🎯 فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 8
🚀 التمرين رقم 1: اختر الإجابة الصحيحة 🚀

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات الثلاثة:

الجملة: الإجابة (أ) الإجابة (ب) الإجابة (ج)
(1) إذا كان $ABCD$ متوازي أضلاع، في المعين $(...C)$ إحداثيات النقطة $D$ هي: $D(0;1)$ $D(-1;1)$ $D(1;1)$
(2) مقلوب العدد $1-\sqrt{3}$ هو: $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ $\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ $1+\sqrt{3}$
(3) في المعين $(O,I,J)$ إذا كان $A(3;\sqrt{2})$ و $B(2;1)$ و $C(5;-\sqrt{2})$ والنقطة $D$ حيث $ABCD$ متوازي أضلاع فإن $D$ هي: $D(6;-1)$ $D(6;0)$ $D(4;0)$
(4) $a$ و $b$ عددان حقيقيان مختلفي العلامة و $A=\sqrt{4a^{2}b^{2}}$ فإن $A$ تساوي: $A=2ab$ $A=-4ab$ $A=-2ab$
(5) فإن $B=-\pi-\sqrt{(1-\pi)^{2}}$ $B=1-2\pi$ $B=-1-2\pi$ $B=1+\pi$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

(1) إحداثيات النقطة D في متوازي الأضلاع (سؤال غامض)

بما أن إحداثيات النقاط الأخرى ($A, B, C$) غير معطاة لهذا السؤال تحديداً، لا يمكن تحديد الإجابة الصحيحة بشكل قاطع. في تمرين مماثل (السؤال 3)، نستخدم خاصية متوازي الأضلاع (القطران متناصفان) أو المساواة في الإزاحة. هنا، نحافظ على الإجابة المفترضة في الاختبار:

ملاحظة: بالنظر إلى طبيعة الأسئلة، غالباً ما تكون الإجابة **$D(1,1)$** (ج).

(2) مقلوب العدد $1-\sqrt{3}$
$$ \text{المقلوب} = \frac{1}{1-\sqrt{3}} $$ $$ \text{المقلوب} = \frac{1(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} $$ $$ \text{المقلوب} = \frac{1+\sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} $$ $$ \text{المقلوب} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-3} $$ $$ \text{المقلوب} = \frac{1+\sqrt{3}}{-2} $$ $$ \text{المقلوب} = \frac{-1-\sqrt{3}}{2} $$

الإجابة الصحيحة هي: $\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ (ب)

(3) إحداثيات النقطة D حيث ABCD متوازي أضلاع

بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن لقطريه $[AC]$ و $[BD]$ نفس المنتصف. لنحسب إحداثيات منتصف $[AC]$ ($M$):

$$ x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$ $$ y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{\sqrt{2} + (-\sqrt{2})}{2} = 0 $$ $$\text{إذن } M(4, 0) \text{ هي منتصف } [AC]$$ $$\text{بما أن } M \text{ منتصف } [BD] \text{، فإن:}$$ $$ x_M = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 4 = \frac{2 + x_D}{2} \implies 8 = 2 + x_D \implies x_D = 6 $$ $$ y_M = \frac{y_B + y_D}{2} \implies 0 = \frac{1 + y_D}{2} \implies 0 = 1 + y_D \implies y_D = -1 $$

الإجابة الصحيحة هي: $D(6;-1)$ (أ)

(4) تبسيط العبارة $A=\sqrt{4a^{2}b^{2}}$

لدينا $A = \sqrt{(2ab)^2} = |2ab|$. بما أن $a$ و $b$ مختلفي العلامة، فإن الجداء $ab < 0$، وبالتالي $2ab$ عدد سالب قطعا.

$$ A = |2ab| = -(2ab) $$ $$ A = -2ab $$

الإجابة الصحيحة هي: $A=-2ab$ (ج)

(5) تبسيط العبارة $B=-\pi-\sqrt{(1-\pi)^{2}}$

نستخدم خاصية $\sqrt{X^2} = |X|$.

$$ B = -\pi - |1-\pi| $$ $$\text{بما أن } \pi \approx 3.14 \text{ فإن } 1-\pi < 0 $$ $$\text{إذن } |1-\pi| = -(1-\pi) = \pi - 1 $$ $$ B = -\pi - (\pi - 1) $$ $$ B = -\pi - \pi + 1 $$ $$ B = 1 - 2\pi $$

الإجابة الصحيحة هي: $B=1-2\pi$ (أ)

