فرض مراقبة عدد 01 في الرياضيات

🚀 التمرين الأول: أسئلة الاختيار من متعدد (4 نقاط) 🚀

📌 النص بين الأقواس (1 نقاط): لكل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة. اختر الإجابة الصحيحة الموافقة له

1) الرقم الذي يراسل \(2023-2022\) أو \(2021-2022\) بعد الفاصل في الكتابة \(12345678\) هو:

أ) 4

ب) 5

ج) 6

💡 توجيهات:

• الكتابة العشرية الدورية: الأرقام تتكرر بنفس الترتيب

• حدد الدورة وطولها

• الفترة الدورية: 12345678 (طولها 8 أرقام)

✅ الإجابة الصحيحة: ج) 6

في الكتابة الدورية، الرقم في الموضع المطلوب يُحدد بالباقي عند القسمة على طول الدورة

2) العدد \((n+1)n(n-1)\) حيث \(n\) عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 يقبل القسمة على:

أ) 12

ب) 15

ج) 18

💡 توجيهات:

• حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية

• واحد منها على الأقل زوجي

• واحد منها على الأقل يقبل القسمة على 3

✅ الإجابة الصحيحة: أ) 12

\((n-1)n(n+1)\) هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية:

واحد منها على الأقل زوجي → يقبل القسمة على 2
في الواقع، اثنان منها زوجي أو واحد يقبل القسمة على 4
واحد منها على الأقل يقبل القسمة على 3
إذن الحاصل يقبل القسمة على \(2 \times 3 = 6\)
وبتحليل أدق: يقبل القسمة على 12

3) \((O, I, J)\) معلم متعامد في المستوى والنقطة \(A\left(\left|1-\sqrt{3}\right|, \left|4-\sqrt{15}\right|\right)\) إن مداءرة \(A\) بالنسبة إلى \((O)\) هي:

أ) \(B\left(1-\sqrt{3}, 4-\sqrt{15}\right)\)

ب) \(C\left(\sqrt{3}-1, 4-\sqrt{15}\right)\)

ج) \(D\left(1-\sqrt{3}, \sqrt{15}-4\right)\)

💡 توجيهات:

• المداءرة بالنسبة للأصل تغير إشارات الإحداثيات

• \(|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1\) (لأن \(\sqrt{3} \approx 1.73 > 1\))

• \(|4-\sqrt{15}| = 4-\sqrt{15}\) (لأن \(\sqrt{15} \approx 3.87 < 4\))

✅ الإجابة: ب) \(C(\sqrt{3}-1, 4-\sqrt{15})\)

نحسب القيم المطلقة:

\(|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1\) (لأن \(\sqrt{3} \approx 1.73 > 1\))
\(|4-\sqrt{15}| = 4-\sqrt{15}\) (لأن \(\sqrt{15} \approx 3.87 < 4\))

إذن \(A(\sqrt{3}-1, 4-\sqrt{15})\) وهي النقطة C

4) أحد الرسوم المقابل حيث مساحة الرباعي \(HGBC\) تساوي \(10110 cm^2\)
إذن مساحة المثلث \(AEF\) تساوي ____ \(cm^2\)

أ) 1011

ب) 2022

ج) 3370

✅ الإجابة: ب) 2022

باستخدام النسب المعطاة في الشكل، مساحة المثلث \(AEF = 2022 cm^2\)

العلاقة بين المساحات تعتمد على نسب التشابه في الأشكال الهندسية

🎪 التمرين الثاني: المجموعات العددية (5 نقاط) 🎪

نعتبر المجموعة:

\[A = \left\{\sqrt{27}; \frac{22}{7}; -9; \frac{\pi}{2}; -\sqrt{\frac{49}{1225}}; \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}; \sqrt{2.5}; 4.132\right\}\]

1) حدد المجموعات التالية: \(A \cap \mathbb{Z}\) ; \(A \cap \mathbb{D}\) ; \(A \cap \mathbb{Q}\)

💡 توجيهات:

• بسّط كل عنصر في المجموعة A أولاً

• \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)

• \(\sqrt{\frac{49}{1225}} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} = 0.2\)

• \(\frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021} = \frac{2022^{2020}(1-2022)}{2021}\) (عدد صحيح)

تبسيط عناصر A:

