فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (3 نقاط) 🚀

🎯 اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال

1) القيمة التقريبية بثلاثة أرقام بعد الفاصل في الكتابة العشرية 4.72 تساوي:

أ) قيمتها التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل

ب) قيمتها التقريبية بالنقصان بثلاثة أرقام بعد الفاصل

ج) 4.720

✅ الإجابة الصحيحة هي: ج) 4.720

الشرح:

العدد 4.72 هو نفسه 4.720 عند كتابته بثلاثة أرقام بعد الفاصل.

إضافة الصفر في النهاية لا يغير قيمة العدد العشري.

2) نعتبر العدد x = ab2a0 حيث a و b رقمان, يكون العدد x قابلا للقسمة على 8 و 12 و 15 إذا كان:

أ) a = b = 4

ب) a = 6 و b = 1

ج) a = 4 و b = 2

✅ الإجابة الصحيحة هي: أ) a = b = 4

الشرح:

العدد x = 44240

• قابل للقسمة على 8: آخر ثلاثة أرقام (240) قابلة للقسمة على 8 ✓

• قابل للقسمة على 12: قابل للقسمة على 3 و 4 ✓

• قابل للقسمة على 15: قابل للقسمة على 3 و 5 (ينتهي بـ 0) ✓

3) في المعين المتعامد (O;I;J) لدينا A(2;1) و B(-1;1) و C(-1;3)
إذن إحداثيات النقطة I في المعين (B;C;A) هي:

أ) I(1;0)

ب) I(-1/2; 2/3)

ج) I(2/3; -1/2)

✅ الإجابة الصحيحة هي: أ) I(1;0)

الشرح:

نحسب إحداثيات مركز ثقل المثلث ABC:

x_I = (x_A + x_B + x_C)/3 = (2 + (-1) + (-1))/3 = 0/3 = 0
y_I = (y_A + y_B + y_C)/3 = (1 + 1 + 3)/3 = 5/3

⚠️ ملاحظة: هناك خطأ في السؤال أو الخيارات المعطاة. الإحداثيات الصحيحة هي I(0; 5/3)

🎪 التمرين رقم 2 🎪

نعتبر المجموعتين التاليتين:

A = {1.5; 0; 10/11; 1.29; 94096/8; √0.9}

B = {0.90; √(27/12); π; 1/3; √0; 3/40}

1) أكمل بـ ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄

تحليل المجموعة A:

• 1.5 ∈ ℚ (عدد كسري)

• 0 ∈ ℚ

• 10/11 ∈ ℚ

• 1.29 ∈ ℚ

• 94096/8 = 11762 ∈ ℕ

• √0.9 ∉ ℚ (عدد غير كسري)

تحليل المجموعة B:

• 0.90 = 0.9 ∈ ℚ

• √(27/12) = √(9/4) = 3/2 ∈ ℚ

• π ∉ ℚ

• 1/3 ∈ ℚ

• √0 = 0 ∈ ℚ

• 3/40 ∈ ℚ

📌 A ⊄ ℚ (لأن √0.9 ∉ ℚ)

📌 B ⊄ ℚ (لأن π ∉ ℚ)

📌 1.3 ∉ B

📌 0.3 ∉ B

2) حدّد المجموعات التالية: ID ∩ B و A ∩ ID و ℤ ∩ A و I ∩ B حيث I مجموعة الأعداد الصماء

حيث ID = ℚ (الأعداد الكسرية)

• ID ∩ B = {0.90; 3/2; 1/3; 0; 3/40}

• A ∩ ID = {1.5; 0; 10/11; 1.29; 11762}

• ℤ ∩ A = {0; 11762}

• I ∩ B = {π} (الأعداد الصماء في B)

3) حدد الرقم الذي رتبته 5 بعد الفاصل للعدد 10/11

الحل:

10 ÷ 11 = 0.909090...
الكتابة: 0.90909...
الرتبة 1: 9
الرتبة 2: 0
الرتبة 3: 9
الرتبة 4: 0
الرتبة 5: 9

✅ الرقم الذي رتبته 5 بعد الفاصل هو: 9

🔬 التمرين رقم 3 🔬

1) ليكن العدد A=35a3b حيث a و b رقمان
أوجد a و b ليكون العدد A قابلا للقسمة على 12 (قدم جميع الحلول الممكنة)

الحل:

العدد قابل للقسمة على 12 ⇔ قابل للقسمة على 3 و 4

شرط القسمة على 4:

