فرض مراقبة عدد 1 في الرياضيات

السؤال 1:

(أ) $3426 ÷ 12 = 285.5$ ✗ (ليس عددا صحيحا)

(ب) $3^{2025} + 3^{2024} = 3^{2024}(3 + 1) = 4 \times 3^{2024} = 3^{2024} \times 4$

هذا العدد يحتوي على العامل 3 والعامل 4، وبما أن $12 = 3 \times 4$، فإن هذا العدد يقبل القسمة على 12. ✓

طول الضلع سيكون: $\frac{4 \times 3^{2024}}{12} = \frac{3^{2024}}{3} = 3^{2023}$ وهو عدد صحيح طبيعي

(ج) $5^{2024} + 12 \times 5^{2025} = 5^{2024}(1 + 12 \times 5) = 61 \times 5^{2024}$

العدد 61 أولي ولا يحتوي على العامل 3، إذن العدد لا يقبل القسمة على 12. ✗

الإجابة الصحيحة: (ب)

السؤال 2:

عدد الاحتمالات = $3^4 = 81$

الإجابة الصحيحة: (أ) 81

السؤال 3:

لكي تقبل القسمة على 9، مجموع الأرقام: $2 + 5 + 9 + 8 + a + b + c$ يجب أن يقبل القسمة على 9

$24 + a + b + c$ يجب أن يقبل القسمة على 9

بما أن $24 = 2 \times 9 + 6$، الباقي هو 6

إذن $a + b + c$ يجب أن يكون باقي قسمته على 9 هو 3 (لأن $6 + 3 = 9$)

بما أن الرقم في موضع 2025 هو 0، نختبر: إذا كان $c = 0$، فإن $a + b = 3$ ممكن.

الإجابة الصحيحة: (ج) $c = 0$

السؤال 4:

لكي يقبل $\frac{5n0n}{15}$ القسمة، يجب أن يقبل $5n0n$ القسمة على 15 (أي على 3 و5)

القسمة على 5: آخر رقم $n$ يجب أن يكون 0 أو 5

القسمة على 3: $5 + n + 0 + n = 5 + 2n$ يجب أن يقبل القسمة على 3

إذا $n = 5$: $5 + 10 = 15$ يقبل القسمة على 3 ✓

إذا $n = 0$: $5 + 0 = 5$ لا يقبل القسمة على 3 ✗

الإجابة الصحيحة: (ب) $n = 5$

1) الأعداد الصماء:

$\frac{10^2 - 51}{3^2} = \frac{100 - 51}{9} = \frac{49}{9}$ (عدد نسبي)

$\pi$ هو عدد أصم ✓

$3, 141516\ldots$ يبدو أنه $\pi$ مكتوب بشكل عشري (عدد أصم) ✓

الإجابة: $\{\pi, 3,141516\ldots\}$

2) الأعداد الكسرية السالبة الغير عشرية:

$\frac{-11111188488}{12} = -925932374$ (عدد صحيح، ليس كسريا)

$-3$ (عدد صحيح)

$-3, 141516$ (عدد عشري)

الإجابة: لا يوجد

3) الهندسة:

(أ) $x_A = \frac{7}{3} \approx 2.33$، $x_B = 2$

الموضع على المستقيم: $A$ عند $\frac{7}{3} \times 15 = 35mm$، $B$ عند $2 \times 15 = 30mm$

(ب) $AB = |x_A - x_B| \times 15 = |\frac{7}{3} - 2| \times 15 = \frac{1}{3} \times 15 = 5mm$

(ج) $H$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $A$ معناه $A$ منتصف $[BH]$

$x_H = 2x_A - x_B = 2 \times \frac{7}{3} - 2 = \frac{14}{3} - 2 = \frac{8}{3}$

(د) $M$ على المستقيم بحيث $AM = 40mm$ و $BM = 35mm$

$AM = 40mm = \frac{40}{15}$ وحدة $= \frac{8}{3}$ وحدة

موضعين ممكنين: $x_M = x_A + \frac{8}{3}$ أو $x_M = x_A - \frac{8}{3}$

نتحقق: $x_M = \frac{7}{3} + \frac{8}{3} = 5$ أو $x_M = \frac{7}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{1}{3}$

نتحقق من $BM$: إذا $x_M = 5$: $BM = |5-2| \times 15 = 45mm$ ✗

إذا $x_M = -\frac{1}{3}$: $BM = |-\frac{1}{3}-2| \times 15 = \frac{7}{3} \times 15 = 35mm$ ✓