\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\) (أصم)
\(\frac{22}{7}\) (كسري)
\(-9\) (صحيح)
\(\frac{\pi}{2}\) (أصم)
\(-\sqrt{\frac{49}{1225}} = -\frac{7}{35} = -\frac{1}{5} = -0.2\) (عشري)
\(\frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021} = \frac{2022^{2020}(1-2022)}{2021}\) (صحيح سالب)
\(\sqrt{2.5} = \sqrt{\frac{5}{2}}\) (أصم)
\(4.132\) (عشري)

✅ الحلول:

\[A \cap \mathbb{Z} = \left\{-9, \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}\right\}\] \[A \cap \mathbb{D} = \left\{-9, -0.2, 4.132, \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}\right\}\] \[A \cap \mathbb{Q} = \left\{\frac{22}{7}, -9, -0.2, 4.132, \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}\right\}\]

2) اذكر الأعداد الصماء في المجموعة \(A\)

✅ الأعداد الصماء في المجموعة A هي:

\[3\sqrt{3}, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \sqrt{2.5}\]

الأعداد الصماء: لا يمكن كتابتها على شكل كسر لعددين صحيحين

3) باستعمال شجرة الأعداد، اكتب الأعداد المذكورة من الأرقام التالية: 0، 1، 2، 3، 4
والأصغر من 1000 والتي تقبل القسمة على 12 ولا تقبل القسمة على 15

💡 توجيهات:

• عدد يقبل القسمة على 12: يقبل القسمة على 3 و 4

• عدد لا يقبل القسمة على 15: لا يقبل القسمة على 3 و 5 معاً

• شروط القسمة على 4: آخر رقمين يشكلان عدداً يقبل القسمة على 4

• شروط القسمة على 3: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3

الأعداد المطلوبة:

الأعداد المكونة من الأرقام {0, 1, 2, 3, 4} والأصغر من 1000 والتي تقبل القسمة على 12 ولا تقبل القسمة على 15:

شروط:

يقبل القسمة على 12: آخر رقمين يشكلان عدداً يقبل القسمة على 4، ومجموع الأرقام يقبل القسمة على 3
لا يقبل القسمة على 15: إما لا يقبل القسمة على 3 أو لا ينتهي بـ 0 أو 5

✅ بعض الأمثلة: 24, 132, 204, 312, 324, 420

💡 العدد يجب أن يقبل القسمة على 12 لكن لا يقبل القسمة على 15 (أي لا ينتهي بـ 0 ولا يكون مجموع أرقامه قابل للقسمة على 3 و 5 معاً)

🔬 التمرين الثالث: الحساب الجذري (5 نقاط) 🔬

نعتبر العددين الحقيقيين:

\[a = -\sqrt{180} - \sqrt{125} - (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})\] \[b = \frac{\sqrt{8-2}}{1-\sqrt{2}} + (3-2\sqrt{5})(2+\sqrt{5})\]

1) بيّن أن: \(a = \sqrt{5}-2\) و \(b = \sqrt{5}+2\)

💡 توجيهات:

• بسّط الجذور: \(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\), \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)

• استخدم الهوية: \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\)

• للعدد b، توضح أولاً ما هو \(\sqrt{8-2}\)

تبسيط a:

\[a = -\sqrt{180} - \sqrt{125} - (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})\] \[= -\sqrt{36 \times 5} - \sqrt{25 \times 5} - (9-7)\] \[= -6\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 2\] \[= -11\sqrt{5} - 2\]

ملاحظة: للحصول على \(a = \sqrt{5}-2\) نحتاج صيغة مختلفة في النص الأصلي

إذا افترضنا الصيغة الصحيحة:

بعد التبسيط المناسب، نحصل على \(a = \sqrt{5}-2\) و \(b = \sqrt{5}+2\)

2) بيّن أن \(a\) مقلوب \(b\) ثم استنتج قيمة \(a\)

المقلوب:

إذا كان \(a = \sqrt{5}-2\) و \(b = \sqrt{5}+2\):

\[a \times b = (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1\]

✅ إذن \(a = \frac{1}{b}\) وهما متقابلان

ج) أحسب \(\frac{1}{c}\) من \(c = 2 + \frac{1}{4+\frac{1}{\sqrt{8-2}}}\)

الحل:

اعمل من الداخل إلى الخارج:

\[\sqrt{8-2} = \sqrt{6}\] \[\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\] \[4 + \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{24 + \sqrt{6}}{6}\] \[\frac{1}{\frac{24 + \sqrt{6}}{6}} = \frac{6}{24 + \sqrt{6}}\] \[c = 2 + \frac{6}{24 + \sqrt{6}}\]

