فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي

ضلع المربع $s$: $\quad s^2=3$

$\quad s=\sqrt{3}$

محيط المربع $P$: $\quad P=4s$

$\quad P=4\sqrt{3}$

تحويل الخيار الأول: $\quad \sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}$

$\quad \sqrt{48}=4\sqrt{3}$

الجواب الصحيح: \(\sqrt{48}\)

الأفصول $x_C$: $\quad x_C=\frac{x_A+x_B}{2}$

$\quad x_C=\frac{(\sqrt{2}-3)+(1-\sqrt{2})}{2}$

$\quad x_C=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}-3+1}{2}$

$\quad x_C=\frac{-2}{2}$

$\quad x_C=-1$

الترتيب $y_C$: $\quad y_C=\frac{y_A+y_B}{2}$

$\quad y_C=\frac{1+3}{2}$

$\quad y_C=\frac{4}{2}$

$\quad y_C=2$

الجواب الصحيح: \(C(-1, 2)\)

المقلوب هو: $\quad \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

لإنطاق المقام: $\quad \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

$\quad =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}$

$\quad =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}$

$\quad =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

الجواب الصحيح: \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\)

القاعدة: $\quad |A|=A$ إذا وفقط إذا كان $A\ge 0$

التطبيق: $\quad |-x\sqrt{3}|=-x\sqrt{3}$ يعني أن $-x\sqrt{3}\ge 0$

بما أن $\sqrt{3} > 0$: $\quad -x\ge 0$

$\quad x\le 0$

الجواب الصحيح: \(x\in \mathbb{R}_{-}\) (مجموعة الأعداد الحقيقية السلبية أو الصفر)

$M=-(1-\sqrt{3})-[x-(y+\pi)+\sqrt{3}]+(1-\pi)$

$M=-1+\sqrt{3}-[x-y-\pi+\sqrt{3}]+1-\pi$

$M=-1+\sqrt{3}-x+y+\pi-\sqrt{3}+1-\pi$

$M=(-1+1)+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-\pi+\pi)-x+y$

$M=0+0+0-x+y$

$M=y-x$

$M=y-x$

$M=y-(y-\sqrt{2})$

$M=y-y+\sqrt{2}$

$M=\sqrt{2}$

$M+y=0$

$(y-x)+y=0$

$2y-x=0$

$x=2y$

بالنسبة لـ $A$:

$A=\sqrt{2}-[-(\sqrt{3}+1-\sqrt{2})+x]-(y+1)$

$A=\sqrt{2}-[-\sqrt{3}-1+\sqrt{2}+x]-y-1$

$A=\sqrt{2}+\sqrt{3}+1-\sqrt{2}-x-y-1$

$A=(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3})+(-x-y)+(1-1)$

$A=\sqrt{3}-x-y$

$A=-x-y+\sqrt{3}$

بالنسبة لـ $B$:

$B=\sqrt{\frac{25}{4}}-(\sqrt{3}-\pi)-(-y+\frac{3}{2})$

$B=\frac{5}{2}-\sqrt{3}+\pi+y-\frac{3}{2}$

$B=(\frac{5}{2}-\frac{3}{2})-\sqrt{3}+\pi+y$

$B=\frac{2}{2}-\sqrt{3}+\pi+y$

$B=1-\sqrt{3}+\pi+y$

$B=y+1-\sqrt{3}+\pi$

$A=-x-y+\sqrt{3}$

$A=-(x+y)+\sqrt{3}$

$A=-(\sqrt{3}-1)+\sqrt{3}$

$A=-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}$

$A=1$

$A+B=0$

$(-x-y+\sqrt{3})+(y+1-\sqrt{3}+\pi)=0$

$-x+(-y+y)+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1+\pi)=0$

$-x+0+0+1+\pi=0$

$-x=-(1+\pi)$

$x=1+\pi$

بما أن $\sqrt{2}\approx 1.414$: $\quad \sqrt{2}-2 < 0$

إذن: $\quad |\sqrt{2}-2|=-(\sqrt{2}-2)=2-\sqrt{2}$

$a=2(2-\sqrt{2})-1$

$a=4-2\sqrt{2}-1$

$a=3-2\sqrt{2}$

$b=2(\sqrt{2}+1)-(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$

$b=2\sqrt{2}+2-(1^2-(\sqrt{2})^2)$

$b=2\sqrt{2}+2-(1-2)$

$b=2\sqrt{2}+2-(-1)$

$b=2\sqrt{2}+2+1$

$b=3+2\sqrt{2}$

نحسب الجذاء: $\quad a \times b = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$

$\quad a \times b = 3^2 - (2\sqrt{2})^2$

$\quad a \times b = 9 - (4 \times 2)$

$\quad a \times b = 9 - 8$

$\quad a \times b = 1$

بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ و $b$ مقلوبان.