🎪 التمرين رقم 2: الأعداد الحقيقية 🎪

لتكن العبارتين $a$ و $b$ حيث:

$$ a=5\sqrt{8}-2\sqrt{72}+\sqrt{9} $$ $$ b=-1+\sqrt{2}(2\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-2)(1+\sqrt{2}) $$
(1) بيّن أن $a=3-2\sqrt{2}$ و $b=3+2\sqrt{2}$.
(2) أ- أحسب $a \times b$ ثم استنتج حساباً لـ $|a \times b|$.
(2) ب- استنتج حساب العبارة $c=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}(3\sqrt{2}-1)-3(3+2\sqrt{2})$.
(2) ج) بيّن أن $e=|\frac{2}{b}| \times |b+\frac{1}{a}|$ عدد صحيح طبيعي.
(2) د) أوجد العدد الحقيقي $x$ بحيث $(a+4\sqrt{2})x^{2}-bx(1-3x)=0$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

(1) تبيان $a=3-2\sqrt{2}$ و $b=3+2\sqrt{2}$

تبسيط $a$:

$$ a = 5\sqrt{4\cdot2} - 2\sqrt{36\cdot2} + 3 $$ $$ a = 5 \cdot 2\sqrt{2} - 2 \cdot 6\sqrt{2} + 3 $$ $$ a = 10\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 3 $$ $$ a = 3 - 2\sqrt{2} $$

تبسيط $b$:

$$ b = -1 + (2\sqrt{4} + \sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2}) $$ $$ b = -1 + 4 + \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) $$ $$ b = 3 + \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) $$ $$ b = 3 + \sqrt{2} + \sqrt{2} $$ $$ b = 3 + 2\sqrt{2} $$
(2) أ- حساب $a \times b$ واستنتاج $|a \times b|$
$$ a \times b = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) $$ $$ a \times b = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 $$ $$ a \times b = 9 - 8 $$ $$ a \times b = 1 $$ $$ |a \times b| = |1| = 1 $$
(2) ب- استنتاج حساب العبارة $c$

بما أن $a \times b = 1$، فإن $\frac{1}{a} = b$ (أي $\frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2} = b$).

$$ c = \frac{1}{a}(3\sqrt{2}-1) - 3b $$ $$ c = b(3\sqrt{2}-1) - 3b $$ $$ c = b [ (3\sqrt{2}-1) - 3 ] $$ $$ c = b (3\sqrt{2}-4) $$ $$ c = (3+2\sqrt{2})(3\sqrt{2}-4) $$ $$ c = 9\sqrt{2} - 12 + 2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} - 8\sqrt{2} $$ $$ c = 9\sqrt{2} - 12 + 12 - 8\sqrt{2} $$ $$ c = \sqrt{2} $$
(2) ج) تبيان أن $e$ عدد صحيح طبيعي

بما أن $b = 3+2\sqrt{2}$ عدد موجب قطعا، فإن $|\frac{2}{b}| = \frac{2}{b}$. ولدينا $\frac{1}{a} = b$.

$$ e = |\frac{2}{b}| \times |b+\frac{1}{a}| $$ $$ e = \frac{2}{b} \times |b+b| $$ $$ e = \frac{2}{b} \times |2b| $$ $$\text{بما أن } b>0 \text{ فإن } |2b|=2b$$ $$ e = \frac{2}{b} \times 2b $$ $$ e = 4 $$

النتيجة $e=4$ وهو عدد صحيح طبيعي.

(2) د) إيجاد العدد الحقيقي $x$

نحسب أولاً $a+4\sqrt{2}$:

$$ a+4\sqrt{2} = (3-2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = 3+2\sqrt{2} $$ $$\text{وبما أن } b = 3+2\sqrt{2} \text{، فإن } a+4\sqrt{2} = b$$ $$\text{المعادلة تصبح:} \quad b x^2 - b x (1-3x) = 0 $$ $$\text{نخرج } b x \text{ كعامل مشترك:} \quad b x [x - (1-3x)] = 0 $$ $$\text{بما أن } b \ne 0 \text{، نقسم على } b$$ $$ x (x - 1 + 3x) = 0 $$ $$ x (4x - 1) = 0 $$

الحلول هي: $x=0$ أو $4x-1=0 \implies x=\frac{1}{4}$.

مجموعة الحلول هي: $S_{\mathbb{R}} = \{0, \frac{1}{4}\}$

✨ التمرين رقم 3: العبارات الجبرية والمعادلات ✨

لتكن العبارة $F=(5x+7)(x+3)-2x-6$ حيث $x$ عدد حقيقي.

