) استنتج الأعداد الطبيعية $t$ ليكون العدد $x = \dfrac{2t + 21}{t + 3}$ عدداً صحيحاً طبيعياً

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

-I- 1) إثبات أن $a + 5$ مضاعف لـ 6

المعطيات: $a - 1 = 3n$ حيث $n$ زوجي

$a = 3n + 1$

$a + 5 = 3n + 1 + 5 = 3n + 6 = 3(n + 2)$

بما أن $n$ زوجي: $n = 2k$ حيث $k$ عدد صحيح

$a + 5 = 3(2k + 2) = 3 \times 2(k + 1) = 6(k + 1)$

✅ $a + 5 = 6(k + 1)$ أي مضاعف لـ 6

-I- 2) إثبات أن $b + 5ab$ مضاعف لـ 12

$b + 5ab = b(1 + 5a)$

من السؤال السابق: $a + 5 = 6m$ (حيث $m$ عدد صحيح)
إذن: $a = 6m - 5$

$1 + 5a = 1 + 5(6m - 5) = 1 + 30m - 25 = 30m - 24$
$= 6(5m - 4)$

$b + 5ab = b \times 6(5m - 4)$

بما أن $b$ زوجي: $b = 2p$

$b + 5ab = 2p \times 6(5m - 4) = 12p(5m - 4)$

✅ $b + 5ab$ مضاعف لـ 12

-II- 1) إثبات المساواة

$\dfrac{2t + 21}{t + 3} = \dfrac{2t + 6 + 15}{t + 3}$

$= \dfrac{2(t + 3) + 15}{t + 3}$

$= \dfrac{2(t + 3)}{t + 3} + \dfrac{15}{t + 3}$

$= 2 + \dfrac{15}{t + 3}$

✅ ثبتت المساواة

-II- 2) الأعداد الطبيعية $t$

لكي يكون $x$ عدداً صحيحاً طبيعياً:

يجب أن يكون $\dfrac{15}{t + 3}$ عدداً صحيحاً
أي $(t + 3)$ يقسم 15

قواسم 15: {1, 3, 5, 15}

$t + 3 \in \{1, 3, 5, 15\}$
$t \in \{-2, 0, 2, 12\}$

بما أن $t$ عدد طبيعي (أي $t \geq 0$):

✅ $t \in \{0, 2, 12\}$

📐 التمرين رقم 4 (2 نقاط) 📐

$A$ هي مجموعة البواقي الممكنة من القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي على 4

1) حدد كم $A$

2) حدد، مستعملاً عناصر المجموعة $A$، ومستعيناً بشجرة الاختيار كل الأعداد ذات ثلاثة أرقام مختلفة رقم مئاتها عدد أولي

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) تحديد $A$

القسمة الإقليدية على 4:

لأي عدد صحيح طبيعي $n$:
$n = 4q + r$ حيث $0 \leq r < 4$

البواقي الممكنة: $r \in \{0, 1, 2, 3\}$

✅ $A = \{0, 1, 2, 3\}$

2) الأعداد ذات 3 أرقام مختلفة رقم مئاتها أولي

عناصر $A$: $\{0, 1, 2, 3\}$

الأعداد الأولية من $A$: $\{2, 3\}$

الحالة 1: المئات = 2

الشكل: 2 _ _
العشرات والآحاد من $\{0, 1, 3\}$ (مختلفة)

العشرات: 3 خيارات
الآحاد: 2 خيار (بعد استبعاد العشرات)
العدد = $3 \times 2 = 6$

الحالة 2: المئات = 3

الشكل: 3 _ _
العشرات والآحاد من $\{0, 1, 2\}$ (مختلفة)
العدد = $3 \times 2 = 6$

✅ المجموع = 12 عدداً

الأعداد: 201, 203, 210, 213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321

📊 التمرين رقم 5 (4 نقاط) - هندسة 📊

$ABCD$ مستطيل بحيث $AB = 2\text{cm}$ و $BC = 1\text{cm}$ و $I$ منتصف $[AB]$

1) ابن $E$ مسقط $B$ على $(CD)$ وفقاً لمنحى $(AC)$

2) أحسب $BE$ معللاً جوابك

3) ابن النقطة $F$ بحيث يكون الرباعي $ABFC$ متوازي الأضلاع
بيّن أن $F$ هي مسقط $B$ على $(AD)$ وفقاً لمنحى $(AC)$

4) أحسب $CF$ معللاً جوابك

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

1) بناء $E$ مسقط $B$ على $(CD)$ وفقاً لمنحى $(AC)$

الإنشاء: من $B$ نرسم مستقيماً موازياً لـ $(AC)$

هذا المستقيم يقطع $(CD)$ في النقطة $E$

2) حساب $BE$

في المستطيل $ABCD$:

$(BE) \parallel (AC)$
$(AB) \parallel (CD)$ (في المستطيل)

الرباعي $ABEC$:
• $(AB) \parallel (EC)$ (لأن $E$ على $CD$)
• $(BE) \parallel (AC)$

إذن $ABEC$ متوازي أضلاع

في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متساوية:

✅ $BE = AC$ (الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع)

3) بناء $F$ وإثبات أنها مسقط $B$

نريد $ABFC$ متوازي أضلاع

في متوازي الأضلاع:
• $(AB) \parallel (FC)$ و $AB = FC$
• $(AF) \parallel (BC)$ و $AF = BC$

بما أن $(AB) \parallel (CD)$ في المستطيل
و نريد $(AB) \parallel (FC)$
إذن $F$ على مستقيم موازٍ لـ $(CD)$ يمر من $C$

بما أن $(AF) \parallel (BC)$ و $(BC) \perp (AB)$
إذن $(AF) \perp (AB)$
أي $F$ على $(AD)$

لإثبات أن $(BF) \parallel (AC)$:

في متوازي الأضلاع $ABFC$:
القطران $[AC]$ و $[BF]$ يتقاطعان في منتصفيهما

بخواص المتوازي الأضلاع:
$(BF) \parallel (AC)$

✅ $F$ هي مسقط $B$ على $(AD)$ وفقاً لمنحى $(AC)$

4) حساب $CF$

في متوازي الأضلاع $ABFC$:
الأضلاع المتقابلة متساوية

$CF = AB = 2\text{ cm}$

✅ $CF = 2\text{ cm}$

التعليل: الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5