🎯 فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ : فوزي الغربي
مثال رقم 9 (تصحيح نهائي)
🚀 التمرين رقم 1: اختر الإجابة الصحيحة 🚀

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات الثلاثة:

الجملة: الإجابة 1 الإجابة 2 الإجابة 3
(1) الجذاء $(-\frac{1}{3}\sqrt{3})\times(\sqrt{6}-\sqrt{3})$ يساوي: $1+\sqrt{2}$ $\sqrt{2}-1$ $1-\sqrt{2}$
(2) إذا كان $x$ عددا حقيقيا سالبا و $y$ مَقلُوبَه، فإن العبارة $(-x)^{2}\times y-\sqrt{(-y)^{2}}$ تساوي: $x-y$ $-x-y$ $x+y$
(3) إذا كان $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=(2x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$ فإن: $x=-\sqrt{3}$ أو $x=\sqrt{3}$ $x=2\sqrt{3}$ أو $x=\sqrt{3}$ $x=-2\sqrt{3}$ أو $x=\sqrt{3}$
(4) إذا كانت $E(-a;b)$ و $F(\frac{1}{2}a;\frac{3}{4}b)$ في معين للمستوي حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان، فإن مناظرة $E$ بالنسبة إلى $F$ هي: $G(2a;\frac{5}{2}b)$ $G(0;\frac{1}{2}b)$ $G(2a;\frac{1}{2}b)$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

(1) حساب الجذاء
$$ \text{الجذاء} = (-\frac{1}{3}\sqrt{3})\times\sqrt{6} + (-\frac{1}{3}\sqrt{3})\times(-\sqrt{3}) $$ $$ \text{الجذاء} = -\frac{1}{3}\sqrt{18} + \frac{1}{3}\sqrt{9} $$ $$ \text{الجذاء} = -\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{2} + 1 $$ $$ \text{الجذاء} = 1 - \sqrt{2} $$

الإجابة الصحيحة هي: $1-\sqrt{2}$ (الإجابة 3)

(2) تبسيط العبارة

لدينا $x < 0$ و $y=\frac{1}{x}$، إذن $y < 0$.

$$ \text{العبارة} = (-x)^{2}\times y-\sqrt{(-y)^{2}} $$ $$ \text{العبارة} = x^{2}\times y-|(-y)| $$ $$\text{بما أن } -y > 0 \text{، فإن } |(-y)| = -y$$ $$ \text{العبارة} = x^{2}\times y - (-y) $$ $$\text{بما أن } y = \frac{1}{x} \text{، فإن } x^2 y = x$$ $$ \text{العبارة} = x + y $$

الإجابة الصحيحة هي: $x+y$ (الإجابة 3)

(3) حل المعادلة
$$ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})-(2x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0 $$ $$ (x-\sqrt{3}) [ (x+\sqrt{3}) - (2x-\sqrt{3}) ] = 0 $$ $$ (x-\sqrt{3}) ( -x + 2\sqrt{3} ) = 0 $$ $$\text{الحل الأول: } x-\sqrt{3}=0 \implies x=\sqrt{3} $$ $$\text{الحل الثاني: } -x+2\sqrt{3}=0 \implies x=2\sqrt{3} $$

الإجابة الصحيحة هي: $x=2\sqrt{3}$ أو $x=\sqrt{3}$ (الإجابة 2)

(4) إحداثيات النقطة المناظرة (خاصية المنتصف)

بما أن $G(x_G, y_G)$ هي مناظرة $E(-a, b)$ بالنسبة إلى $F(\frac{1}{2}a, \frac{3}{4}b)$، فإن $F$ هي منتصف $[EG]$.

$$\text{للفاصلة: } x_F = \frac{x_E + x_G}{2} \implies \frac{1}{2}a = \frac{-a + x_G}{2} $$ $$ a = -a + x_G \implies x_G = 2a $$ $$\text{للترتيبة: } y_F = \frac{y_E + y_G}{2} \implies \frac{3}{4}b = \frac{b + y_G}{2} $$ $$ \frac{3}{2}b = b + y_G \implies y_G = \frac{3}{2}b - b = \frac{1}{2}b $$

الإجابة الصحيحة هي: $G(2a;\frac{1}{2}b)$ (الإجابة 3)

