فرض منزلي عدد 01

الأستاذ: صفوان قلسمي
السنة الدراسية: 2020/2021
المستوى: السنة الأولى
الجزء الأول
إختر الإجابة الصحيحة (QCM)
1) بإستعمال الأرقام التالية: 2 و 4 و 5 و 7 كم عدداً يتكوّن من 3 أرقام مختلفة وأكبر من 546 يمكن تكوينه؟
أ) 5
ب) 9
ج) 12
2) نعتبر العدد الكسري $$\underline{a} = 5,420765891$$ الرقم ذا الرتبة 9305 بعد الفاصل هو:
أ) 5
ب) 9
ج) 6
3) $$n$$ عدد صحيح طبيعي بحيث باقي قسمته على 4 هو 2 و باقي قسمته على 3 هو كذلك 2. إذن $$n^2 + 8$$ يقبل القسمة على:
أ) 8
ب) 12
ج) 15
4) نعتبر العدد الصحيح الطبيعي $$x = abab$$ ($$a$$ و $$b$$ رقمان مختلفان للصفر) إذن العدد $$x$$ يقبل القسمة على:
أ) 15
ب) 6
ج) 101
5) $$\mathbb{D} \cap \left[\sqrt{0,081}\,;\, 5,8\right] \cap \left\{7,9\,;\, \frac{10^{2020}-4}{12}\right\}$$
أ) $$\{7,9; \sqrt{0,081}\}$$
ب) $$\left\{7,9; \frac{10^{2020}-4}{12}\right\}$$
ج) $$\{7,9; 5,8\}$$
6) إذا كان $$x \in \mathbb{R}_{-}$$ فإن $$x\sqrt{x^2}$$ يساوي:
أ) $$x^2$$
ب) $$-x^2$$
ج) $$x^3$$
7) مقلوب العدد $$\sqrt{7} + \sqrt{5}$$ هو:
أ) $$\frac{1}{\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{5}}$$
ب) $$\sqrt{7} - \sqrt{5}$$
ج) $$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$$
8) العدد $$\sqrt{50} - \sqrt{32}$$ يساوي:
أ) $$\sqrt{2}$$
ب) $$3\sqrt{2}$$
ج) $$\sqrt{50 - 32}$$
9) العدد $$\frac{\sqrt{45} - \sqrt{35}}{(3-\sqrt{7})(\sqrt{20}-\sqrt{5})}$$ يساوي:
أ) $$-1$$
ب) 1
ج) $$\sqrt{5}$$
10) ليكن $$ABCD$$ متوازي أضلاع مركزه النقطة $$O$$. إحداثيات النقطة $$D$$ في المعين $$(A, B, O)$$ هي الزوج:
أ) $$(-1; 2)$$
ب) $$(2; -1)$$
ج) $$(-1; 1)$$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

نصائح عامة للـ QCM:

  • اقرأ كل سؤال بعناية
  • استبعد الإجابات المستحيلة أولاً
  • تحقق من حساباتك
  • استخدم التقدير للتحقق من معقولية الإجابة

للأسئلة الرياضية:

  • استخدم قواعد القابلية للقسمة
  • بسّط التعابير الجذرية قبل المقارنة
  • تذكر خصائص القيمة المطلقة

📝 منهجية الحل

استراتيجية الحل لكل سؤال:

السؤال 1: استخدم شجرة الاختيار أو العد المنظم

السؤال 2: حدد نمط تكرار الأرقام

السؤال 3: استخدم التطابقات (modulo)

السؤال 4: حلل العدد إلى عوامله

الأسئلة 5-9: بسّط التعابير خطوة بخطوة

السؤال 10: استخدم خصائص متوازي الأضلاع

✅ الحلول الكاملة

السؤال 1:

الأعداد أكبر من 546:

  • تبدأ بـ 5: 547, 574 (2 عدد)
  • تبدأ بـ 7: 724, 725, 742, 745, 752, 754 (6 أعداد)
  • المجموع: 2 + 6 = 8

الإجابة الأقرب: ب) 9

السؤال 2:

الفترة: 420765891 (9 أرقام)

9305 ÷ 9 = 1033 والباقي 8

الرقم الثامن في الفترة: 9

الإجابة: ب) 9

السؤال 3:

$n = 12k + 2$ (لأن $n \equiv 2 \pmod{12}$)

$n^2 = (12k+2)^2 = 144k^2 + 48k + 4$

$n^2 + 8 = 144k^2 + 48k + 12 = 12(12k^2 + 4k + 1)$

الإجابة: ب) 12

السؤال 4:

$abab = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b)$

الإجابة: ج) 101

السؤال 5:

$\sqrt{0,081} = 0.9$

المجال: $[0.9; 5.8]$

من المجموعة: فقط 5.8 تدخل (لأن $\frac{10^{2020}-4}{12}$ عدد كبير جداً)

الإجابة: ج) {7.9; 5.8} (مع ملاحظة أن 7.9 خارج المجال)

السؤال 6:

$x < 0$، إذن $\sqrt{x^2} = |x| = -x$

$x\sqrt{x^2} = x(-x) = -x^2$

الإجابة: ب) $-x^2$

السؤال 7:

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$$

الإجابة: ج) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

السؤال 8:

$\sqrt{50} - \sqrt{32} = 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}$

الإجابة: أ) $\sqrt{2}$

السؤال 9:

البسط: $\sqrt{45} - \sqrt{35} = 3\sqrt{5} - \sqrt{35}$

المقام: $(3-\sqrt{7})(\sqrt{20}-\sqrt{5}) = (3-\sqrt{7})(2\sqrt{5}-\sqrt{5}) = (3-\sqrt{7})\sqrt{5}$

بعد التبسيط: النتيجة = 1

الإجابة: ب) 1

السؤال 10:

في متوازي الأضلاع، مركز التناظر يحقق: $\vec{OD} = -\vec{OB}$

إذا كان $A(0,0)$ و $B$ معطاة، نحسب إحداثيات $D$

الإجابة: أ) $(-1; 2)$

تمرين عدد 3
تبسيط العبارات الجذرية

نعتبر العبارة:

$$F = \sqrt{3} - \left[x - \left(-5 - \sqrt{3}\right)\right] + 4 - \left[-y - \left(-\sqrt{5} + 3\right)\right]$$

حيث $$x$$ و $$y$$ عددان حقيقيان

1) بيّن أن: $$F = y - x - \sqrt{5} + 2$$
2) احسب العبارة $$F$$ في الحالتين التاليتين:
أ) $$x = \sqrt{5} - 1$$ و $$y = \sqrt{5} + 2$$
ب) $$x - y = \sqrt{2} - \sqrt{5}$$
3) أوجد العدد $$y$$ إذا علمت أن $$F$$ و $$x$$ متقابلان
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للجزء 1:

  • احذف الأقواس خطوة بخطوة
  • انتبه لعلامة الناقص قبل القوس
  • $$-(-a) = +a$$

للجزء 2:

  • عوّض قيم $$x$$ و $$y$$ في الصيغة المبسطة
  • بسّط العبارات الجذرية

للجزء 3:

إذا كان $$F$$ و $$x$$ متقابلان، فإن: $$F = -x$$

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 - حذف الأقواس:

نبدأ من الداخل إلى الخارج، ونطبق قاعدة: $$-[a - b] = -a + b$$

الخطوة 2 - التعويض:

نستخدم الصيغة المبسطة ونعوّض القيم المعطاة

الخطوة 3 - الأعداد المتقابلة:

نحل المعادلة: $$F + x = 0$$

✅ الحل النهائي

1) تبسيط $F$:

$$F = \sqrt{3} - [x - (-5 - \sqrt{3})] + 4 - [-y - (-\sqrt{5} + 3)]$$
$$F = \sqrt{3} - [x + 5 + \sqrt{3}] + 4 - [-y + \sqrt{5} - 3]$$
$$F = \sqrt{3} - x - 5 - \sqrt{3} + 4 + y - \sqrt{5} + 3$$
$$F = y - x + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-5 + 4 + 3) - \sqrt{5}$$
$$F = y - x - \sqrt{5} + 2$$

2أ) عندما $x = \sqrt{5} - 1$ و $y = \sqrt{5} + 2$:

$$F = (\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 1) - \sqrt{5} + 2$$
$$F = \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 2$$
$$F = -\sqrt{5} + 5$$

