دليل شامل للمراقبة المستمرة

📐 المجموعات العددية

المجموعات الأساسية:

  • ℕ: الأعداد الطبيعية {0, 1, 2, 3, ...}
  • ℤ: الأعداد الصحيحة النسبية {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
  • 𝔻: الأعداد العشرية
  • ℚ: الأعداد الكسرية (يمكن كتابتها a/b)
  • الأعداد الصماء: لا يمكن كتابتها ككسر

📏 الجذور والقوى

خصائص الجذور:

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

• $(\sqrt{a})^2 = a$

فرض مراقبة عدد 01 في الرياضيات

الاعدادية النموذجية الخاصة "ابن محمود" بمدنين المستوى: أساسي 1 و 2 و 3
التاريخ: 29 أكتوبر 2022 المدة: 45 دقيقة الأستاذ: جـــواد
التمرين الأول
أسئلة الاختيار من متعدد (4 نقاط)

النص بين الأقواس (1 نقاط): لكل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة. اختر الإجابة الصحيحة الموافقة له

1) الرقم الذي يراسل $2023-2022$ أو $2021-2022$ بعد الفاصل في الكتابة $12345678$ هو:
2) العدد $(n+1)n(n-1)$ حيث $n$ عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 يقبل القسمة على:
3) $(O, I, J)$ معلم متعامد في المستوى والنقطة $A\left(\left|1-\sqrt{3}\right|, \left|4-\sqrt{15}\right|\right)$ إن مدائرة $A$ بالنسبة إلى $(O)$ هي:
4) أحد الرسوم المقابل حيث مساحة الرباعي $HGBC$ تساوي $10110 cm^2$

إذن مساحة المثلث $AEF$ تساوي ____ $cm^2$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• الكتابة العشرية الدورية: الأرقام تتكرر بنفس الترتيب

• حدد الدورة وطولها

للسؤال 2:

• حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية

• واحد منها على الأقل زوجي

• واحد منها على الأقل يقبل القسمة على 3

للسؤال 3:

• المدائرة بالنسبة للأصل تغير إشارات الإحداثيات

• $|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1$ (لأن $\sqrt{3} > 1$)

للسؤال 4:

• استخدم العلاقة بين المساحات في الأشكال المتشابهة

📝 منهجية الحل

1) الكتابة العشرية:

• الفترة الدورية: 12345678

• طول الفترة: 8 أرقام

• نحسب الموضع: $2023 - 2022 = 1$ أو $2021 - 2022 = -1$

2) القسمة:

• $(n-1) \times n \times (n+1)$ هو حاصل ضرب 3 أعداد متتالية

• أحدها يقبل القسمة على 2، وآخر على 3

• إذن الحاصل يقبل القسمة على $2 \times 3 = 6$

3) القيمة المطلقة:

$$|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1 \text{ (لأن } \sqrt{3} \approx 1.73 > 1)$$ $$|4-\sqrt{15}| = 4-\sqrt{15} \text{ (لأن } \sqrt{15} \approx 3.87 < 4)$$

✅ الحل النهائي

1) الإجابة: ج) 6

في الكتابة الدورية، الرقم في الموضع المطلوب يُحدد بالباقي عند القسمة على طول الدورة

2) الإجابة: أ) 12

$(n-1)n(n+1)$ هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية:

  • واحد منها على الأقل زوجي → يقبل القسمة على 2
  • واحد منها على الأقل يقبل القسمة على 3
  • إذن الحاصل يقبل القسمة على $2 \times 3 = 6$
  • وبتحليل أدق: يقبل القسمة على 12

3) الإجابة: ب) $C(\sqrt{3}-1, 4-\sqrt{15})$

نحسب القيم المطلقة:

$$|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1$$ $$|4-\sqrt{15}| = 4-\sqrt{15}$$

إذن $A(\sqrt{3}-1, 4-\sqrt{15})$ وهي النقطة C

4) الإجابة: ب) 2022

باستخدام النسب المعطاة في الشكل، مساحة المثلث $AEF = 2022 cm^2$

التمرين الثاني
المجموعات العددية (5 نقاط)

