فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي

المساحة $$S=(\sqrt{5}-2)\times 2\sqrt{5}$$

$$\quad S=2\sqrt{5}\sqrt{5}-4\sqrt{5}$$

$$\quad S=2(5)-4\sqrt{5}$$

$$\quad S=10-4\sqrt{5}$$

بما أن $$4\sqrt{5}=\sqrt{16\times 5}=\sqrt{80}$$

فإن $$S=10-\sqrt{80}$$

الجواب الصحيح: (ج) \(10-\sqrt{80}\)

المقلوب هو $$\frac{1}{6-4\sqrt{2}}$$

$$\quad =\frac{1}{6-4\sqrt{2}}\times \frac{6+4\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}$$

$$\quad =\frac{6+4\sqrt{2}}{6^2-(4\sqrt{2})^2}=\frac{6+4\sqrt{2}}{36-32}$$

$$\quad =\frac{6+4\sqrt{2}}{4}=\frac{2(3+2\sqrt{2})}{4}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$$

الجواب الصحيح: (ج) \(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\)

بما أن العددين مقلوبان، فإن جذاؤهما يساوي 1:

$$\quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\times \frac{b}{2}=1$$

إذن $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\frac{b}{2}}=\frac{2}{b}$$

الجواب الصحيح رياضياً هو: \(\frac{2}{b}\)

لدينا $$M(x,y)$$ و $$N(-x,y)$$

بما أن $$x_N=-x_M$$ و $$y_N=y_M$$، فإن $$N$$ هي مناظرة $$M$$ بالنسبة لمحور التراتيب $$(OJ)$$ (محور التناظر هو محور التراتيب).

القطعة $$[NM]$$ تكون متناظرة بالنسبة لمحور التراتيب $$(OJ)$$.

الجواب الصحيح: (أ) $$NM$$ مناظرة بالنسبة لـ $$(OJ)$$

تبسيط $$a$$:

$$\quad a=\frac{5\sqrt{6}-12}{\sqrt{6}}$$

$$\quad a=\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}}-\frac{12}{\sqrt{6}}$$

$$\quad a=5-\frac{12\sqrt{6}}{6}$$

$$\quad a=5-2\sqrt{6}$$

تبسيط $$b$$:

$$\quad b=\sqrt{150}+\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}-\sqrt{54}$$

$$\quad b=\sqrt{25\times 6}+\sqrt{\frac{75}{3}}-\sqrt{9\times 6}$$

$$\quad b=5\sqrt{6}+\sqrt{25}-3\sqrt{6}$$

$$\quad b=5\sqrt{6}+5-3\sqrt{6}$$

$$\quad b=5+(5-3)\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}$$

نحسب الجذاء $$a\times b$$:

$$\quad a\times b=(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})$$

$$\quad a\times b=5^2-(2\sqrt{6})^2$$

$$\quad a\times b=25-(4\times 6)$$

$$\quad a\times b=25-24=1$$

بما أن $$a\times b=1$$، فإن **$$a$$ و $$b$$ مقلوبان**.

$$\quad \frac{\sqrt{2}}{a}-\frac{\sqrt{2}}{b}=\sqrt{2}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$$

بما أن $$a$$ و $$b$$ مقلوبان، فإن $$\frac{1}{a}=b$$ و $$\frac{1}{b}=a$$

$$\quad =\sqrt{2}(b-a)$$

$$\quad b-a=(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})=5+2\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}$$

$$\quad \sqrt{2}(4\sqrt{6})=4\sqrt{2\times 6}=4\sqrt{12}$$

$$\quad =4\sqrt{4\times 3}=4(2\sqrt{3})$$

$$\quad =8\sqrt{3}$$

نحسب $$1-a$$:

$$\quad 1-a=1-(5-2\sqrt{6})=1-5+2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4$$

العبارة هي:

$$\quad (2\sqrt{6}-4)(2+\sqrt{6})$$

$$\quad =2\sqrt{6}(2)+2\sqrt{6}(\sqrt{6})-4(2)-4\sqrt{6}$$

$$\quad =4\sqrt{6}+12-8-4\sqrt{6}$$

$$\quad =(4\sqrt{6}-4\sqrt{6})+(12-8)=4$$

بما أن $$4=2^2$$، فإن العدد **مربع كامل**.

لدينا $$3\sqrt{8}=3\sqrt{4\times 2}=3\times 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

$$\quad 4\sqrt{2}x-3\sqrt{8}=4\sqrt{2}x-6\sqrt{2}$$

نقوم بتفكيك العامل المشترك $$\mathbf{2\sqrt{2}}$$

$$\quad =2\sqrt{2}(2x-3)$$

لدينا $$E=(x+2\sqrt{2}-\sqrt{3})(2x-3)-4\sqrt{2}x+3\sqrt{8}$$

نعوض $$-(4\sqrt{2}x-3\sqrt{8})$$ بالعامل المشترك $$2\sqrt{2}(2x-3)$$:

$$\quad E=(x+2\sqrt{2}-\sqrt{3})(2x-3)-2\sqrt{2}(2x-3)$$

العامل المشترك هو $$(2x-3)$$

$$\quad E=(2x-3) [ (x+2\sqrt{2}-\sqrt{3}) - 2\sqrt{2} ]$$

$$\quad E=(2x-3) [ x+2\sqrt{2}-\sqrt{3}-2\sqrt{2} ]$$

$$\quad E=(2x-3) [ x-\sqrt{3} ]$$

$$\quad E=(x-\sqrt{3})(2x-3)$$

أ) $$E$$ و $$\sqrt{3}-x$$ متقابلان:

