فرض مراقبة عدد 1 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين 1: أسئلة الاختيار من متعدد (5 نقاط) 🚀

📌 ضع علامة (×) أمام الإجابات الصحيحة

1) أ) العدد \(2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019}\) يقبل القسمة على:

💡 توجيهات:

• حاول إخراج العامل المشترك من التعبير

• \(2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019} = 2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7 \times 2.7^{2018}\)

• لاحظ أن \(2.7 = 27/10\)، حاول التحليل للعامل المشترك

📝 المنهجية:

\[= 2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7 \times 2.7^{2018}\] \[= 2.7 \times 2^{2018}(1 - 2 \times 2.7^{2018}/2^{2018})\] \[= 2.7 \times 2^{2018}(1 - 2 \times (27/10)^{2018}/2^{2018})\]

بالتبسيط، نحلل العوامل لإيجاد قواسم العدد

✅ الإجابة الصحيحة: 12

\[2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019}\] \[= 2.7 \times 2^{2018}(1 - 2 \times (2.7)^{2018}/2^{2018})\]

بالتبسيط، العدد يقبل القسمة على 12

1) ب) ليكن \((O; \vec{i}; \vec{j})\) معلماً في المستوى، النقاط \(A(1;-1)\) و \(B(1;2)\) و \(C(3;1)\).
إذا كان \(ABCD\) متوازي أضلاع فإن إحداثيات النقطة \(D\) هي:

\((-1;-2)\)

\((3;-1)\)

\((3;-2)\)

💡 توجيهات:

• في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفيهما

• استخدم: منتصف [AC] = منتصف [BD]

• منتصف قطعة: \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

✅ الإجابة: \((3;-2)\)

منتصف [AC]: \((2, 0)\)

منتصف [BD] يجب أن يساوي \((2, 0)\):

\[\frac{1+x_D}{2} = 2 \Rightarrow x_D = 3\] \[\frac{2+y_D}{2} = 0 \Rightarrow y_D = -2\]

إذن: \(D(3; -2)\) ✓

1) ج) العدد \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) هو عدد:

كسري

أصم

عشري

💡 توجيهات:

• حاول تبسيط الكسر \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

• \(\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

• هل يمكن كتابته على شكل كسر لعددين صحيحين؟

✅ الإجابة: أصم

\(\frac{\sqrt{5}}{5}\) لا يمكن كتابته على شكل كسر لعددين صحيحين، إذن هو عدد أصم

2) أ) بتقريب العدد \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) هو العدد \(\sqrt{2}\)

✅ خطأ

\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\) بينما \(\sqrt{2} \approx 1.414\)، إذن العبارة خاطئة

2) ب) الرقم الذي رتبته 2018 في الكتابة العشرية للعدد \(-15.012\overline{1475}\) هو 4

✅ صواب

الفترة الدورية هي 1475 (طولها 4)، الرقم في الموضع 2018 هو 4 ✓

🎪 التمرين 2: المجموعات العددية (3 نقاط) 🎪

نعتبر المجموعة التالية:

\[P = \left\{-\sqrt{5}; \sqrt{\frac{45}{20}}; \frac{13^{10}-13^{14}}{6}; 0; \pi; 7.0100100001...; 12.39\right\}\]

1) حدد المجموعات التالية: \[P \cap \mathbb{Q} \text{ ; } P \cap \mathbb{D} \text{ ; } P \cap \mathbb{Z}\]

💡 توجيهات:

• راجع تعريف كل مجموعة عددية

• ℤ: الأعداد الصحيحة النسبية

• 𝔻: الأعداد العشرية

• ℚ: الأعداد الكسرية (يمكن كتابتها على شكل a/b)

• بسّط كل عنصر في المجموعة P أولاً

تبسيط العناصر:

\(-\sqrt{5}\): عدد أصم
\(\sqrt{\frac{45}{20}} = \frac{3}{2} = 1.5\): عدد عشري
\(\frac{13^{10}-13^{14}}{6} = \frac{13^{10}(1-13^4)}{6}\): عدد صحيح سالب
\(0\): عدد صحيح
\(\pi\): عدد أصم
\(7.0100100001...\): عدد أصم
\(12.39\): عدد عشري

✅ الحلول:

\[P \cap \mathbb{Z} = \left\{0, \frac{13^{10}-13^{14}}{6}\right\}\] \[P \cap \mathbb{D} = \{1.5, 0, 12.39, \frac{13^{10}-13^{14}}{6}\}\] \[P \cap \mathbb{Q} = \{1.5, 0, 12.39, \frac{13^{10}-13^{14}}{6}\}\]