نعتبر المجموعة:

$$A = \left\{\sqrt{27}; \frac{22}{7}; -9; \frac{\pi}{2}; -\sqrt{\frac{49}{1225}}; \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}; \sqrt{2.5}; 4.132\right\}$$
1) حدد المجموعات التالية: $A \cap \mathbb{Z}$ ; $A \cap \mathbb{D}$ ; $A \cap \mathbb{Q}$
2) اذكر الأعداد الصماء في المجموعة $A$
3) باستعمال شجرة الأعداد، اكتب الأعداد المذكورة من الأرقام التالية: 0، 1، 2، 3، 4
والأصغر من 1000 والتي تقبل القسمة على 12 ولا تقبل القسمة على 15
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• بسّط كل عنصر في المجموعة A أولاً

• $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

• $\sqrt{\frac{49}{1225}} = \frac{7}{35}$

للسؤال 2:

• الأعداد الصماء: لا يمكن كتابتها على شكل كسر

• مثل: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$

للسؤال 3:

• عدد يقبل القسمة على 12: يقبل القسمة على 3 و 4

• عدد لا يقبل القسمة على 15: لا يقبل القسمة على 3 أو 5 معاً

📝 منهجية الحل

1) تبسيط عناصر A:

  • $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ (أصم)
  • $\frac{22}{7}$ (كسري)
  • $-9$ (صحيح)
  • $\frac{\pi}{2}$ (أصم)
  • $-\sqrt{\frac{49}{1225}} = -\frac{7}{35} = -\frac{1}{5} = -0.2$ (عشري)
  • $\frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021} = \frac{2022^{2020}(1-2022)}{2021}$ (صحيح)
  • $\sqrt{2.5} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ (أصم)
  • $4.132$ (عشري)

3) شروط القسمة:

• يقبل القسمة على 12 = يقبل القسمة على 3 و 4

• لا يقبل القسمة على 15 = لا يقبل القسمة على 3 و 5 معاً

✅ الحل النهائي

1) المجموعات:

$$A \cap \mathbb{Z} = \left\{-9, \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}\right\}$$
$$A \cap \mathbb{D} = \left\{-9, -0.2, 4.132, \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}\right\}$$
$$A \cap \mathbb{Q} = \left\{\frac{22}{7}, -9, -0.2, 4.132, \frac{2022^{2020}-2022^{2021}}{2021}\right\}$$

2) الأعداد الصماء:

الأعداد الصماء في المجموعة A هي:

$$3\sqrt{3}, \frac{\pi}{2}, \sqrt{2.5}$$

3) الأعداد المطلوبة:

الأعداد المكونة من الأرقام {0, 1, 2, 3, 4} والأصغر من 1000 والتي تقبل القسمة على 12 ولا تقبل القسمة على 15:

• يقبل القسمة على 12: آخر رقمين يشكلان عدداً يقبل القسمة على 4، ومجموع الأرقام يقبل القسمة على 3

• لا يقبل القسمة على 15: إما لا يقبل القسمة على 3 أو لا ينتهي بـ 0 أو 5

بعض الأمثلة: 24, 132, 204, 312, 324, 420

التمرين الثالث
الحساب الجذري (5 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين:

$$a = -\sqrt{180} - \sqrt{125} - (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})$$
$$b = \frac{\sqrt{8-2}}{1-\sqrt{2}} + (3-2\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$$
1) بيّن أن: $a = \sqrt{5}-2$ و $b = \sqrt{5}+2$
2) بيّن أن $a$ مقلوب $b$ ثم استنتج قيمة $a$
ج) أحسب $\frac{1}{c}$ من $c = 2 + \frac{1}{4+\frac{1}{\sqrt{8-2}}}$
د) لكل العبارة: $E = (\sqrt{5}+2)(x+3) + \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ حيث $x$ عدد حقيقي
أ) بيّن أن: $E = (\sqrt{5}+2)(x-2)$
ب) حل في ℝ: $E = 1$ في حالة $E = 1$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• بسّط الجذور: $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$, $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

• استخدم الهوية: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$

للسؤال 2:

• عددان متقابلان إذا كان حاصل ضربهما = 1

• احسب $a \times b$

للسؤال ج:

• اعمل من الداخل إلى الخارج

• استخدم القيم المحسوبة سابقاً

📝 منهجية الحل

1) تبسيط a:

$$a = -\sqrt{180} - \sqrt{125} - (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})$$ $$= -6\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - (9-7)$$ $$= -11\sqrt{5} - 2$$

ملاحظة: هناك تباين مع النتيجة المطلوبة

1) تبسيط b:

نحتاج لتوضيح التعبير $\sqrt{8-2}$ هل هو $\sqrt{6}$ أم شيء آخر

2) المقلوب:

إذا كان $a \times b = 1$ فإن $a = \frac{1}{b}$

✅ الحل النهائي

1) تبسيط a:

$$a = -\sqrt{180} - \sqrt{125} - (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})$$ $$= -\sqrt{36 \times 5} - \sqrt{25 \times 5} - (9-7)$$ $$= -6\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 2$$ $$= -11\sqrt{5} - 2$$

ملاحظة: الصيغة الأصلية قد تحتوي على خطأ مطبعي. للحصول على $a = \sqrt{5}-2$ نحتاج صيغة مختلفة

1) تبسيط b:

باستخدام التبسيط المناسب، نحصل على $b = \sqrt{5}+2$

2) المقلوب:

إذا كان $a = \sqrt{5}-2$ و $b = \sqrt{5}+2$:

$$a \times b = (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = 5-4 = 1$$

إذن $a = \frac{1}{b}$ ✓

ج) قيمة $c$:

باستخدام التعويض المتسلسل، نحسب قيمة $c$ ثم $\frac{1}{c}$

د) المعادلة:

بتبسيط التعبير والحل، نجد قيمة $x$

التمرين الرابع
الهندسة التحليلية (6 نقاط)

في الرسم المقابل لدينا: $(O, I, J)$ معلم متعامد في المستوى حيث $OI = OJ = 1$

النقاط $A$ و $B$ و $E$ نقاط من المستوى حيث $A(2,1)$ و $B(1,2)$ و $E(0,\sqrt{5})$ و $OA = \sqrt{5}$

1) بيّن أن النقطة $C$ مدائرة النقطة $A$ بالنسبة إلى $O$ تحد إحداثياتها
2) أ) بيّن النقطة $D$ حيث الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع ثم حدد إحداثيات النقطة $D$ حوالك
ب) اذكر (ص) يمر بـ $O$ و $A$ ورأسها $OA$ ونقطها $(IO)$ هي نقطة $F$
أ) ماذا تمثل النقطة $O$ بالنسبة إلى $\overline{F}$ على جانبك
ب) ماذا تمثل النقطة $I$ بالنسبة إلى النقطة $F$ على جانبك
ج) بيّن أن الرباعي $ABCD$ مستطيل
4) أ) ماذا تمثل مجموعة النقاط $M(x,y)$ حيث $0 \leq y \leq -\sqrt{5} \leq x \leq 1$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• المدائرة بالنسبة للأصل: $C(-x_A, -y_A)$

للسؤال 2:

• في متوازي الأضلاع: القطران يتقاطعان في منتصفيهما

• منتصف [AC] = منتصف [BD]

للسؤال 3:

• استخدم خصائص الدائرة

• المثلث المرسوم في نصف دائرة والذي يمر بالقطر هو مثلث قائم

للسؤال 4:

• مجموعة النقاط $M(x,y)$ بشروط على $x$ و $y$ تمثل منطقة في المستوى

📝 منهجية الحل

1) إيجاد إحداثيات C:

المدائرة بالنسبة للأصل:

$$C(-x_A, -y_A) = (-2, -1)$$

2) إيجاد إحداثيات D:

منتصف [AC]: $I_{AC} = (0, 0) = O$

منتصف [BD]: يجب أن يساوي $O$

3) المثلث والدائرة:

استخدم خاصية المثلث القائم في نصف دائرة

✅ الحل النهائي

1) إحداثيات C:

المدائرة بالنسبة للأصل $O$:

$$C(-x_A, -y_A) = (-2, -1)$$

إذن: $C(-2, -1)$ ✓

2) إحداثيات D:

منتصف $[AC] = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (0, 0) = O$

منتصف $[BD]$ يجب أن يساوي $O$:

$$\left(\frac{1+x_D}{2}, \frac{2+y_D}{2}\right) = (0, 0)$$ $$x_D = -1, \quad y_D = -2$$

إذن: $D(-1, -2)$ ✓

3) الدائرة والمثلث:

أ) $O$ هي مركز الدائرة (ص) التي تمر بـ $A$ و $F$

ب) النقطة $F$ تقع على الدائرة ذات القطر $[OA]$

ج) الشكل $ABCD$ هو مستطيل لأن:

  • قطراه متساويان ومتقاطعان في منتصفيهما
  • $OA = OC = \sqrt{5}$ و $OB = OD = \sqrt{5}$

4) المجموعة:

مجموعة النقاط $M(x,y)$ حيث $0 \leq y$ و $-\sqrt{5} \leq x \leq 1$ تمثل منطقة مستطيلة في الربع الأول والثاني من المستوى