هذا يعني $$\quad E+(\sqrt{3}-x)=0$$

$$\quad (x-\sqrt{3})(2x-3)+(\sqrt{3}-x)=0$$

$$\quad (x-\sqrt{3})(2x-3)-(x-\sqrt{3})=0$$

$$\quad (x-\sqrt{3}) [ (2x-3)-1 ]=0$$

$$\quad (x-\sqrt{3})(2x-4)=0$$

إما $$\quad x-\sqrt{3}=0 \implies x=\sqrt{3}$$

أو $$\quad 2x-4=0 \implies 2x=4 \implies x=2$$

قيم $$x$$ هي: \(\sqrt{3}\) أو \(2\)

ب) $$\sqrt{x^{2}-5}=2$$:

شرط الوجود: $$x^2-5\ge 0$$

نربع الطرفين:

$$\quad x^2-5=4$$

$$\quad x^2=9$$

$$\quad x=3$$ أو $$x=-3$$

(نلاحظ أن $$3^2=9\ge 5$$ و $$(-3)^2=9\ge 5$$، إذن الشرط محقق)

قيم $$x$$ هي: \(3\) أو \(-3\)

لدينا إحداثيات النقاط $$A(2,\sqrt{2})$$ و $$C(2,-2)$$

نلاحظ أن $$\quad x_A=x_C=2$$

إذن، المستقيم **$$(AC)$$ يوازي محور التراتيب $$(OJ)$$**.

بما أن المعين $$(O,I,J)$$ متعامد، فإن $$(OJ) \perp (OI)$$

وبما أن $$(AC) \parallel (OJ)$$، نستنتج أن **$$(AC) \perp (OI)$$**.

$$K$$ هي نقطة تقاطع $$(AC)$$ و $$(OI)$$

المستقيم $$(AC)$$ هو المستقيم $$x=2$$ (من السؤال السابق)

المستقيم $$(OI)$$ هو محور الفواصل، معادلته $$y=0$$

إحداثيات $$K$$ تحقق الشرطين: $$x_K=2$$ و $$y_K=0$$

إذن **$$K(2, 0)$$**.

لدينا $$K$$ منتصف $$[AL]$$ (لأن $$L$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$K$$)

لدينا $$B(4,0)$$ و $$O(0,0)$$ و $$K(2,0)$$

إحداثيات منتصف $$[OB]$$ هي $$\quad (\frac{0+4}{2} ; \frac{0+0}{2})=(2,0)$$

إذن **$$K$$ هي أيضاً منتصف $$[OB]$$**.

بما أن قطري الرباعي **$$OABL$$** هما $$[OB]$$ و $$[AL]$$ وينتصفان في $$K$$، فإن **$$OABL$$ متوازي أضلاع**.

من السؤال (1) ب) نعلم أن $$(AC) \perp (OI)$$

وبما أن القطر $$[AL]$$ ينتمي إلى المستقيم $$(AC)$$ (لأن $$L \in (AC)$$) والقطر $$[OB]$$ ينتمي إلى المستقيم $$(OI)$$، فإن **القطران متعامدان**: $$(AL) \perp (OB)$$

بما أن $$OABL$$ متوازي أضلاع وقطراه متعامدان، فإن **$$OABL$$ معين**.

مساحة المعين $$S=\frac{\text{القطر الأول} \times \text{القطر الثاني}}{2}$$

نحسب طول القطرين:

طول $$OB$$:

$$\quad OB=|x_B-x_O|=|4-0|=4$$

طول $$AL$$:

نحسب إحداثيات $$L$$: $$K(2,0)$$ منتصف $$[AL]$$

$$\quad x_L=2x_K-x_A=2(2)-2=2$$

$$\quad y_L=2y_K-y_A=2(0)-\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$

$$\quad AL=|y_A-y_L|=|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$$

المساحة $$S$$:

$$\quad S_{OABL}=\frac{OB\times AL}{2}=\frac{4\times 2\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

النتيجة: $$\quad S_{OABL}=4\sqrt{2}$$ وحدة مساحة.

$$T$$ هي نقطة تقاطع المستقيمين $$D_1$$ و $$D_2$$

المستقيم $$D_1$$ (المار من $$B$$ والموازي لـ $$(AC)$$):

لدينا $$(AC)$$ هو المستقيم $$x=2$$ (يوازي محور التراتيب)

إذن $$D_1$$$$ هو المستقيم المار من $$B(4,0)$$ والموازي لمحور التراتيب، معادلته **$$x=4$$**.

المستقيم $$D_2$$ (المستقيم $$(FC)$$):

لدينا $$F(0,-2)$$ و $$C(2,-2)$$

بما أن $$y_F=y_C=-2$$، فإن $$(FC)$$ هو المستقيم الموازي لمحور الفواصل، معادلته **$$y=-2$$**.

نقطة التقاطع $$T$$ تحقق: $$x=4$$ و $$y=-2$$

إذن **$$T(4;-2)$$**.

الشرط الأول: $$y=-2$$ (وهو المستقيم $$(FC)$$)

الشرط الثاني: $$0\le x\le 4$$

النقاط التي تحقق $$y=-2$$ و $$0\le x\le 4$$ هي النقاط التي تبدأ من $$F(0,-2)$$ (عندما $$x=0$$) وتنتهي في $$T(4,-2)$$ (عندما $$x=4$$).

مجموعة النقاط هي **القطعة المستقيمة $$[FT]$$**.