🎪 التمرين رقم 2: الأعداد الحقيقية 🎪

نعتبر العبارتين $a$ و $b$ حيث:

$$ a=-2\sqrt{50}-[\frac{3}{2}-(\sqrt{200}-x)]-|\frac{3}{2}-\sqrt{2}| $$ $$ b=\sqrt{3}(\sqrt{12}-\frac{5}{3}\sqrt{6})-\sqrt{2}(\frac{3}{2}\sqrt{2}-4) $$
(1) بيّن أن $a=\sqrt{2}-3-x$ و $b=3-\sqrt{2}$.
(2) أحسب القيمة العددية للعبارة $a$، في حالة $x=\frac{1}{2}-3\sqrt{2}$.
(3) جد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن العددين $a$ و $(1-\sqrt{2})$ متقابلان.
(4) أ- بيّن أن العددين $b-\sqrt{2}$ و $3+2\sqrt{2}$ مقلوبان.
(4) ب- استنتج حساباً للعبارة $c=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}-b+\sqrt{2}$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

(1) تبيان $a=\sqrt{2}-3-x$ و $b=3-\sqrt{2}$

تبسيط $a$:

$$ a = -2\sqrt{25\cdot2}-[\frac{3}{2}-(\sqrt{100\cdot2}-x)]-|\frac{3}{2}-\sqrt{2}| $$ $$ a = -10\sqrt{2}-[\frac{3}{2}-10\sqrt{2}+x]-(\frac{3}{2}-\sqrt{2}) $$ $$ a = -10\sqrt{2}-\frac{3}{2}+10\sqrt{2}-x-\frac{3}{2}+\sqrt{2} $$ $$ a = \sqrt{2} - 3 - x $$

تبسيط $b$:

$$ b = \sqrt{36} - \frac{5}{3}\sqrt{18} - \frac{3}{2}\cdot2 + 4\sqrt{2} $$ $$ b = 6 - \frac{5}{3}\cdot3\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} $$ $$ b = 6 - 5\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} $$ $$ b = 3 - \sqrt{2} $$
(2) حساب $a$ في حالة $x=\frac{1}{2}-3\sqrt{2}$

نعوض $x$ في $a = \sqrt{2}-3-x$

$$ a = \sqrt{2} - 3 - (\frac{1}{2}-3\sqrt{2}) $$ $$ a = 4\sqrt{2} - \frac{7}{2} $$
(3) إيجاد العدد الحقيقي $x$

العددان $a$ و $(1-\sqrt{2})$ متقابلان، أي أن $a + (1-\sqrt{2}) = 0$.

$$ (\sqrt{2} - 3 - x) + (1-\sqrt{2}) = 0 $$ $$ -2 - x = 0 $$ $$ x = -2 $$
(4) أ- تبيان أن $b-\sqrt{2}$ و $3+2\sqrt{2}$ مقلوبان

نحسب الجذاء $(b-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$:

$$ b-\sqrt{2} = (3-\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3-2\sqrt{2} $$ $$ (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 $$ $$ = 9 - 8 = 1 $$

بما أن الجذاء يساوي 1، فإن العددين مقلوبان.

(4) ب- استنتاج حساب العبارة $c$

بما أن $\frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$ (من السؤال 4-أ).

$$ c = 2\cdot\frac{1}{3+2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2} $$ $$ c = 2(3-2\sqrt{2}) - (b-\sqrt{2}) $$ $$ c = 6 - 4\sqrt{2} - (3-2\sqrt{2}) $$ $$ c = 6 - 4\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2} $$ $$ c = 3 - 2\sqrt{2} $$
📏 التمرين رقم 3: الهندسة الإحداثية 📏

ليكن $(O;I;J)$ مُعيّنا متعامدا في المستوي. والنقاط $A(-1;1)$ و $B(2;1)$. $C$ ذات الترتيبة الموجبة حيث يكون $ABC$ مثلثا متقايس الضلعين في $A$ و $A\hat{B}C=45^{\circ}$.

(1) أ- بيّن أن $ABC$ مثلث قائم الزاوية ثم استنتج أن $x_{c}=-1$.
(1) ب- أحسب البعد $AC$ ثم استنتج أن $y_{c}=4$.
(2) لتكن النقطة $D$ حيث $ABDC$ متوازي الأضلاع. حدد إحداثيات النقطة $D$ و علل جوابك.
(3) لتكن $E$ النقطة ذات الإحداثيات $(5;1)$. بيّن أن $E$ تنتمي إلى المستقيم $(AB)$ وأن الرباعي $DECB$ شبه منحرف قاعدتاه $(DE)$ و $(BC)$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3 (تصحيح نهائي)

إحداثيات النقاط المعطاة: $A(-1;1)$, $B(2;1)$.

