فرض مراقبة عدد 2 في مادة الرياضيات

(1) تبسيط العبارة $$\frac{2}{2+\sqrt{3}}$$

$$ \frac{2}{2+\sqrt{3}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} $$

$$ = \frac{4-2\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} $$

$$ = \frac{4-2\sqrt{3}}{4-3} = 4-2\sqrt{3} $$

وبما أن $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$:

$$ = 4-\sqrt{12} $$

الإجابة الصحيحة هي **(د)**: $$4-\sqrt{12}$$

(2) تبسيط العبارة $$\frac{(\sqrt{6}+2)^{2}}{2}$$

$$ \frac{(\sqrt{6}+2)^{2}}{2} = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2(\sqrt{6})(2) + 2^2}{2} $$

$$ = \frac{6 + 4\sqrt{6} + 4}{2} $$

$$ = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{2} $$

$$ = 5 + 2\sqrt{6} $$

الإجابة الصحيحة هي **(ب)**: $$5+2\sqrt{6}$$

(3) تبسيط العبارة $$\frac{10-4\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$$

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$ للتخلص من الجذر في المقام:

$$ \frac{10-4\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}} = \frac{(10-4\sqrt{2})\sqrt{2}}{(-7\sqrt{2})\sqrt{2}} $$

$$ = \frac{10\sqrt{2} - 4(\sqrt{2})^2}{-7 \times 2} $$

$$ = \frac{10\sqrt{2} - 8}{-14} $$

نقسم البسط والمقام على 2:

$$ = \frac{5\sqrt{2} - 4}{-7} $$

$$ = \frac{-(4 - 5\sqrt{2})}{-7} = \frac{4 - 5\sqrt{2}}{7} $$

بالنظر إلى الإجابات المقترحة، فإن الإجابة (ج) هي $\frac{-5\sqrt{2}+4}{7}$، وهي نفس النتيجة التي توصلنا إليها.

الإجابة الصحيحة هي **(ج)**: $$\frac{-5\sqrt{2}+4}{7}$$

(4) حساب البعد $OM$ في المربع

قيس طول ضلع المربع $c = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.

$O$ هو مركز المربع، و $M$ منتصف $[AB]$. البعد $OM$ هو نصف قيس طول الضلع $c$.

$$ OM = \frac{c}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$

$$ OM = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} $$

الإجابة الصحيحة هي **(ج)**: $$\frac{3}{\sqrt{2}}$$