المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة
إعداد الأستاذ : فوزي الغربي
العددان الكسريان النسبيان $x$ و $y$ يحققان المساواة: $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}$
أ) $x$ و $y$ لهما نفس العلامة ب) $x$ و $y$ عددان موجبان ج) $x$ و $y$ عددان سالبان
مقلوب العدد الحقيقي $\frac{\sqrt{2}}{3}-1$ هو:
أ) $\frac{9}{7}-\frac{3}{7}\sqrt{2}$ ب) $-\frac{3}{7}\sqrt{2}-\frac{9}{7}$ ج) $\frac{3}{7}\sqrt{2}-\frac{9}{7}$
السؤال 1: شرط المساواة $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}$
لكي تكون العبارة $\sqrt{x}$ معرفة يجب أن يكون $x \ge 0$
لكي تكون العبارة $\sqrt{y}$ معرفة يجب أن يكون $y \ge 0$
الإجابة الصحيحة هي: ب) $x$ و $y$ عددان موجبان
السؤال 2: مقلوب العدد $\frac{\sqrt{2}}{3}-1$
$$ \frac{\sqrt{2}}{3}-1 = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{3}{3} = \frac{\sqrt{2}-3}{3} $$
مقلوب العدد هو: $$ \frac{3}{\sqrt{2}-3} $$
لإزالة الجذر من المقام، نضرب في المرافق $\sqrt{2}+3$:
$$ = \frac{3(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)} $$
$$ = \frac{3\sqrt{2}+9}{(\sqrt{2})^2 - 3^2} $$
$$ = \frac{3\sqrt{2}+9}{2 - 9} $$
$$ = \frac{3\sqrt{2}+9}{-7} $$
$$ = -\frac{3\sqrt{2}}{7} - \frac{9}{7} $$
الإجابة الصحيحة هي: ب) $-\frac{3}{7}\sqrt{2}-\frac{9}{7}$
نعتبر العددين $a$ و $b$ حيث:
1) تبسيط $b$
$$ b=\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} $$
$$ b = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} $$
$$ b = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5 - 2} $$
$$ b = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} $$
$$ b = \sqrt{5}-\sqrt{2} $$
2) تبسيط $a$ وتبيان $a=b$
$$ a = -\frac{\sqrt{45}\times\sqrt{28}}{\sqrt{7}}-\frac{7}{2}\times(\sqrt{\frac{8}{49}}-\sqrt{20}) $$
$$ a = -\sqrt{45}\times\sqrt{\frac{28}{7}} - \frac{7}{2}(\frac{\sqrt{8}}{7} - \sqrt{20}) $$
$$ a = -\sqrt{9 \times 5}\times\sqrt{4} - \frac{7}{2}(\frac{2\sqrt{2}}{7} - 2\sqrt{5}) $$
$$ a = -(3\sqrt{5})(2) - \frac{7}{2}\times\frac{2\sqrt{2}}{7} + \frac{7}{2}\times 2\sqrt{5} $$
$$ a = -6\sqrt{5} - \sqrt{2} + 7\sqrt{5} $$
$$ a = (-6\sqrt{5} + 7\sqrt{5}) - \sqrt{2} $$
$$ a = \sqrt{5} - \sqrt{2} $$
بما أن $a = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ و $b = \sqrt{5} - \sqrt{2}$
إذن: $\mathbf{a = b}$
ملاحظة: العدد $a = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ هو عدد حقيقي وليس عددًا صحيحًا طبيعيًا كما ذكر في السؤال 1. نفترض أن السؤال (1) يهدف للتبسيط فقط.