2) أوجد كل الإمكانيات الممكنة لتعيين \(x\) و \(y\) بحيث يكون العدد \(16 \times 50y\) قابلاً للقسمة على 12

💡 توجيهات:

• العدد يقبل القسمة على 12 إذا قبل القسمة على 3 و 4 معاً

• \(16 \times 50y = 800y\)

🔬 التمرين 3: الحساب العددي (5 نقاط) 🔬

نعتبر العددين:

\[B = \left(\sqrt{5}-1\right)\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}\] \[A = \pi - \left[-\left(1-\sqrt{5}\right)+(\pi-2)\right]-1\]

1) بيّن أن \(A = 2 - \sqrt{5}\) و \(B = \sqrt{3}+2\)

💡 توجيهات:

• بسّط التعبير A خطوة بخطوة

• احذر من علامات الأقواس السالبة

• للتعبير B، افتح الأقواس بعناية

تبسيط A:

\[A = \pi - [-(1-\sqrt{5})+(\pi-2)]-1\] \[= \pi - [-1+\sqrt{5}+\pi-2]-1\] \[= \pi - [\sqrt{5}+\pi-3]-1\] \[= \pi - \sqrt{5}-\pi+3-1\] \[= 2-\sqrt{5}\] ✓

ملاحظة: الصيغة الأصلية لـ B تحتوي على خطأ محتمل في النص الأصلي

2) بيّن أن \(A\) و \(B-4\) متقابلان

الحل:

إذا كان \(A = 2-\sqrt{5}\) و \(B-4 = \sqrt{3}+2-4 = \sqrt{3}-2\)

نحتاج للتحقق من أن \(A + (B-4) = 0\)

3) أ) بيّن أن \(A\) مقلوب \(B\)
ب) استنتج أن \(\frac{2}{B} = \frac{2}{A} = 8^{1/3}\)

الحل:

إذا كان \(A \times B = 1\)، فإن A و B متقابلان

نحسب حاصل الضرب للتحقق من العلاقة

🗺️ التمرين 4: الهندسة التحليلية (7 نقاط) 🗺️

ليكن \((O, I, J)\) معلماً في المستوى بحيث \(OI = OJ = 1cm\)

1) عيّن النقاط \(A(3;1)\) و \(B(-1;2)\) و \(C(3;-2)\) و \(D(-1;-4)\)

2) بيّن أن \((AC) \parallel (BD)\) ثم استنتج الطبيعة الرباعي \(ABDC\)

💡 توجيهات:

• مستقيمان متوازيان إذا كان لهما نفس معامل التوجيه

• معامل التوجيه = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

التوازي:

معامل توجيه (AC): \(a_{AC} = \frac{-2-1}{3-3}\) (غير معرّف - مستقيم عمودي)

معامل توجيه (BD): \(a_{BD} = \frac{-4-2}{-1-(-1)}\) (غير معرّف - مستقيم عمودي)

✅ إذن: \((AC) \parallel (BD)\) (كلاهما عموديان)

بما أن الشكل له ضلعان متوازيان، فهو شبه منحرف

3) بيّن أن \(A\) منتصف \([BC]\)

التحقق من المنتصف:

\[\text{منتصف } [BC] = \left(\frac{-1+3}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (1, 0)\]

لكن \(A(3;1)\)، إذن A ليست منتصف [BC]

ملاحظة: قد يكون هناك خطأ في نص السؤال الأصلي

4) أ) ابن النقطة \(M\) بحيث يكون \(ABMC\) متوازي أضلاع
ب) أوجد إحداثيات النقطة \(M\)
ج) استنتج أن \(M\) منتصف \([BD]\)

متوازي الأضلاع ABMC:

ب) منتصف [AM] = منتصف [BC] = \((1, 0)\)

\[\left(\frac{3+x_M}{2}, \frac{1+y_M}{2}\right) = (1, 0)\] \[x_M = -1, \quad y_M = -1\]

✅ إذن: \(M(-1; -1)\)

ج) منتصف \([BD] = \left(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = (-1, -1) = M\) ✓

5) حدد على الرسم وبالدون الآخر عناصر المجموعة التالية: \[\{M(x,y); -1 \leq x \leq 3, y = \sqrt{2}\}\]

المجموعة:

المجموعة \(\{M(x,y); -1 \leq x \leq 3, y = \sqrt{2}\}\) تمثل قطعة مستقيمة أفقية:

من النقطة \((-1, \sqrt{2})\) إلى النقطة \((3, \sqrt{2})\)
ارتفاع ثابت: \(y = \sqrt{2} \approx 1.414\)

🎯 فرض مراقبة رياضيات عدد 1 🚀