آخر رقمين (3b) يجب أن يكونا قابلين للقسمة على 4

• إذا b = 2 ⟹ 32 ÷ 4 = 8 ✓

• إذا b = 6 ⟹ 36 ÷ 4 = 9 ✓

شرط القسمة على 3:

مجموع الأرقام: 3+5+a+3+b = 11+a+b يجب أن يكون قابلا للقسمة على 3

الحلول:

• إذا b = 2: 11+a+2 = 13+a ⟹ a ∈ {2, 5, 8}

• إذا b = 6: 11+a+6 = 17+a ⟹ a ∈ {1, 4, 7}

✅ الحلول الممكنة: (a=2,b=2), (a=5,b=2), (a=8,b=2), (a=1,b=6), (a=4,b=6), (a=7,b=6)

2) بيّن أن العدد 27⁴⁰ + 7×3¹²¹ يقبل القسمة على 6

الحل:

27⁴⁰ = (3³)⁴⁰ = 3¹²⁰

العدد = 3¹²⁰ + 7×3¹²¹
= 3¹²⁰ + 7×3×3¹²⁰
= 3¹²⁰(1 + 21)
= 3¹²⁰ × 22
= 3¹²⁰ × 2 × 11

✅ العدد يحتوي على العاملين 2 و 3، إذن قابل للقسمة على 6

3) يقترح مطعم يوميا نوعين من المفتحات (E₁; E₂) وأربعة أكلات رئيسية (P₁; P₂; P₃; P₄) وثلاثة أنواع من الحلال (F₁; F₂; F₃)
يجب على كل زائر اختيار أكلة كاملة "أحد المفتحات ثم أكلة رئيسية ثم أحد الحلال"
باالعتماد على شجرة الاختيار أوجد عدد الأكلات الكاملة بهذا المطعم

الحل باستعمال قاعدة الضرب:

عدد الاختيارات = عدد المفتحات × عدد الأكلات الرئيسية × عدد الحلال
= 2 × 4 × 3
= 24

✅ عدد الأكلات الكاملة الممكنة = 24 أكلة

💡 يمكن التحقق برسم شجرة الاختيار حيث نجد 24 فرعا نهائيا

🗺️ التمرين رقم 4 🗺️

ليكن ABCD مستطيلا مركزه O

1) ابن النقطة E إذا علمت أن ABEC رباعي متوازي الأضلاع

الحل:

ABEC متوازي أضلاع ⇔ الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

• (AB) // (EC) و AB = EC

• (AE) // (BC) و AE = BC

✅ لبناء E: نرسم من C مستقيما موازيا لـ (AB) وطوله يساوي AB

أو نرسم من B مستقيما موازيا لـ (AC)

2) حدّد معللا جوابك مسقط النقطة B على (CD) وفقا لمنحى (AC)

الحل:

المسقط هو نقطة تقاطع (CD) مع المستقيم الموازي لـ (AC) المار من B

في المستطيل ABCD: (AC) يقطع (BD) في المركز O

المستقيم الموازي لـ (AC) المار من B هو المستقيم الذي ميله يساوي ميل (AC)

✅ المسقط هو النقطة D

التعليل: لأن (BD) موازي لـ (AC) في اتجاه القطر

3) لتكن النقطة I المسقط العمودي للنقطة O على (CD)
حدّد معللا جوابك مسقط النقطة O على (EC) وفقا لمنحى (AD)

الحل:

نبحث عن نقطة على (EC) بحيث يكون المستقيم المار منها وموازي لـ (AD) يمر من O

بما أن ABEC متوازي أضلاع:

• (AD) // (BC)

• المستقيم الموازي لـ (AD) المار من O يقطع (EC)

✅ المسقط يكون على منتصف [EC] تقريبا حسب موضع E

🎲 التمرين رقم 5 🎲

1) باستعمال الأرقام 2 و 3 و 7 و 4 و 0 كم يوجد من عدد ذي 3 أرقام يكون قابلا للقسمة على 12؟

الحل:

العدد قابل للقسمة على 12 ⇔ قابل للقسمة على 3 و 4

شرط القسمة على 4: آخر رقمين قابلين للقسمة على 4

من الأرقام المعطاة: 20, 24, 32, 40, 72

شرط القسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3

مجموع كل الأرقام: 2+3+7+4+0 = 16

الأعداد الممكنة:

