فرض مراقبة عدد 2 في مادة الرياضيات

(1) العلاقة بين المستقيم (AB) والمحور (OI)

لدينا النقطتان $$A(2-\sqrt{2};\frac{3}{2})$$ و $$B(\sqrt{2}-2;\frac{3}{2})$$.

بما أن **الترتيب** هو نفسه لكلا النقطتين $$(\frac{3}{2})$$، فإن المستقيم $$(AB)$$ **موازٍ** لمحور الفواصل $$(OI)$$.

الإجابة الصحيحة هي **$$\mathbf{(AB) // (OI)}$$**.

(2) حساب مساحة المربع

نرمز لـ $c$ بطول ضلع المربع. المحيط $P = 4c = 8\sqrt{2}$.

$$ c = \frac{8\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2} $$

المساحة $S$ هي $S = c^2$.

$$ S = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \times (\sqrt{2})^2 $$

$$ S = 4 \times 2 = 8 $$

الإجابة الصحيحة هي **$$8$$**.

(3) تبسيط العبارة

$$ \frac{\sqrt{2}+2}{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

$$ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right) - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ = \sqrt{2} $$

الإجابة الصحيحة هي **$$\sqrt{2}$$**.

(4) إيجاد مقلوب العدد $$3-\sqrt{5}$$

مقلوب العدد $3-\sqrt{5}$ هو $\frac{1}{3-\sqrt{5}}$.

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب في المرافق $$3+\sqrt{5}$$:

$$ \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{1 \times (3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} $$

$$ = \frac{3+\sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} $$

$$ = \frac{3+\sqrt{5}}{9 - 5} $$

$$ = \frac{3+\sqrt{5}}{4} $$

الإجابة الصحيحة هي **$$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$$**.

(1) تبسيط العبارتين $a$ و $b$

* تبسيط $a$ (التبسيط الصحيح):

$$ a = \frac{3}{2}\sqrt{4 \times 5} - \frac{5}{6}\sqrt{9 \times 5} $$

$$ a = \frac{3}{2}(2\sqrt{5}) - \frac{5}{6}(3\sqrt{5}) $$

$$ a = 3\sqrt{5} - \frac{5}{2}\sqrt{5} $$

$$ a = \left(3 - \frac{5}{2}\right)\sqrt{5} = \frac{1}{2}\sqrt{5} $$

**ملاحظة:** القيمة الصحيحة لـ $a$ هي $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$، وليس $a=1$ كما قد يوحي النص الأصلي (المجزأ). سنعتمد القيمة المطلوبة في السؤال (2) لإتمام بقية التمرين.

* تبسيط $b$:

$$ b = \frac{5-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{(5-\sqrt{5})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} $$

$$ = \frac{5\sqrt{5} - 5}{2 \times 5} = \frac{5(\sqrt{5}-1)}{10} $$

$$ b = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $$

(2) تبيان أن $a$ هو مقلوب $b$

ليكون $a$ مقلوباً لـ $b$، يجب أن يكون $a \times b = 1$.

نحن نعلم أن $b = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. إذن، مقلوب $b$ هو:

$$ \frac{1}{b} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} $$

$$ = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{4} $$

$$ a = \frac{\sqrt{5}+1}{2} $$

**نتيجة:** بناءً على أن $a$ هو مقلوب $b$، فإن قيمة $a$ يجب أن تكون $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$، وهذه القيمة تختلف عن قيمة العبارة $a$ المبسطة في الجزء (1) ($\frac{\sqrt{5}}{2}$). سنستخدم $a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ في الأجزاء المتبقية من التمرين.

(3) استنتاج صحة المساواة

نعتبر أن $a$ و $b$ مقلوبان، أي $a \times b = 1$، وبالتالي $\frac{1}{b} = a$ و $\frac{a}{b} = a^2$.

نبدأ بتبسيط الطرف الأيسر:

$$ (\frac{a}{b}+a)(\frac{a}{b}-b) = (a^2+a)(a^2-\frac{1}{a}) $$

$$ = a(a+1) \cdot \frac{a^3-1}{a} $$

$$ = (a+1)(a^3-1) \quad (\text{فرق مكعبين}) $$

$$ = a(a^3) - a(1) + 1(a^3) - 1(1) $$

$$ = a^4 - a + a^3 - 1 $$

**الاستنتاج:** المساواة صحيحة في حال كان $a$ و $b$ مقلوبان.

(4) اختصار العبارة $M$

* تبسيط $$\sqrt{14-6\sqrt{5}}$$

نبحث عن صيغة المربع الكامل $\sqrt{(\alpha-\beta)^2}$ حيث $14-6\sqrt{5} = 14-2\sqrt{45}$.

$$ 14-6\sqrt{5} = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = (\sqrt{9}-\sqrt{5})^2 = (3-\sqrt{5})^2 $$

$$ \sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}| $$

بما أن $3^2=9$ و $(\sqrt{5})^2=5$، فإن $3 > \sqrt{5}$.

$$ \sqrt{14-6\sqrt{5}} = 3-\sqrt{5} $$

* تبسيط $$\sqrt{(2-x)^{2}}$$

$$ \sqrt{(2-x)^{2}} = |2-x| $$

بما أن $x$ عدد حقيقي سالب ($x \in \mathbb{R}_{-}$)، فإن $2-x$ عدد موجب، إذن $$|2-x| = 2-x$$.

* اختصار $M$

$$ M = (3-\sqrt{5}) + (2-x) $$

$$ M = 5 - \sqrt{5} - x $$

(1) تبسيط العبارة $a$

$$ a = 3\sqrt{16 \times 2} - \sqrt{36 \times 2} - |-8| $$

$$ a = 3(4\sqrt{2}) - 6\sqrt{2} - 8 $$

$$ a = 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 8 $$

$$ a = 6\sqrt{2} - 8 $$

**النتيجة:** $a$ تبسط إلى $6\sqrt{2}-8$ كما هو مطلوب.

(2) تبسيط العبارة $b$

$$ b=\sqrt{\frac{1}{24}}\left(\sqrt{9 \times 3}-\sqrt{4 \times 3}+\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\right) $$

$$ b=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) $$

$$ b=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{3+2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) $$

$$ b=\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{18}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} $$

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

$$ b = \frac{(3+2\sqrt{2})\sqrt{2}}{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}+4}{12} $$

$$ b = \frac{4}{12} + \frac{3\sqrt{2}}{12} $$

$$ b = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{4} $$

**ملاحظة:** القيمة الصحيحة لـ $b$ هي $$\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{4}$$، وتختلف عن القيمة المطلوبة في النص الأصلي $$\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}$$ (احتمال وجود خطأ مطبعي في أصل التمرين).