(1) أحسب العبارة $F$ إذا علمت أن $x=-\frac{7}{5}$.
(2) بيّن أن $F=5(x+3)(x+1)$.
(3) أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة من الحالات التالية:
  1. $F=0$
  2. $F$ و $(2x+6)$ متقابلان.
  3. $\sqrt{(x+1)^{2}}=\pi-3$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

(1) حساب $F$ إذا علمت أن $x=-\frac{7}{5}$

عندما $x=-\frac{7}{5}$، فإن $5x+7 = 5(-\frac{7}{5}) + 7 = -7 + 7 = 0$.

$$ F = (0)(x+3) - 2x - 6 $$ $$ F = -2x - 6 $$ $$ F = -2(-\frac{7}{5}) - 6 $$ $$ F = \frac{14}{5} - \frac{30}{5} $$ $$ F = -\frac{16}{5} $$
(2) تبيان أن $F=5(x+3)(x+1)$
$$ F = (5x+7)(x+3) - (2x+6) $$ $$ F = (5x+7)(x+3) - 2(x+3) $$ $$\text{نخرج } (x+3) \text{ كعامل مشترك:}$$ $$ F = (x+3) [ (5x+7) - 2 ] $$ $$ F = (x+3) (5x+5) $$ $$\text{نخرج } 5 \text{ كعامل مشترك من القوس الثاني:}$$ $$ F = (x+3) 5(x+1) $$ $$ F = 5(x+3)(x+1) $$
(3) أ- إيجاد $x$ بحيث $F=0$
$$ 5(x+3)(x+1) = 0 $$ $$ x+3=0 \quad \text{أو} \quad x+1=0 $$

الحلول هي: $x=-3$ أو $x=-1$.

مجموعة الحلول هي: $S_{\mathbb{R}} = \{-3, -1\}$

(3) ب- إيجاد $x$ بحيث $F$ و $(2x+6)$ متقابلان

العددان متقابلان يعني أن مجموعهما يساوي الصفر، أي $F + (2x+6) = 0$.

$$ 5(x+3)(x+1) + (2x+6) = 0 $$ $$ 5(x+3)(x+1) + 2(x+3) = 0 $$ $$\text{نخرج } (x+3) \text{ كعامل مشترك:}$$ $$ (x+3) [ 5(x+1) + 2 ] = 0 $$ $$ (x+3) [ 5x + 5 + 2 ] = 0 $$ $$ (x+3) (5x+7) = 0 $$

الحلول هي: $x+3=0 \implies x=-3$ أو $5x+7=0 \implies x=-\frac{7}{5}$.

مجموعة الحلول هي: $S_{\mathbb{R}} = \{-3, -\frac{7}{5}\}$

(3) ج- إيجاد $x$ بحيث $\sqrt{(x+1)^{2}}=\pi-3$

نستخدم خاصية $\sqrt{X^2} = |X|$:

$$ |x+1| = \pi-3 $$ $$\text{بما أن } \pi \approx 3.14 \text{، فإن } \pi-3 \text{ عدد موجب.}$$ $$ x+1 = \pi-3 \quad \text{أو} \quad x+1 = -(\pi-3) $$ $$ x = \pi-3 - 1 \quad \text{أو} \quad x = -\pi+3 - 1 $$ $$ x = \pi-4 \quad \text{أو} \quad x = 2-\pi $$

مجموعة الحلول هي: $S_{\mathbb{R}} = \{\pi-4, 2-\pi\}$

📏 التمرين رقم 4: الإحداثيات والهندسة التحليلية 📏

في معين متعامد $(O,I,J)$ حيث $OI=OJ$.

(1) (أ) عيّن النقاط $A(5;0)$ و $B(-2;2)$ و $C(4;-2)$.

(1) (ب) بيّن أن $I(1;0)$ منتصف $[BC]$.

(2) أ- ابن النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$. أحسب إحداثيات $D$.
(2) ب- بيّن أن $(BD)//(IA)$.
(3) لتكن $F$ مسقط $B$ على $(OI)$ وفقاً لمنحى $(AD)$. بيّن أن $BF=AD$.
(4) أ- لتكن $E$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(BD)$. حدد إحداثيات $E$ معللاً جوابك.
(4) ب- أوجد مجموعة النقاط $M(x,y)$ من المستوي حيث: $-2\le x\le4$ و $y=2$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

إحداثيات النقاط المعطاة: $A(5;0)$, $B(-2;2)$, $C(4;-2)$.

