دليل شامل للمراقبة المستمرة

📐 نصائح للحل

القسمة: عدد يقبل القسمة على n إذا كان باقي قسمته على n يساوي صفر

الأعداد:

  • ℕ: الأعداد الطبيعية (0, 1, 2, ...)
  • ℤ: الأعداد الصحيحة النسبية (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
  • 𝔻: الأعداد العشرية
  • ℚ: الأعداد الكسرية
  • الأعداد الصماء: أعداد غير كسرية (مثل √2, √3, π)

📏 الهندسة التحليلية

في المعلم المتعامد (O; I; J):

• متوازي الأضلاع ABCD: إذا كانت منتصفات القطرين متطابقة

• التوازي: (AB) // (CD) إذا كان لهما نفس معامل التوجيه

• المنتصف: إحداثيات منتصف [AB] هي ((x_A+x_B)/2, (y_A+y_B)/2)

المراقبة المستمرة

التاريخ: 2018/10/19 المدة: 45 دقيقة المادة: الرياضيات - الإسقاط
التمرين 1
أسئلة الاختيار من متعدد (5 نقاط)

1) ضع علامة (×) أمام الإجابات الصحيحة، مع الاحتفاظ بعلامة (×) أمام الإجابة الصحيحة:

أ) العدد $2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019}$ يقبل القسمة على:
ب) ليكن $(O; \vec{i}; \vec{j})$ معلماً في المستوى، النقاط $A(1;-1)$ و $B(1;2)$ و $C(3;1)$. إذا كان $ABCD$ متوازي أضلاع فإن إحداثيات النقطة $D$ هي:
ج) العدد $\frac{\sqrt{5}}{5}$ هو عدد:

2) أجب، صواب أو خطأ:

أ) بتقريب العدد $\frac{\sqrt{2}}{2}$ هو العدد $\sqrt{2}$
ب) الرقم الذي رتبته 2018 في الكتابة العشرية للعدد $-15,012\overline{1475}$ هو 4
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال أ):

• حاول إخراج العامل المشترك من التعبير

• $2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019} = 2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7 \times 2.7^{2018}$

للسؤال ب):

• في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفيهما

• استخدم: منتصف [AC] = منتصف [BD]

للسؤال ج):

• حاول تبسيط الكسر $\frac{\sqrt{5}}{5}$

• هل يمكن كتابته على شكل كسر لعددين صحيحين؟

📝 منهجية الحل

أ) العدد $2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019}$:

$$= 2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7 \times 2.7^{2018}$$ $$= 2.7 \times 2^{2018}(1 - 2 \times 2.7^{2018}/2^{2018})$$

نلاحظ أن $2.7 = 27/10$، نحاول التحليل للعامل المشترك

ب) إيجاد إحداثيات D:

منتصف [AC]: $I_{AC} = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = (2, 0)$

منتصف [BD]: $I_{BD} = \left(\frac{-1+x_D}{2}, \frac{2+y_D}{2}\right)$

نساوي المنتصفين لإيجاد D

ج) طبيعة العدد $\frac{\sqrt{5}}{5}$:

$$\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

✅ الحل النهائي

1) أ) الإجابة: 12

$$2.7 \times 2^{2018} - 2 \times 2.7^{2019}$$ $$= 2.7 \times 2^{2018}(1 - 2 \times (2.7)^{2018}/2^{2018})$$ $$= 2.7 \times 2^{2018}(1 - 2 \times (27/10)^{2018}/2^{2018})$$

بالتبسيط، العدد يقبل القسمة على 12

1) ب) الإجابة: $(3;-2)$

منتصف [AC]: $(2, 0)$

منتصف [BD] يجب أن يساوي $(2, 0)$:

$$\frac{-1+x_D}{2} = 2 \Rightarrow x_D = 5$$ $$\frac{2+y_D}{2} = 0 \Rightarrow y_D = -2$$

تصحيح: بمراجعة الحسابات، $D(3; -2)$ ✓

1) ج) الإجابة: أصم

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ لا يمكن كتابته على شكل كسر لعددين صحيحين، إذن هو عدد أصم

2) أ) خطأ

$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ بينما $\sqrt{2} \approx 1.414$، إذن العبارة خاطئة

2) ب) صواب

الفترة الدورية هي 1475 (طولها 4)، الرقم في الموضع 2018 هو 4 ✓

التمرين 2
المجموعات العددية (3 نقاط)

نعتبر المجموعة التالية:

$$P = \left\{-\sqrt{5}; \sqrt{\frac{45}{20}}; \frac{13^{10}-13^{14}}{6}; 0; \pi; 7.0100100001...; 12.39\right\}$$
1) حدد المجموعات التالية:
$$P \cap \mathbb{Q} \text{ ; } P \cap \mathbb{D} \text{ ; } P \cap \mathbb{Z}$$
2) أوجد كل الإمكانيات الممكنة لتعيين $x$ و $y$ بحيث يكون العدد $16 \times 50y$ قابلاً للقسمة على 12
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• راجع تعريف كل مجموعة عددية

• ℤ: الأعداد الصحيحة النسبية

• 𝔻: الأعداد العشرية

• ℚ: الأعداد الكسرية (يمكن كتابتها على شكل a/b)

• بسّط كل عنصر في المجموعة P أولاً

للسؤال 2:

• العدد يقبل القسمة على 12 إذا قبل القسمة على 3 و 4 معاً

• $16 \times 50y = 800y$

📝 منهجية الحل

1) تبسيط عناصر P:

• $\sqrt{\frac{45}{20}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$

• $\frac{13^{10}-13^{14}}{6} = \frac{13^{10}(1-13^4)}{6}$ (عدد صحيح)

• $7.0100100001...$ (عدد غير دوري)

2) شروط القسمة على 12:

$800y$ يجب أن يقبل القسمة على 12

$800y = 16 \times 50y$

نحتاج: $800y \equiv 0 \pmod{12}$

✅ الحل النهائي

1) المجموعات:

تبسيط العناصر:

  • $-\sqrt{5}$: عدد أصم
  • $\sqrt{\frac{45}{20}} = \frac{3}{2} = 1.5$: عدد عشري
  • $\frac{13^{10}-13^{14}}{6} = \frac{13^{10}(1-13^4)}{6}$: عدد صحيح سالب
  • $0$: عدد صحيح
  • $\pi$: عدد أصم
  • $7.0100100001...$: عدد أصم
  • $12.39$: عدد عشري
$$P \cap \mathbb{Z} = \left\{0, \frac{13^{10}-13^{14}}{6}\right\}$$
$$P \cap \mathbb{D} = \{1.5, 0, 12.39, \frac{13^{10}-13^{14}}{6}\}$$
$$P \cap \mathbb{Q} = \{1.5, 0, 12.39, \frac{13^{10}-13^{14}}{6}\}$$

2) القسمة على 12:

$16 \times 50y = 800y$

$800 = 66 \times 12 + 8$، إذن $800 \equiv 8 \pmod{12}$

نحتاج: $8y \equiv 0 \pmod{12}$

هذا يعني: $2y \equiv 0 \pmod{3}$

إذن: $y \in \{0, 3, 6, 9\}$

التمرين 4
الهندسة التحليلية (7 نقاط)

ليكن $(O, I, J)$ معلماً في المستوى بحيث $OI = OJ = 1cm$

1) عيّن النقاط $A(3;1)$ و $B(-1;2)$ و $C(3;-2)$ و $D(-1;-4)$
2) بيّن أن $(AC) \parallel (BD)$ ثم استنتج الطبيعة الرباعي $ABDC$
3) بيّن أن $A$ منتصف $[BC]$
4) أ) ابنِ النقطة $M$ بحيث يكون $ABMC$ متوازي أضلاع
ب) أوجد إحداثيات النقطة $M$
ج) استنتج أن $M$ منتصف $[BD]$
5) حدد على الرسم وبالدون الآخر عناصر المجموعة التالية:
$$\{M(x,y); -1 \leq x \leq 3, y = \sqrt{2}\}$$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 2:

• مستقيمان متوازيان إذا كان لهما نفس معامل التوجيه

• معامل التوجيه = $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

للسؤال 3:

• منتصف $[BC] = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right)$

• قارن النتيجة مع إحداثيات A

للسؤال 4:

• في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفيهما

للسؤال 5:

• المجموعة تمثل قطعة مستقيمة أفقية

📝 منهجية الحل

2) التوازي:

معامل توجيه (AC):

$$a_{AC} = \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = \frac{-2-1}{3-3}$$

ملاحظة: خط عمودي! نحتاج لإعادة النظر في المعطيات

3) المنتصف:

$$\text{منتصف } [BC] = \left(\frac{-1+3}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right)$$

4) متوازي الأضلاع:

نستخدم: منتصف [AM] = منتصف [BC]

✅ الحل النهائي

1) الرسم:

نضع النقاط في المعلم:

  • $A(3;1)$
  • $B(-1;2)$
  • $C(3;-2)$
  • $D(-1;-4)$

2) التوازي:

معامل توجيه (AC): $a_{AC} = \frac{-2-1}{3-3}$ (غير معرّف - مستقيم عمودي)

معامل توجيه (BD): $a_{BD} = \frac{-4-2}{-1-(-1)}$ (غير معرّف - مستقيم عمودي)

إذن: $(AC) \parallel (BD)$ (كلاهما عموديان) ✓

بما أن الشكل له ضلعان متوازيان، فهو شبه منحرف

3) التحقق من المنتصف:

$$\text{منتصف } [BC] = \left(\frac{-1+3}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (1, 0)$$

لكن $A(3;1)$، إذن A ليست منتصف [BC]

ملاحظة: قد يكون هناك خطأ في نص السؤال الأصلي

4) متوازي الأضلاع ABMC:

ب) منتصف [AM] = منتصف [BC] = $(1, 0)$

$$\left(\frac{3+x_M}{2}, \frac{1+y_M}{2}\right) = (1, 0)$$ $$x_M = -1, \quad y_M = -1$$

إذن: $M(-1; -1)$ ✓

ج) منتصف $[BD] = \left(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = (-1, -1) = M$ ✓

5) المجموعة:

المجموعة $\{M(x,y); -1 \leq x \leq 3, y = \sqrt{2}\}$ تمثل قطعة مستقيمة أفقية:

  • من النقطة $(-1, \sqrt{2})$ إلى النقطة $(3, \sqrt{2})$
  • ارتفاع ثابت: $y = \sqrt{2} \approx 1.414$