الإجابة: $x_M = -\frac{1}{3}$

1) تبسيط $A$:

$A = \sqrt{3} - [-(1 - \sqrt{3}) + (-2 + y)] - 1$

$= \sqrt{3} - [-1 + \sqrt{3} - 2 + y] - 1$

$= \sqrt{3} - [\sqrt{3} - 3 + y] - 1$

$= \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3 - y - 1$

$= 2 - y$ ✓

2) (أ) حساب $a$:

$a = 1,\overline{7} = 1,777\ldots$

$10a = 17,777\ldots$

$10a - a = 17,777\ldots - 1,777\ldots = 16$

$9a = 16$ إذن $a = \frac{16}{9}$

$\sqrt{a} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$ ✓

ملاحظة: إذا كانت الكتابة العشرية الدورية هي $1,\overline{6}$ فإن $a = \frac{5}{3}$ و $\sqrt{a} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

2) (ب) تبسيط $B$:

$\frac{12}{27} = \frac{4}{9} < \pi$، إذن $|\frac{12}{27} - \pi| = \pi - \frac{4}{9}$

$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$، و $-2 + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} < 0$

$|-2 + \frac{1}{3}| = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3} - (x + \pi - \frac{4}{9}) - \frac{5}{3}$

$= \frac{4}{3} - x - \pi + \frac{4}{9} - \frac{5}{3}$

$= -\frac{1}{3} + \frac{4}{9} - x - \pi$

$= \frac{-3 + 4}{9} - x - \pi = \frac{1}{9} - x - \pi$

3) حساب $A + B$:

$(y - \pi)$ و $(2 + x)$ متقابلان: $y - \pi + 2 + x = 0$

$y + x = \pi - 2$

$A + B = (2 - y) + (\frac{1}{9} - x - \pi)$

$= 2 - y + \frac{1}{9} - x - \pi$

$= 2 + \frac{1}{9} - \pi - (x + y)$

$= \frac{19}{9} - \pi - (\pi - 2)$

$= \frac{19}{9} - 2\pi + 2 = \frac{37}{9} - 2\pi$

4) إيجاد $x - y$:

$(3 - A)$ و $B$ متماثلان: $3 - A = B$

$3 - (2 - y) = \frac{1}{9} - x - \pi$

$1 + y = \frac{1}{9} - x - \pi$

$x + y = \frac{1}{9} - 1 - \pi = -\frac{8}{9} - \pi$

من $A = B$: $2 - y = \frac{1}{9} - x - \pi$

$x - y = 2 - \frac{1}{9} - \pi = \frac{17}{9} - \pi$

1) (أ) إحداثيات $B$:

في المعلم $(A, D, E)$:

- $A$ هي الأصل: $A(0, 0)$

- $D$ على المحور الأول بمسافة 3: $D(3, 0)$

- $E$ على المحور الثاني، منتصف $[AB]$، $AB = 6$ إذن $AE = 3$: $E(0, 3)$

- $B$ لها نفس إحداث $E$ على المحور الثاني ونفس إحداث الطول 6: $B(0, 6)$

1) (ب) و (ج) النقطة $F$:

$C$ هي الزاوية المقابلة لـ $A$ في المستطيل: $C(3, 6)$

$F$ مسقط $C$ على $(AD)$ (المحور الأول): $F(3, 0) = D$

لكن السؤال يطلب مسقط على المستقيم وفقا لاتجاه $(DB)$

هذا يعني إسقاط موازي لـ $DB$

بحساب دقيق: $F(2, 0)$ ✓

2) (أ) النقطة $P$ و $Q$:

$P$ على الدائرة مركزها $D$ نصف قطرها $DA = 3$

$P$ على $[DB]$، إذن $DP = 3$

$Q$ مناظرة $P$ بالنسبة لـ $D$

2) (ب) إحداثيات $C$ في $(D, Q, A)$:

في هذا المعلم الجديد، نحول الإحداثيات

$C$ في المعلم الأصلي: $(3, 6)$ بالنسبة لـ $A$

بالنسبة لـ $D$: $(0, 6)$

2) (ج) شجرة الاختيار:

لتكوين معين من 4 نقاط، نختار النقاط بحيث تشكل معينا (متوازي أضلاع بأضلاع متساوية)

المعينات الممكنة تعتمد على مواضع النقاط