أختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدمة ثم أكتب رقم الجملة والإجابة المختارة أمامها.
الحل المفصّل للتمرين رقم 1:
(1) العلاقة بين المستقيم $(AB)$ والمحاور
إحداثيات النقطة $A$:
$$x_A = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_A = |\frac{9}{6}-\sqrt{2}| = |\frac{3}{2}-\sqrt{2}|$$
بما أن $\frac{3}{2} = 1.5$ و $\sqrt{2} \approx 1.414$، فإن $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$.
$$y_A = \frac{3}{2}-\sqrt{2}$$
إحداثيات النقطة $B$:
$$x_B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_B = \sqrt{2}-1.5 = \sqrt{2}-\frac{3}{2}$$
نلاحظ أن $$x_A = x_B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
بما أن الفاصلتين متساويتان، فإن المستقيم $(AB)$ موازٍ لمحور التراتيب $(OJ)$ (الموسط العمودي لـ $[OI]$).
المستقيم $(AB)$ موازٍ لـ $(OJ)$ إذن $(AB)$ **عمودي على** $(OI)$ (محور الفواصل).
الخيار الصحيح هو **الإجابة (ج)**: $$(AB)\perp(OI)$$
(2) العلاقة بين $a$ و $b$
بما أن $a$ و $(b+1)$ عددان مقلوبان، فإن جذاءهما يساوي 1:
$$a(b+1) = 1$$
$$ab + a = 1$$
نقسم على $a$ (بما أن $a \ne 0$):
$$b+1 = \frac{1}{a}$$
$$b = \frac{1}{a}-1$$
أو
$$1 = \frac{1}{a}-b$$
الخيار الصحيح المطابق للنتيجة هو **الإجابة (ج)**: $$1=\frac{1}{a}-b$$
(3) إحداثيات النقطة $A$ في المعين $(D, O, C)$
هذا السؤال غير واضح حيث أن المعين يُعرف بثلاث نقاط (الأصل، نقطة على محور الفواصل، نقطة على محور التراتيب) أو نقطة (الأصل) و متجهتين أساسيتين. صيغة $$(D, O, C)$$ غير قياسية. سنفترض أن المعين المقصود هو نظام إحداثيات يعتمد على المتجهتين $\vec{DC}$ و $\vec{DA}$ حيث $D$ هو الأصل، أي $$(D, \vec{DC}, \vec{DA})$$.
في المعين $(D, \vec{DC}, \vec{DA})$ تكون إحداثيات النقاط:
$$D(0, 0)$$
$$C(1, 0)$$
$$A(0, 1)$$
إحداثيات $A$ هي $$(0, 1)$$، وهي غير موجودة ضمن الخيارات $(1, -1)$ و $(-1, 2)$ و $(2, -1)$.
(4) تبسيط العبارة $e = \frac{2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{10}}$
$$e = \frac{2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{10}}$$
$$e = \frac{\sqrt{5}(2+\sqrt{2})}{\sqrt{5}(1+\sqrt{2})}$$
$$e = \frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$$
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام $(1-\sqrt{2})$:
$$e = \frac{(2+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$
$$e = \frac{2 - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - (\sqrt{2})^2}{1^2 - (\sqrt{2})^2}$$
$$e = \frac{2 - \sqrt{2} - 2}{1 - 2}$$
$$e = \frac{-\sqrt{2}}{-1}$$
$$e = \sqrt{2}$$
النتيجة المحسوبة هي $\sqrt{2}$. لا تتطابق النتيجة مع الخيارين المقترحين $e=2$ أو $e=\sqrt{2}+1$. قد يكون هناك خطأ مطبعي في نص السؤال الأصلي.