نعتبر مستطيلاً $ABCD$ كما يوضحه الرسم المرافق.
نعتبر في كامل التمرين المُعين $$(D;C;A)$$.
(1) بين أن إحداثيات النقطة $B$ هي $$(1;1)$$.
...
الحل المفصّل لأسئلة 4 إلى 7 من التمرين 1:
(4) عددان متقابلان: $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ و $\frac{b}{\sqrt{12}}$
العددان متقابلان يعني مجموعهما يساوي 0
$$\frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{12}} = 0$$
$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$$
$$\frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{b}{2\sqrt{3}} = 0$$
$$\frac{a+b}{2\sqrt{3}} = 0$$
بما أن $2\sqrt{3} \ne 0$، يجب أن يكون البسط مساوياً للصفر
$$a+b = 0$$
$$a = -b$$
إذن الخيار الصحيح هو: $$a=-b$$ (الإجابة 2).
(5) حساب $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$
نبحث عن صيغة المربع الكامل: $$(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy$$
$$4-2\sqrt{3} = 3+1-2\sqrt{3}$$
$$4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + (1)^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1$$
$$4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$$
$$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$$
$$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = |\sqrt{3}-1|$$
بما أن $\sqrt{3} > 1$، فإن $\sqrt{3}-1 > 0$، إذن $$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$$
إذن الخيار الصحيح هو: $$\sqrt{3}-1$$ (الإجابة 2).
(6) حساب البعد $AN$ في المستطيل $ABCD$
المثلث $ABN$ قائم الزاوية في $B$ (لأن $ABCD$ مستطيل)
لدينا $AB=5$ و $BC=3$ و $CN=1$
$$BN = BC - CN$$
$$BN = 3 - 1 = 2$$
حسب نظرية بيتاغور (مصرّح بها في برنامج التاسعة أساسي): $$AN^2 = AB^2 + BN^2$$
$$AN^2 = 5^2 + 2^2$$
$$AN^2 = 25 + 4$$
$$AN^2 = 29$$
$$AN = \sqrt{29}$$
ملاحظة: القيمة الصحيحة $AN = \sqrt{29}$ لا تطابق أياً من الخيارات: $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$، $2\sqrt{10}=\sqrt{40}$، $4=\sqrt{16}$.
(7) إحداثيات منتصف قطعة مستقيم
إحداثيات النقطة $A(x_A; y_A) = A(1+\sqrt{2}; 3)$
إحداثيات النقطة $B(x_B; y_B) = B(-1-\sqrt{2}; 1)$
إحداثيات منتصف $M$ لـ $[AB]$ هي: $$M(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})$$
$$x_M = \frac{(1+\sqrt{2}) + (-1-\sqrt{2})}{2} = \frac{1+\sqrt{2}-1-\sqrt{2}}{2} = \frac{0}{2}$$
$$x_M = 0$$
$$y_M = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2}$$
$$y_M = 2$$
إذن إحداثيات النقطة $M$ هي: $$M(0; 2)$$
إذن الخيار الصحيح هو: $$M(0; 2)$$ (الإجابة 1).