(1) ب- تبيان أن $I(1;0)$ منتصف $[BC]$

نحسب إحداثيات منتصف $[BC]$ ($M$):

$$ x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0 $$ $$\text{إحداثيات المنتصف هي } (1,0) \text{ وهي نفسها إحداثيات النقطة } I(1,0)$$

إذن، $I$ هي منتصف $[BC]$.

(2) أ- حساب إحداثيات النقطة $D$

$D$ مناظرة $C(4,-2)$ بالنسبة لـ $A(5,0)$, أي $A$ هي منتصف $[CD]$:

$$ x_A = \frac{x_C + x_D}{2} \implies 5 = \frac{4 + x_D}{2} \implies 10 = 4 + x_D \implies x_D = 6 $$ $$ y_A = \frac{y_C + y_D}{2} \implies 0 = \frac{-2 + y_D}{2} \implies 0 = -2 + y_D \implies y_D = 2 $$

إحداثيات النقطة $D$ هي $(6,2)$.

(2) ب- تبيان أن $(BD)//(IA)$

لدينا $I(1,0)$, $A(5,0)$, $B(-2,2)$, $D(6,2)$.

$$\text{نلاحظ أن تراتيب النقاط } I \text{ و } A \text{ متساوية: } y_I = y_A = 0$$ $$\text{إذن المستقيم } (IA) \text{ هو محور الفواصل } (OI)$$
$$\text{كما أن تراتيب النقاط } B \text{ و } D \text{ متساوية: } y_B = y_D = 2$$ $$\text{إذن المستقيم } (BD) \text{ يوازي محور الفواصل } (OI)$$

بما أن $(IA)$ هو محور الفواصل و $(BD)$ يوازيه، فإن **$(BD)//(IA)$**.

(3) تبيان أن $BF=AD$

$F$ هي مسقط $B$ على $(OI)$ وفقاً لمنحى $(AD)$، أي $(BF) // (AD)$ و $F \in (OI)$ (محور الفواصل).

1. تحديد إحداثيات $F$

بما أن $F \in (OI)$ (محور الفواصل) فإن $y_F = 0$. إذن $F(x_F, 0)$.

بما أن $(BF) // (AD)$، يجب أن تكون مركبات الانتقال بين النقاط متناسبة:

مركبات الانتقال من $A$ إلى $D$: $(x_D - x_A, y_D - y_A) = (6-5, 2-0) = (1, 2)$

مركبات الانتقال من $B$ إلى $F$: $(x_F - x_B, y_F - y_B) = (x_F - (-2), 0 - 2) = (x_F + 2, -2)$

$$\text{التناسب (للتوازي): } \frac{x_F + 2}{1} = \frac{-2}{2} $$ $$\frac{x_F + 2}{1} = -1 $$ $$ x_F + 2 = -1 \implies x_F = -3 $$ $$\text{إذن: } F(-3, 0) $$

2. حساب الأبعاد $AD$ و $BF$

$$ AD = \sqrt{(x_D-x_A)^2 + (y_D-y_A)^2} = \sqrt{(6-5)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $$ $$ BF = \sqrt{(x_F-x_B)^2 + (y_F-y_B)^2} = \sqrt{(-3-(-2))^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} $$

النتيجة: **$BF=AD=\sqrt{5}$**.

(4) أ- تحديد إحداثيات $E$

$E$ هي المسقط **العمودي** لـ $C(4;-2)$ على المستقيم $(BD)$.

من السؤال (2) ب، المستقيم $(BD)$ هو المستقيم الأفقي الذي معادلته $y=2$ (يوازي محور الفواصل).

$$\text{بما أن الإسقاط عمودي على مستقيم أفقي } (y=2) \text{، فإن } (CE) \text{ مستقيم شاقولي.}$$ $$\text{إذن فاصلة } E \text{ هي نفسها فاصلة } C: \quad x_E = x_C = 4$$ $$\text{وبما أن } E \in (BD) \text{، فإن ترتيبتها هي: } y_E = 2$$

إحداثيات النقطة $E$ هي $(4,2)$

(4) ب- إيجاد مجموعة النقاط $M(x,y)$

مجموعة النقاط $M(x,y)$ التي تحقق الشرطين:

  1. $y=2$: هذه النقاط تقع على المستقيم $(BD)$.
  2. $-2\le x\le4$: فاصلتها محصورة بين $-2$ و $4$.

نلاحظ أن $B$ لها الإحداثيات $(-2, 2)$ و $E$ لها الإحداثيات $(4, 2)$.

مجموعة النقاط هي القطعة المستقيمة $[BE]$