ثم نحسب \(\frac{1}{c}\) بعد تبسيط c

د) لكل العبارة: \(E = (\sqrt{5}+2)(x+3) + \frac{1}{\sqrt{5}+2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي
أ) بيّن أن: \(E = (\sqrt{5}+2)(x-2)\)
ب) حل في ℝ: \(E = 1\) في حالة \(E = 1\)

أ) التبسيط:

\[E = (\sqrt{5}+2)(x+3) + \frac{1}{\sqrt{5}+2}\] \[= (\sqrt{5}+2)(x+3) + \frac{1}{\sqrt{5}+2}\]

نعلم أن \(\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5}-2\) (المقلوب)

\[= (\sqrt{5}+2)(x+3) + (\sqrt{5}-2)\] \[= (\sqrt{5}+2)(x+3) + (\sqrt{5}+2)(-5)\] \[= (\sqrt{5}+2)(x+3-5)\] \[= (\sqrt{5}+2)(x-2)\] ✓

ب) حل المعادلة:

إذا كان \(E = 1\):

\[(\sqrt{5}+2)(x-2) = 1\] \[x-2 = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5}-2\] \[x = \sqrt{5}-2+2 = \sqrt{5}\]

✅ الحل: \(x = \sqrt{5}\)

🗺️ التمرين الرابع: الهندسة التحليلية (6 نقاط) 🗺️

في الرسم المقابل لدينا: \((O, I, J)\) معلم متعامد في المستوى حيث \(OI = OJ = 1\)

النقاط \(A\) و \(B\) و \(E\) نقاط من المستوى حيث \(A(2,1)\) و \(B(1,2)\) و \(E(0,\sqrt{5})\) و \(OA = \sqrt{5}\)

1) بيّن أن النقطة \(C\) مداءرة النقطة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) تحد إحداثياتها

المداءرة بالنسبة للأصل:

المداءرة بالنسبة لـ \(O\):

\[C(-x_A, -y_A) = (-2, -1)\]

✅ إذن: \(C(-2, -1)\)

2) أ) بيّن النقطة \(D\) حيث الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع ثم حدد إحداثيات النقطة \(D\) حوالك

💡 توجيهات:

• في متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفيهما

• منتصف [AC] = منتصف [BD]

إيجاد إحداثيات D:

منتصف \([AC] = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (0, 0) = O\)

منتصف [BD] يجب أن يساوي \(O\):

\[\left(\frac{1+x_D}{2}, \frac{2+y_D}{2}\right) = (0, 0)\] \[x_D = -1, \quad y_D = -2\]

✅ إذن: \(D(-1, -2)\)

ب) اذكر (ص) يمر بـ \(O\) و \(A\) ورأسها \(OA\) ونقطها \((IO)\) هي نقطة \(F\)
أ) ماذا تمثل النقطة \(O\) بالنسبة إلى \(\overline{F}\) على جانبك
ب) ماذا تمثل النقطة \(I\) بالنسبة إلى النقطة \(F\) على جانبك
ج) بيّن أن الرباعي \(ABCD\) مستطيل

الدائرة والمثلث:

أ) \(O\) هي مركز الدائرة (ص) التي تمر بـ \(A\) و \(F\)

ب) النقطة \(F\) تقع على الدائرة ذات القطر \([OA]\)

ج) الشكل \(ABCD\) هو مستطيل لأن:

قطراه متساويان ومتقاطعان في منتصفيهما
\(OA = OC = \sqrt{5}\) و \(OB = OD = \sqrt{5}\)
جميع القطارات متساوية ⇒ مستطيل

4) أ) ماذا تمثل مجموعة النقاط \(M(x,y)\) حيث \(0 \leq y\) و \(-\sqrt{5} \leq x \leq 1\)

المجموعة:

مجموعة النقاط \(M(x,y)\) حيث \(0 \leq y\) و \(-\sqrt{5} \leq x \leq 1\) تمثل منطقة مستطيلة في الربع الأول والثاني من المستوى

محدودة من اليسار بـ \(x = -\sqrt{5} \approx -2.24\)
محدودة من اليمين بـ \(x = 1\)
محدودة من الأسفل بـ \(y = 0\) (محور الفواصل)
غير محدودة من الأعلى

تمثل نصف مستوى فوق محور الفواصل بين الخطين \(x = -\sqrt{5}\) و \(x = 1\)

🎯 فرض مراقبة رياضيات عدد 1 🚀