(1) أ- تبيان أن $ABC$ مثلث قائم الزاوية واستنتاج $x_C$

بما أن $A\hat{B}C=45^{\circ}$ و $ABC$ متقايس الضلعين في $A$، فإن $A\hat{C}B = 45^{\circ}$.

$$ B\hat{A}C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ} $$

إذن، **$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$**.

بما أن $y_A=y_B=1$، فإن المستقيم $(AB)$ يوازي محور الفواصل. وبما أن $(AC) \perp (AB)$ (لأن $A\hat{B}C=90^{\circ}$)، فإن $(AC)$ يوازي محور التراتيب. وبالتالي: **$x_C = x_A = -1$**.

(1) ب- أحسب البعد $AC$ ثم استنتج أن $y_C=4$

1. حساب $AB$: بما أن $(AB)$ يوازي محور الفواصل، فإن $AB = |x_B - x_A| = |2 - (-1)| = 3$.

بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$، فإن $AC = AB = 3$.

2. استنتاج $y_C$: بما أن $(AC)$ يوازي محور التراتيب، فإن $AC = |y_C - y_A|$.

$$ 3 = |y_C - 1| $$ $$ y_C - 1 = 3 \quad \text{أو} \quad y_C - 1 = -3 $$ $$ y_C = 4 \quad \text{أو} \quad y_C = -2 $$

بما أن الترتيبة موجبة، فإن **$y_C=4$**. إذن $C(-1; 4)$.

(2) تحديد إحداثيات النقطة $D$

بما أن $ABDC$ متوازي الأضلاع، فإن لقطريه $[AD]$ و $[BC]$ نفس المنتصف $M$.

نحسب إحداثيات $M$ منتصف $[BC]$ ($B(2;1)$, $C(-1;4)$): $M(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$.

نحدد إحداثيات $D(x_D, y_D)$ حيث $M$ هي منتصف $[AD]$ ($A(-1;1)$):

$$ x_D = 2x_M - x_A = 2(\frac{1}{2}) - (-1) = 1 + 1 = 2 $$ $$ y_D = 2y_M - y_A = 2(\frac{5}{2}) - 1 = 5 - 1 = 4 $$

إحداثيات النقطة $D$ هي $(2,4)$

(3) تبيان أن $E$ تنتمي إلى المستقيم $(AB)$ وأن الرباعي $DECB$ شبه منحرف

1. تبيان أن $E \in (AB)$:

لدينا $A(-1;1)$, $B(2;1)$, $E(5;1)$. بما أن تراتيب النقاط $A$, $B$, و $E$ متساوية ($y=1$)، فإن النقاط **$A$, $B$, و $E$ على استقامة واحدة** وتنتمي إلى المستقيم الذي معادلته $y=1$. وبالتالي **$E \in (AB)$**.

2. تبيان أن $DECB$ شبه منحرف:

يجب تبيان أن $(DE) // (BC)$ أو أن $(DC) // (BE)$. نستخدم التوازي بين المستقيمين المتعامدين على نفس المستقيم (محور التراتيب) لتبيان $(DE) // (BC)$.

نقاطنا هي: $D(2;4)$, $E(5;1)$, $C(-1;4)$, $B(2;1)$.

توازي $(DC)$ و $(BE)$ (الاستنتاج الأسهل):

$$\text{لدينا } D(2;4) \text{ و } C(-1;4) \text{، لهما نفس الترتيبة } y=4$$ $$\text{إذن المستقيم } (DC) \text{ يوازي محور الفواصل.}$$ $$\text{لدينا } B(2;1) \text{ و } E(5;1) \text{، لهما نفس الترتيبة } y=1$$ $$\text{إذن المستقيم } (BE) \text{ يوازي محور الفواصل.}$$ $$\text{بما أن المستقيمان } (DC) \text{ و } (BE) \text{ يوازيان نفس المستقيم } (OI)$$ $$\text{فإنهما متوازيان: } (DC) // (BE)$$

بما أن $(DC) // (BE)$ فإن الرباعي $DECB$ شبه منحرف قاعدتاه هما $[DC]$ و $[BE]$.