سلسلة تمارين عدد 01 - العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية

تمرين 01

تبسيط العبارات الجذرية

نعتبر العبارتين $A$ و $B$ حيث: $x \in \mathbb{R}$

A = 1 - (x + \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)

B = x + \sqrt{12} - \sqrt{\frac{19}{4}} - \frac{7}{28}

1) بين أن: $A = 4 - x - 2\sqrt{3}$ و $B = x + 2\sqrt{3} - 4$

2) بين أن $A$ هو مقابل $B$

3) إذا علمت أن $\sqrt{3} < 2$، احسب $|A|$ إذا كان $x = 0$

4) احسب $x$ إذا كان $B = \sqrt{12}$

💡 توجيهات للتفكير

• بسّط: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

• احسب: $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

• عددان متقابلان: $A + B = 0$

✅ الحل الكامل

1) تبسيط $A$:

$A = 1 - x - \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 4 - x - 2\sqrt{3}$ ✓

2) $A + B = (4-x-2\sqrt{3}) + (x+2\sqrt{3}-4) = 0$ ✓

3) عندما $x=0$: $A = 4-2\sqrt{3} > 0$ إذن $|A| = 4-2\sqrt{3}$

4) $x + 2\sqrt{3} - 4 = 2\sqrt{3}$ → $x = 4$

تمرين 02

المقلوب والعمليات

A = \sqrt{9} + \sqrt{50} - \sqrt{18}

B = -\sqrt{2}(2 - 3\sqrt{2}) - (\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)

1) بين أن $A = 3 + 2\sqrt{2}$ و $B = 3 - 2\sqrt{2}$ ثم استنتج أن $A$ مقلوب $B$

2) استنتج أن $\frac{1}{A} - A = -4\sqrt{2}$

3) فكك إلى جداء عوامل: $E = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}(3x - \sqrt{5}) + (3\sqrt{2} - x)(3 - 2\sqrt{2})$

4) أوجد قيمة $x$ بحيث $E = B$

5) أثبت أن $\left|\frac{2}{A}\right| \times \left|A + \frac{1}{2}\right| \in \mathbb{N}$

💡 توجيهات

• $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

✅ الحل

$A = 3 + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

$B = -2\sqrt{2} + 6 - 3 = 3 - 2\sqrt{2}$

$A \times B = 9 - 8 = 1$ ✓

تمرين 03

الكسور الجذرية

A = \frac{15\sqrt{5} + 6\sqrt{30}}{3\sqrt{5}}

B = 5 - \sqrt{24}

1) بين أن $A = 5 + 2\sqrt{6}$ ثم استنتج أن $A$ مقلوب $B$

2) احسب $A^2$ ثم استنتج قيمة $\sqrt{49 + 20\sqrt{6}}$

3) $x, y, z$ أعداد حقيقية موجبة و $m$ عدد حقيقي بحيث: $xyz = 1$ و $$\frac{2xm}{xy+x+1} + \frac{2ym}{yz+y+1} + \frac{2zm}{xz+z+1} = 1$$ بين أن $m = \frac{1}{2}$

✅ الحل

$A = \frac{15\sqrt{5} + 6\sqrt{5}\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \frac{15 + 6\sqrt{6}}{3} = 5 + 2\sqrt{6}$

$B = 5 - 2\sqrt{6}$ (بعد تبسيط $\sqrt{24}$)

$A \times B = 25 - 24 = 1$ ✓

$A^2 = 25 + 20\sqrt{6} + 24 = 49 + 20\sqrt{6}$

تمرين 04

القوى والجذور

M = \sqrt{180} - \sqrt{125} - \frac{\sqrt{15} \times \sqrt{56}}{\sqrt{10} \times \sqrt{21}}

N = 3\sqrt{20} + 2\sqrt{45} - \sqrt{605 + 2}

1) بين أن $M = \sqrt{5} - 2$ و $N = \sqrt{5} + 2$ ثم استنتج أن $M$ مقلوب $N$

2) احسب $\frac{1}{M} + \frac{1}{N} + N^{2024} \times M^{2025}$

3) استنتج أن $\frac{1}{\sqrt{5}-2} - \frac{1}{\sqrt{5}+2} \in \mathbb{N}$

4) من خلال التمرين السابق بين أن: $A(B + M) - N(A + M) = -4A$

✅ الحل

$M = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{5} - 2$

$M \times N = 5 - 4 = 1$ ✓

$N^{2024} \times M^{2025} = (MN)^{2024} \times M = M$

تمرين 05

التفكيك والمقلوب

1) فكك $\sqrt{2} + 2$ إلى جداء عوامل

2) بين أن $\sqrt{2} + 1$ هو مقلوب $\sqrt{2} - 1$

3) لتكن $a = \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{2+\sqrt{2}}$، بين أن: $2a = 3\sqrt{2} - 4$