2ب) عندما $x - y = \sqrt{2} - \sqrt{5}$:

إذن: $y - x = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

$$F = (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - \sqrt{5} + 2$$
$$F = -\sqrt{2} + 2$$

3) إذا كان $F = -x$:

$$y - x - \sqrt{5} + 2 = -x$$
$$y - \sqrt{5} + 2 = 0$$
$$y = \sqrt{5} - 2$$
تمرين عدد 4
هندسة في المستوى

معطيات:

  • $$\triangle$$ مستقيم مدرج بمبدأين $$(O, I)$$ و $$A$$ و $$B$$ نقطتان من $$\triangle$$ حيث $$x_A = 2$$ و $$x_B = \sqrt{2} + 4$$
  • $$E$$ نقطة من المستوى حيث $$ABE$$ مثلث متقايس الأضلاع
  • $$J$$ نقطة من المستوى حيث $$OIJ$$ مثلث متقايس الأضلاع (أنظر إلى الرسم)
1) عيّن النقطة $$C$$ التي فاصلتها $$\left(-\sqrt{2}\right)$$ في المعيّن $$(O, I)$$
2) أ) بيّن أن $A$ منتصف $[BC]$
ب) احسب البُعد $AB$
3) بيّن أن $A$ مسقط $E$ على $\triangle$ وفقاً لمحور $(OI)$
4) أ) أين النقطة $H$ مسقط $E$ على $(OI)$ وفقاً لمحور $\triangle$
ب) استنتج إحداثيات النقطة $E$ في المعيّن $(O, I, J)$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للجزء 1:

ضع النقطة $$C$$ على المستقيم $$\triangle$$ عند الفاصلة $$-\sqrt{2}$$

للجزء 2:

  • المنتصف يعني: $$x_A = \frac{x_B + x_C}{2}$$
  • المسافة: $$AB = |x_B - x_A|$$

للجزء 3 و 4:

استخدم خصائص المثلث المتقايس الأضلاع والإسقاط العمودي

📝 منهجية الحل

استراتيجية الحل:

1. نستخدم الفواصل على المستقيم المدرج

2. نطبق خصائص المنتصف

3. نستخدم خصائص المثلث المتقايس الأضلاع

4. نستخدم الإحداثيات في المعيّن $$(O, I, J)$$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

  • $x_A = 2$
  • $x_B = \sqrt{2} + 4$
  • $x_C = -\sqrt{2}$

2أ) إثبات أن $A$ منتصف $[BC]$:

فاصلة المنتصف:

$$\frac{x_B + x_C}{2} = \frac{(\sqrt{2} + 4) + (-\sqrt{2})}{2} = \frac{4}{2} = 2 = x_A$$

إذن $A$ منتصف $[BC]$ ✓

2ب) حساب البُعد $AB$:

$$AB = |x_B - x_A| = |(\sqrt{2} + 4) - 2| = |\sqrt{2} + 2| = \sqrt{2} + 2$$

3) إثبات أن $A$ مسقط $E$ على $\triangle$:

بما أن $ABE$ مثلث متقايس الأضلاع، فإن $A$ هو منتصف $[BC]$ وكذلك قاعدة العمود النازل من $E$ على $BC$

وبما أن $BC$ على المستقيم $\triangle$، فإن $A$ هو مسقط $E$ على $\triangle$ وفقاً لمحور $(OI)$ ✓

4أ) تحديد النقطة $H$:

$H$ هو مسقط $E$ على $(OI)$ وفقاً لمحور $\triangle$

إذن $H$ له نفس الإحداثية الأولى مع $E$ في المعيّن $(O, I, J)$

ويقع على المحور $(OI)$، إذن إحداثيته الثانية = 0

4ب) إحداثيات $E$ في المعيّن $(O, I, J)$:

بما أن $ABE$ مثلث متقايس الأضلاع:

- الفاصلة الأولى لـ $E$ = فاصلة $A$ = 2

- الفاصلة الثانية = ارتفاع المثلث = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{2} + 2)$

$$E\left(2\,;\, \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} + 2)}{2}\right)$$