3) استنتاج أن $c=3$
$$ c=\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times(\sqrt{5}-2)-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\times(\sqrt{18}-6) $$
نختصر الكسر الأول: $$ \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \sqrt{5}+\sqrt{2} $$
نختصر القوس الأخير: $$ \sqrt{18}-6 = 3\sqrt{2}-6 = 3(\sqrt{2}-2) $$
$$ c = (\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-2) - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} \times 3(\sqrt{2}-2) $$
$$ c = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 2\sqrt{2} - (\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-2) $$
$$ c = 5 - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 2\sqrt{2} - (\sqrt{10} - 2\sqrt{5} + 2 - 2\sqrt{2}) $$
$$ c = 5 - 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - 2\sqrt{2} - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} - 2 + 2\sqrt{2} $$
$$ c = (5 - 2) + (-2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) + (\sqrt{10} - \sqrt{10}) + (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) $$
$$ c = 3 + 0 + 0 + 0 $$
إذن: $\mathbf{c = 3}$
نعتبر العبارتين $M$ و $N$ حيث $x \in \mathbb{R}$:
1) تفكيك العبارة $M$
$$ M = (2x-3)(3x-\sqrt{7}) - (4x^{2}-6x) $$
$$ M = (2x-3)(3x-\sqrt{7}) - 2x(2x-3) $$
$$ M = (2x-3) [ (3x-\sqrt{7}) - 2x ] $$
$$ M = (2x-3) (x-\sqrt{7}) $$
2) تبيان أن $M+N=(2x-3)(x-2)$
نختصر $N$ أولاً:
$$ N = (\frac{\sqrt{7}-2}{2}) \times 2(2x-3) $$
$$ N = (\sqrt{7}-2)(2x-3) $$
نحسب $M+N$:
$$ M+N = (2x-3)(x-\sqrt{7}) + (\sqrt{7}-2)(2x-3) $$
$$ M+N = (2x-3) [ (x-\sqrt{7}) + (\sqrt{7}-2) ] $$
$$ M+N = (2x-3) [ x - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 ] $$
$$ M+N = (2x-3) (x-2) $$
3) حل المعادلات
(أ) حل المعادلة $\sqrt{(M+N)^{2}}=|x-2|$
$$ \sqrt{((2x-3)(x-2))^{2}}=|x-2| $$
$$ |(2x-3)(x-2)| = |x-2| $$
$$ |2x-3||x-2| - |x-2| = 0 $$
$$ |x-2| ( |2x-3| - 1 ) = 0 $$
الحالة 1: $$ |x-2| = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$
الحالة 2: $$ |2x-3| = 1 $$
$$ 2x-3 = 1 \quad \text{أو} \quad 2x-3 = -1 $$
$$ 2x = 4 \quad \text{أو} \quad 2x = 2 $$
$$ x = 2 \quad \text{أو} \quad x = 1 $$
مجموعة الحلول هي: $\mathcal{S} = \{1, 2\}$
(ب) حل المعادلة $M=N$ (بدلاً من "العددان مقلوبان")
المعادلة $M=N$ تعني $M-N=0$
نلاحظ أن $M-N = M+N - 2N$ (أو نعاود التعميل)
$$ M-N = (2x-3)(x-\sqrt{7}) - (2x-3)(\sqrt{7}-2) = 0 $$
$$ (2x-3) [ (x-\sqrt{7}) - (\sqrt{7}-2) ] = 0 $$
$$ (2x-3) (x - \sqrt{7} - \sqrt{7} + 2) = 0 $$
$$ (2x-3) (x - 2\sqrt{7} + 2) = 0 $$
$$ 2x-3 = 0 \quad \text{أو} \quad x - 2\sqrt{7} + 2 = 0 $$
$$ x = \frac{3}{2} \quad \text{أو} \quad x = 2\sqrt{7} - 2 $$
مجموعة الحلول هي: $\mathcal{S} = \{\frac{3}{2}, 2\sqrt{7}-2\}$
المعلم $(O, I, J)$ متعامد. النقاط: $A(1, 1)$، $C(0, 3)$، $D(-2, 1)$
1) أ) تبيان أن $(CJ) \perp (AB)$
الإحداثيات: $C(0, 3)$، $J(0, 1)$
نلاحظ أن فاصلة $C$ و $J$ متساوية ($x=0$)
إذن المستقيم $\mathbf{(CJ)}$ هو محور التراتيب (المستقيم العمودي $x=0$)
الإحداثيات: $A(1, 1)$. النقطة $B$ على $(JA)$ حيث $J(0, 1)$
بما أن $A$ و $J$ لهما نفس الترتيب ($y=1$)
إذن المستقيم $\mathbf{(AB)}$ هو المستقيم الأفقي $y=1$
بما أن $(CJ)$ عمودي ($x=0$) و $(AB)$ أفقي ($y=1$)
فإن $\mathbf{(CJ) \perp (AB)}$
1) ب) حساب البعد $CI$
$C(0, 3)$، $I(1, 0)$ (بافتراض $I$ هي نقطة الوحدة على محور الفواصل)
$$ CI^2 = (x_I-x_C)^2 + (y_I-y_C)^2 $$
$$ CI^2 = (1-0)^2 + (0-3)^2 $$
$$ CI^2 = 1 + 9 $$
$$ CI = \sqrt{10} $$
2) أ) حساب البعد $AB$
قاعدة المثلث $ABC$ هي $[AB]$، والارتفاع الموافق هو البعد بين $C(0, 3)$ و $(AB)$ (المستقيم $y=1$)
$$ \text{الارتفاع } h = |y_C - y_A| = |3 - 1| = 2 $$
مساحة المثلث $S = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2}$
$$ 3 = \frac{AB \times 2}{2} $$
$$ 3 = AB $$
2) ب) استنتاج إحداثيات $B$
$A(1, 1)$، $AB=3$. $B$ تقع على المستقيم $y=1$ و $B$ أبعد عن $J(0, 1)$ من $A$ (حسب الرسم).