• ××20: 320, 420, 720

• ××24: 024, 324, 724

• ××32: 032, 432, 732

• ××40: 240, 340, 740

• ××72: 072, 372, 472

نختبر كل عدد لنرى إن كان مجموع أرقامه قابلا للقسمة على 3

✅ الأعداد الصحيحة: 240, 324, 372, 420, 732 ⟹ المجموع = 5 أعداد

2) باستعمال الأرقام 0 و 4 و 5 و 6 و 7 كم يوجد من عدد ذي 3 أرقام يكون قابلا للقسمة على 15؟

الحل:

العدد قابل للقسمة على 15 ⇔ قابل للقسمة على 3 و 5

شرط القسمة على 5: ينتهي بـ 0 أو 5

شرط القسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3

مجموع كل الأرقام: 0+4+5+6+7 = 22

الحالة 1: ينتهي بـ 0

نختار رقمين من {4,5,6,7} مجموعهما مع 0 قابل للقسمة على 3

• 4+5+0=9 ✓ ⟹ 450, 540

• 4+6+0=10 ✗

• 4+7+0=11 ✗

• 5+6+0=11 ✗

• 5+7+0=12 ✓ ⟹ 570, 750

• 6+7+0=13 ✗

الحالة 2: ينتهي بـ 5

• 0+4+5=9 ✓ ⟹ 405, 045

• 0+6+5=11 ✗

• 0+7+5=12 ✓ ⟹ 705, 075

• 4+6+5=15 ✓ ⟹ 465, 645

• 4+7+5=16 ✗

• 6+7+5=18 ✓ ⟹ 675, 765

✅ المجموع = 4 + 10 = 14 عددا

3) باستعمال الأرقام 0 و 1 و 3 و 6 و 7 كم يوجد من عدد ذي 3 أرقام يكون رقم عشراته مضاعف لـ رقم آحاده و رقم مآته هو الفارق بين رقم عشراته و رقم آحاده إن كان رقم عشراته أكبر أو العكس؟

الحل:

لنرمز للعدد بـ abc حيث:

• c = رقم الآحاد

• b = رقم العشرات (مضاعف لـ c)

• a = رقم المئات = |b - c|

التحليل:

• إذا c = 0: b = 0 ⟹ a = 0 (مستحيل، العدد يصبح 000)

• إذا c = 1: b ∈ {1,3,6,7} (مضاعفات 1)

- b=1: a=0 ⟹ 011 ✗

- b=3: a=|3-1|=2 ✗ (2 غير موجود)

- b=6: a=|6-1|=5 ✗

- b=7: a=|7-1|=6 ⟹ 671 ✓

• إذا c = 3: b ∈ {3,6} (مضاعفات 3)

- b=3: a=0 ⟹ 033 ✗

- b=6: a=|6-3|=3 ⟹ 363 ✓

• إذا c = 6: b = 6

- b=6: a=0 ⟹ 066 ✗

• إذا c = 7: b = 7

- b=7: a=0 ⟹ 077 ✗

✅ الأعداد الممكنة: 671, 363 ⟹ المجموع = 2

🧮 التمرين رقم 6 🧮

نعتبر العبارة التالية:
A = (√3 - 1/3) - [√(64/9) - (4 - π) + x] - (√3 - √2)

1) اختصر العبارة A

الحل:

A = (√3 - 1/3) - [√(64/9) - (4 - π) + x] - (√3 - √2)

√(64/9) = 8/3

A = √3 - 1/3 - [8/3 - 4 + π + x] - √3 + √2
= √3 - 1/3 - 8/3 + 4 - π - x - √3 + √2
= -1/3 - 8/3 + 4 - π - x + √2
= -9/3 + 4 - π - x + √2
= -3 + 4 - π - x + √2
= 1 - π - x + √2

✅ A = 1 + √2 - π - x

2) أحسب A إذا كان x و x-2 متقابلان

الحل:

إذا كان x و (x-2) متقابلان:

x + (x - 2) = 0
2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1

نعوض في A:

A = 1 + √2 - π - 1
= √2 - π

✅ A = √2 - π ≈ 1.414 - 3.142 = -1.728

3) لتكن العبارة التالية B = y - 2/3 + π
أحسب y-x إذا علمت أن A و B متقابلان

الحل:

إذا كان A و B متقابلان:

A + B = 0
(1 + √2 - π - x) + (y - 2/3 + π) = 0
1 + √2 - π - x + y - 2/3 + π = 0
1 - 2/3 + √2 + y - x = 0
3/3 - 2/3 + √2 + y - x = 0
1/3 + √2 + y - x = 0
y - x = -1/3 - √2

✅ y - x = -1/3 - √2 ≈ -0.333 - 1.414 = -1.747

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي 🎯