4) $b = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \sqrt{\frac{6}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$، بين أن: $b - 4 = 3\sqrt{2}$

5) بين أن $a$ هو مقلوب $b$، ثم استنتج علامة $a$

6) بين أن $4 + 3\sqrt{2} + \frac{2}{b}$ تقبل القسمة على 6

✅ الحل

1) $\sqrt{2} + 2 = \sqrt{2}(1 + \sqrt{2})$

2) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2-1 = 1$ ✓

تمرين 06

القيمة المطلقة

A = \sqrt{5} + |\pi - 2| - |\sqrt{3} - \pi| - \sqrt{3}

B = \sqrt{4} - \sqrt{45} + \sqrt{20}

C = \sqrt{(-2\sqrt{5} + 1)^2} + |\sqrt{5} - 3|

1) بين أن $A = \sqrt{5} - 2$؛ $B = 2 - \sqrt{5}$؛ $C = 2 + \sqrt{5}$ ثم استنتج أن $A$ مقلوب $C$ و $A$ مقابل $B$

2) أثبت أن $\frac{\sqrt{5}}{A} = 2\sqrt{5} + 5$ وأن $BC + AC - AB = A^2$

3) بين أن $A(C + \frac{1}{A}) = 2$

4) احسب $\frac{2}{C}(C + \sqrt{5}) + 2\sqrt{5}B$ ثم $CA^2 + B$

✅ الحل

بما أن $\pi > 3$ و $\sqrt{3} < \pi$:

$A = \sqrt{5} + (\pi-2) - (\pi-\sqrt{3}) - \sqrt{3} = \sqrt{5} - 2$

$B = 2 - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 2 - \sqrt{5}$

$C = 2\sqrt{5} - 1 + 3 - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 2$

تمرين 07

القوى الكبيرة

a = \sqrt{28} - 2\sqrt{63} + \sqrt{64} + \sqrt{7}

b = (4 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7}) + 11

c = |1 - \sqrt{7}| - (7 - \sqrt{28})

1) بين أن $a = 8 - 3\sqrt{7}$، $b = 8 + 3\sqrt{7}$، $c = -8 + 3\sqrt{7}$

2) بين أن $a$ مقلوب $b$ و $a$ مقابل $c$

3) بين أن $\sqrt{a(b + 1)} + \frac{1}{a} - 1 = 4$

4) احسب: $(8 - 3\sqrt{7})^{2025} \times (8 + 3\sqrt{7})^{2026} - (8 - 3\sqrt{7})^{2026} \times (8 + 3\sqrt{7})^{2025}$

✅ الحل

$a = 2\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 8 + \sqrt{7} = 8 - 3\sqrt{7}$

$b = 4 + 4\sqrt{7} - \sqrt{7} - 7 + 11 = 8 + 3\sqrt{7}$

$a \times b = 64 - 63 = 1$ ✓

4) $a^{2025} \times b^{2026} - a^{2026} \times b^{2025} = (ab)^{2025}(b - a) = 6\sqrt{7}$

تمرين متميّز

النسب والجذور

$a, b, c, a', b', c'$ أعداد حقيقية موجبة قطعاً حيث:

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = m

1) بين أن: $\sqrt{aa'} + \sqrt{bb'} + \sqrt{cc'} = \sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c')}$

2) احسب $\frac{a}{2b}$ إذا علمت أن $a \neq b$ و $a + 2b = 3\sqrt{ab}$

3) $x, y, z$ أعداد حقيقية حيث $x + y + z \neq 0$ و $$\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{x+y} = 0$$ بين أن $\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} = 1$

✅ الحل

1) بما أن $a = ma'$, $b = mb'$, $c = mc'$:

$\sqrt{aa'} + \sqrt{bb'} + \sqrt{cc'} = \sqrt{m}(\sqrt{a'^2} + \sqrt{b'^2} + \sqrt{c'^2})$

و $\sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c')} = \sqrt{m(a'+b'+c')^2}$ ✓

2) من $a + 2b = 3\sqrt{ab}$ نقسم على $2b$: $\frac{a}{2b} + 1 = \frac{3\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}$

بحل المعادلة: $\frac{a}{2b} = \frac{9}{4}$