فرض مراقبة عدد 2 في مادة الرياضيات

(1) تبسيط العبارة $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{36}}{\sqrt{6}}$

$$ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{36}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}+6}{\sqrt{6}} $$

$$ = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} + \frac{6}{\sqrt{6}} $$

$$ = 1 + \frac{6\sqrt{6}}{6} $$

$$ = 1 + \sqrt{6} $$

الخيار الصحيح هو **(ب)**: $$\sqrt{6}+1$$

(2) حساب مساحة المستطيل

المساحة $S$ هي جذاء البعدين:

$$ S = (3\sqrt{3}+2)(3\sqrt{3}-2) $$

نطبق قاعدة الجذاءات المعتبرة $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$:

$$ S = (3\sqrt{3})^2 - 2^2 $$

$$ S = (9 \times 3) - 4 $$

$$ S = 27 - 4 $$

$$ S = 23 $$

الخيار الصحيح هو **(ب)**: $$23$$

(3) علاقة العددين $a$ و $b$

نص السؤال الأصلي "$|\frac{a}{b}|=a^{2}$ إذا كان فإن ba" غير مكتمل ويحتمل خطأ في النقل. لذا لا يمكن الإجابة بدقة من الخيارات.

أمثلة لأسئلة مشابهة:

إذا كان $a$ و $b$ مقلوبان (Inverses): $$ a \times b = 1 $$

إذا كان $a$ و $b$ متقابلان (Opposites): $$ a + b = 0 $$

(4) العلاقة بين المستقيم $(AB)$ والمحاور

إحداثيات النقطة $A$: $A(x_A, y_A) = (2\sqrt{2}, -4)$

إحداثيات النقطة $B$: $B(x_B, y_B) = (-2\sqrt{2}, -4)$

نلاحظ أن الفاصلتين مختلفتان ($x_A \ne x_B$).

نلاحظ أن الترتيبتين متساويتان ($y_A = y_B = -4$).

بما أن الترتيبتين متساويتان، فإن المستقيم $(AB)$ موازٍ لمحور الفواصل $(OI)$.

الخيار الصحيح هو **(أ)**: $$(AB)//(OI)$$

(1) تبسيط العبارتين $a$ و $b$

* تبسيط $a$:

$$a = \sqrt{\frac{50}{9}}-\frac{1}{3}(\sqrt{32}-1)$$

$$a = \frac{\sqrt{25 \times 2}}{3} - \frac{1}{3}\sqrt{16 \times 2} + \frac{1}{3}$$

$$a = \frac{5\sqrt{2}}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3}$$

$$a = \frac{5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 1}{3}$$

$$a = \frac{\sqrt{2}+1}{3}$$

* تبسيط $b$:

$$b = -3+\sqrt{8}(4+\sqrt{2})-(3\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})$$

$$b = -3 + 8\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{2} + 3(\sqrt{2})^2 - 2 - \sqrt{2})$$

$$b = -3 + 8\sqrt{2} + 4 - (6\sqrt{2} + 6 - 2 - \sqrt{2})$$

$$b = 1 + 8\sqrt{2} - (5\sqrt{2} + 4)$$

$$b = 1 + 8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4$$

$$b = (1 - 4) + (8\sqrt{2} - 5\sqrt{2})$$

$$b = -3 + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}-3$$

(2) تبيان أن $a$ و $b$ مقلوبان واستنتاج علامة $b$

* تبيان أن $a$ و $b$ مقلوبان:

نحسب الجداء $a \times b$:

$$ a \times b = \left(\frac{\sqrt{2}+1}{3}\right) \times (3\sqrt{2}-3) $$

$$ a \times b = \left(\frac{\sqrt{2}+1}{3}\right) \times 3(\sqrt{2}-1) $$

$$ a \times b = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) $$

$$ a \times b = (\sqrt{2})^2 - 1^2 $$

$$ a \times b = 2 - 1 $$

$$ a \times b = 1 $$

بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ و $b$ عددان مقلوبان.

* استنتاج علامة $b$:

لدينا $b = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2}-1)$

بما أن $1 < 2$ فإن $\sqrt{1} < \sqrt{2}$ أي $1 < \sqrt{2}$

إذن $\sqrt{2} - 1 > 0$

وبالتالي $b = 3(\sqrt{2}-1)$ هو عدد موجب.

(3) حساب العبارة $e=a(1-b^{2})-|b(a^{2}+1)|$

* تبسيط العبارة $e$ باستخدام علاقة المقلوب $ab=1$:

$$ e = a(1-b^{2})-|b(a^{2}+1)| $$

$$ e = a - ab^{2} - |ba^{2} + b| $$

$$ e = a - (ab)b - |(ab)a + b| $$

نعوض $ab=1$:

$$ e = a - (1)b - |(1)a + b| $$

$$ e = a - b - |a + b| $$

* تحديد علامة $a+b$:

بما أن $a > 0$ و $b > 0$ (من السؤال 2)

فإن $a+b > 0$

إذن $|a+b| = a+b$

* إتمام حساب $e$:

$$ e = a - b - (a + b) $$

$$ e = a - b - a - b $$

$$ e = -2b $$

نعوض قيمة $b = 3\sqrt{2}-3$:

$$ e = -2(3\sqrt{2}-3) $$

$$ e = -6\sqrt{2}+6 = 6 - 6\sqrt{2} $$