بما أن $a$ و $b$ مقلوبان: $\quad \frac{1}{a}=b$ و $\frac{1}{b}=a$

العبارة تصبح: $\quad (b+a)(b-2\sqrt{2})$

نحسب $a+b$: $\quad a+b = (3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})$

$\quad a+b = 6$

نحسب $b-2\sqrt{2}$: $\quad b-2\sqrt{2} = (3+2\sqrt{2})-2\sqrt{2}$

$\quad b-2\sqrt{2} = 3$

قيمة العبارة: $\quad (6)(3)$

$\quad = 18$

$18$ هو عدد صحيح طبيعي. ($18 \in \mathbb{N}$)

$A=\frac{3}{2}(x-\sqrt{2})-\frac{1}{2}(x-7\sqrt{2})$

$A=\frac{3}{2}x-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}x+\frac{7\sqrt{2}}{2}$

$A=(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x)+(\frac{7\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2})$

$A=\frac{2}{2}x+\frac{4\sqrt{2}}{2}$

$A=x+2\sqrt{2}$

العبارة $B$ معطاة في شكل جذاء عوامل: $\quad B=(x+2\sqrt{2})(3x-\sqrt{2})$

(للتأكد من صحة التفكيك، ننشر العبارة: $B=3x^2-x\sqrt{2}+6x\sqrt{2}-2\sqrt{4} = 3x^2+5x\sqrt{2}-4$)

التفكيك هو: \(B=(x+2\sqrt{2})(3x-\sqrt{2})\)

$A+B = (x+2\sqrt{2})+(x+2\sqrt{2})(3x-\sqrt{2})$

نُخرج العامل المشترك $x+2\sqrt{2}$: $\quad A+B = (x+2\sqrt{2})[1+(3x-\sqrt{2})]$

$A+B = (x+2\sqrt{2})[1+3x-\sqrt{2}]$

$A+B = (x+2\sqrt{2})(3x-\sqrt{2}+1)$

$A+B=0$

$\quad (x+2\sqrt{2})(3x-\sqrt{2}+1)=0$

الحالة 1:

$x+2\sqrt{2}=0$

$x=-2\sqrt{2}$

الحالة 2:

$3x-\sqrt{2}+1=0$

$3x=\sqrt{2}-1$

$x=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

حلول المعادلة هي: \(\{-2\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}-1}{3}\}\)

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $CEF$:

الشرط 1 (الاستقامة):

$\quad I$ ينتمي إلى $(CE)$

$\quad H$ ينتمي إلى $(CF)$

الشرط 2 (التوازي):

$\quad (IH) \parallel (EF)$ (معطى)

الشرط 3 (النسب):

$\quad \frac{CI}{CE}=\frac{CH}{CF}=\frac{IH}{EF}$

حساب النسبة المعطاة: $\quad \frac{CH}{CF}=\frac{6.4}{24}$

$\quad \frac{CH}{CF}=\frac{64}{240}$

بالاختزال على 16: $\quad \frac{CH}{CF}=\frac{4}{15}$

إذن: $\quad \frac{CI}{CE}=\frac{IH}{EF}=\frac{4}{15}$

لدينا $\quad \frac{CI}{CE}=\frac{4}{15}$

وبما أن $CE=15$ (معطى): $\quad \frac{CI}{15}=\frac{4}{15}$

إذن: $\quad CI=4$

لدينا $\quad \frac{IH}{EF}=\frac{4}{15}$

وبما أن $EF=15$ (معطى): $\quad \frac{IH}{15}=\frac{4}{15}$

إذن: $\quad IH=4$

النتيجة: $\quad IC=IH=4$

المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$:

$S_{ABC}=\frac{AB \times AC}{2}$

$S_{ABC}=\frac{6 \times 8}{2}$

$S_{ABC}=\frac{48}{2}$

$S_{ABC}=24$ وحدة مساحة

مساحة المثلث $ABC$ هي أيضاً $\frac{BC \times AH}{2}$ ($AH$ هو الارتفاع المتعلق بالوتر $[BC]$):

$S_{ABC}=\frac{BC \times AH}{2}$

$24=\frac{10 \times AH}{2}$

$48=10 \times AH$

$AH=\frac{48}{10}$

$AH=4.8$

بما أن $N$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$: $\quad A$ منتصف $[CN]$

بما أن $M$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $H$: $\quad H$ منتصف $[CM]$

في المثلث $CNM$، القطعة $[AH]$ تصل بين منتصفي ضلعين.

حسب مبرهنة القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين: $\quad (AH) \parallel (NM)$

وبما أن $K$ نقطة من $(MN)$: $\quad (AH) \parallel (MK)$

تطبيق مبرهنة طالس في المثلث $BKM$ والمستقيم $(AH)$:

الشرط 1 (الاستقامة):

$\quad H$ ينتمي إلى $(BM)$

$\quad A$ ينتمي إلى $(BK)$

$\quad B, H, M$ استقامية (و $B, A, K$ استقامية)

الشرط 2 (التوازي):

$\quad (AH) \parallel (MK)$

الشرط 3 (النسب):

$\quad \frac{BH}{BM}=\frac{BA}{BK}=\frac{AH}{MK}$

بأخذ مقلوب النسبة الأولى والثالثة نحصل على: $\quad \frac{BM}{BH}=\frac{MK}{AH}$

نحسب $BM$ و $BH$:

لدينا $BH=BC-CH$: $\quad BH=10-6.4$

$\quad BH=3.6$

$M$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $H$: $\quad H$ منتصف $[CM]$

إذن $\quad M, H, C$ استقامية و $HM=CH=6.4$

$B, H, C$ استقامية، ونعلم أن $H$ بين $B$ و $C$. $\quad M$ تكون على امتداد $(BC)$ من جهة $B$.

$BM=|BH-HM|$ (باعتبار الإحداثيات على مستقيم) $\quad BM=|3.6-6.4|$

$\quad BM=2.8$

نحسب $MK$ من مبرهنة طالس: $\quad \frac{BM}{BH}=\frac{MK}{AH}$

$\quad \frac{2.8}{3.6}=\frac{MK}{4.8}$

$\quad MK=\frac{2.8 \times 4.8}{3.6}$

$\quad MK=\frac{13.44}{3.6}=\frac{134.4}{36}=\frac{56}{15}$

نحسب $NM$ من مبرهنة القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين: $\quad NM=2 \times AH$

$\quad NM=2 \times 4.8=9.6$

لدينا $NM=\frac{96}{10}=\frac{48}{5}=\frac{144}{15}$ و $MK=\frac{56}{15}$

بما أن $\frac{144}{15} < \frac{56}{15}$ هذا غير صحيح. يجب أن تكون $K$ خارج $[NM]$

نلاحظ أن: $\quad \frac{56}{15} \approx 3.73$ و $\frac{144}{15} = 9.6$

بما أن $AH \parallel NM$ و $K$ تقاطع $(MN)$ و $(AB)$ فإن النقاط $N, M, K$ على استقامة واحدة. (في الواقع $A$ هي منتصف $CN$ و $H$ هي منتصف $CM$ و $K$ هي نقطة تقاطع $MN$ و $AB$).

بالتأكد من الشكل الهندسي، $K$ تقع على امتداد $[MN]$ من جهة $M$. إذن $NK=NM+MK$.

$NK=9.6+3.73 = 13.33$

الحساب بالكسور: $\quad NK=NM+MK$

$\quad NK=\frac{48}{5}+\frac{56}{15}$

$\quad NK=\frac{48 \times 3}{15}+\frac{56}{15}$

$\quad NK=\frac{144+56}{15}$

$\quad NK=\frac{200}{15}$

بالاختزال على 5: $\quad NK=\frac{40}{3}$