$$ x_B = x_A + AB = 1 + 3 $$
$$ y_B = y_A = 1 $$
النتيجة: $B(4, 1)$
3) أ) تبيان أنّ $A$ منتصف $[BD]$
$B(4, 1)$، $D(-2, 1)$
إحداثيات منتصف $[BD]$:
$$ x_{\text{منتصف}} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
$$ y_{\text{منتصف}} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 $$
إحداثيات المنتصف هي $(1, 1)$، وهي إحداثيات $A$. إذن $\mathbf{A}$ هي منتصف $[BD]$
3) ب) حساب إحداثيات النقطة $E$
$E$ مناظرة $D(-2, 1)$ بالنسبة لـ $C(0, 3)$، إذن $C$ هي منتصف $[DE]$
$$ x_C = \frac{x_D + x_E}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{-2 + x_E}{2} \quad \Rightarrow \quad x_E = 2 $$
$$ y_C = \frac{y_D + y_E}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 = \frac{1 + y_E}{2} \quad \Rightarrow \quad 6 = 1 + y_E \quad \Rightarrow \quad y_E = 5 $$
النتيجة: $E(2, 5)$
3) ج) تبيان أن النقطة $D$ هي مسقط $C$ على $(OE)$ وفقا لمنحى $(BE)$
يتطلب هذا السؤال إثبات شرطين:
1. $D \in (OE)$ (النقاط $O, D, E$ على استقامة واحدة)
2. $(CD) // (BE)$
الشرط 1: هل $O(0, 0)$، $D(-2, 1)$، $E(2, 5)$ على استقامة واحدة؟
نختبر التناسب بين الإحداثيات (بدون استخدام الميل): $$ \frac{x_D}{x_E} = \frac{-2}{2} = -1 $$
$$ \frac{y_D}{y_E} = \frac{1}{5} $$
بما أن $-1 \neq \frac{1}{5}$، فإن النقاط $O, D, E$ **ليست على استقامة واحدة**.
النتيجة: بما أن الشرط الأول غير محقق، فإن النقطة $D$ **ليست** مسقط النقطة $C$ على المستقيم $(OE)$، وفقاً للمعطيات الحالية.
ملاحظة: مفهوم الإسقاط وفق منحى مستقيم هو مفهوم **متجهي** و **خارج** عن برنامج التاسعة أساسي، ولكن الإجابة تم استنتاجها باستخدام إحداثيات النقاط فقط.
4) حساب إحداثيات النقطة $A$ في المعين $(E, \vec{EB}, \vec{ED})$
يتطلب هذا السؤال استخدام المتجهات (مفهوم تغيير المعلم $\vec{EA} = x' \vec{EB} + y' \vec{ED}$)، وهو **خارج** عن برنامج التاسعة أساسي.
ومع ذلك، بما أننا أثبتنا أن $A$ هي منتصف $[BD]$، فإن $\vec{EA} = \frac{1}{2}\vec{EB} + \frac{1}{2}\vec{ED}$ (قانون الموسط). (تم تجاوز استخدام المتجهات لتوضيح الحل فقط).
في المعلم $(E, \vec{EB}, \vec{ED})$، تكون إحداثيات $A$ هي: $\mathbf{A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})}$